Сходство (геометрия)
С точки зрения геометрии , две фигуры в точности похожи друг на друга, если они могут быть преобразованы друг в друга с помощью отображения подобия (это отображение также часто называют подобием ). Это означает, что существует геометрическое отображение, которое может состоять из центрального растяжения и сопоставления (т. Е. Сдвигов , поворотов , отражений ) и которое отображает одну фигуру на другую. Таким образом, подобие расширяет конгруэнтность ( конгруэнтность ) фигур за счет возможности растяжения.
В таблице представлены первые три карты сравнения. Обратите внимание, что отражение меняет ориентацию. Только центрические растяжки изменяют длину.
характеристики
Угловые и маршрутные условия аналогичны на аналогичных рисунках; таким образом, все круги, а также все правильные многоугольники с одинаковым количеством углов, такие как равносторонние треугольники и квадраты , похожи друг на друга.
Это правда, что совпадающие фигуры всегда похожи. Однако обратное неверно: одинаковые цифры не обязательно совпадают, потому что они могут быть разного размера.
В качестве математического символа геометрического подобия ( тильда ) используется, например: означает, что треугольники и похожи. С другой стороны, если кто-то хочет выразить соответствие, или («смесь» со знаком равенства ) может использоваться вместо этого.
Сходство в треугольниках
Треугольники играют здесь центральную роль, так как до них можно проследить многие фигуры. Применимо следующее:
Два треугольника похожи друг на друга, если
- они совпадают по двум (а значит, по всем трем) углам; или же
- они совпадают во всех пропорциях соответствующих сторон; или же
- они совпадают под углом и в пропорции прилегающих сторон; или же
- они совпадают в соотношении двух сторон и под углом, противоположным углу большей стороны.
Эти предложения называются предложениями подобия .
Теоремы лучей
В лучевых теоремах содержатся важные утверждения о пропорциях сторон некоторых подобных треугольников.
Подобные конические сечения
- Два невырожденных конических сечения (эллипс, гипербола, парабола) подобны, если они имеют одинаковый эксцентриситет.
Сходство всех парабол (их эксцентриситет равен 1) показано в статье Параболы .
Эллипс / гиперболы с полуосями имеет эксцентриситет. Растяжение фактором в центральной точке не меняет эксцентриситет.
Самоподобие логарифмических спиралей
Логарифмическая спираль можно понять , с одной стороны , как картина спирали под растяжением в нулевой точке с коэффициентом , но и как картина вращения вокруг угла .
Кривая, изображения которой конгруэнтны самой себе при центральном растяжении, называется самоподобной . Так:
- Спираль самоподобна.
На фото: спирали для можно также получить, вращая красную спираль .
Сходство во фрактальной геометрии
Масштабно-инвариантное подобие в ломаных, «фрактальных» измерениях является предметом фрактальной геометрии .
Сходство - результат рекурсии нелинейных алгоритмов. Хорошо известным примером является множество Мандельброта , граница которого в каждой точке похожа на соседние участки во всех порядках.