Правило 72

Точное время удвоения инвестиций (пунктирные линии) и приближения по правилу 72 (короткие линии с числами) для разных процентных ставок

72 правило является правилом из расчета процентов . Правило приближает время удвоения , то есть время, по истечении которого процентные капитальные вложения удваиваются по номинальной стоимости (из-за эффекта сложных процентов ). Для этого разделите 72 на процентную ставку на вложенную сумму, отсюда и название правила. Варианты 72 правил являются 70 правилом и 69 правила .

формула

Время (в годах), в течение которого инвестиция с процентной ставкой удваивается (в год), согласно правилу 72: ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle t \ приблизительно {\ frac {72} {100 \ cdot i}} = {\ frac {72} {p}} ~ {\ text {years}}}$.

Это означает , в процентную ставку . ${\ displaystyle p}$

Эту же формулу можно использовать для оценки того, какая процентная ставка требуется для удвоения капитала за определенный период времени : ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle р \ приблизительно {\ гидроразрыва {72 ~ {\ text {лет}}} {т}}}$.

Примеры

В какое время сумма, вложенная под процентную ставку (8 процентов в год), удвоится? ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle p = 8}$

${\ displaystyle t = {\ frac {72} {p}} ~ {\ text {years}} = {\ frac {72} {8}} ~ {\ text {years}} = 9 ~ {\ text {лет }}}$

Какая процентная ставка (в год) вам нужна, чтобы удвоить капитал в течение определенного периода времени ? ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle t = 12 ~ {\ text {лет}}}$

${\ displaystyle p = {\ frac {72 ~ {\ text {years}}} {t}} = {\ frac {72 ~ {\ text {years}}} {12 ~ {\ text {years}}}} = 6}$

Правило 72 может применяться не только для расчета процентов, но и для любого типа экспоненциального роста . Например, время генерации , т.е. период времени , в котором микробное население в два раз, при почасовой скорости роста от приблизительно часов. ${\ Displaystyle 4 \, \%}$${\ displaystyle {\ tfrac {72} {4}} = 18}$

Вывод

Согласно формуле сложных процентов , окончательный капитал инвестиций с фиксированным доходом с начальным капиталом с процентной ставкой по истечении нескольких лет с годовой процентной ставкой ${\ displaystyle K_ {t}}$${\ displaystyle K_ {0}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle K_ {t} = K_ {0} \ left (1 + i \ right) ^ {t} = K_ {0} \ left (1 + {\ frac {p} {100}} \ right) ^ { t}}$.

Если вы теперь установили , примените логарифм к обеим сторонам уравнения и решите для количества лет до удвоения результатов как ${\ displaystyle K_ {t} = 2K_ {0}}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle t = {\ frac {\ ln (2)} {\ ln \ left (1 + {\ frac {p} {100}} \ right)}}}$.

После схождения для небольших сумм против (см. Ряд Тейлора ) и с результатами в виде формулы приближения ${\ Displaystyle \ пер (1 + х)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ ln (2) \ приблизительно 0 {,} 6931}$

${\ Displaystyle т \ приблизительно {\ гидроразрыва {0 {,} 6931} {\ гидроразрыва {p} {100}}} = {\ гидроразрыва {69 {,} 31} {p}}}$.

Если кто-то приближается через или , это называется правилом 69 или правилом 70. Однако, как показывает опыт, приближение зарекомендовало себя, в том числе потому, что число имеет много маленьких делителей . В литературе также есть модификация формы для правила 69. ${\ Displaystyle \ ln (2)}$${\ displaystyle 0 {,} 69}$${\ displaystyle 0 {,} 70}$${\ displaystyle 0 {,} 72}$${\ displaystyle 72}$${\ Displaystyle (72 = 2 ^ {3} \ cdot 3 ^ {2})}$

${\ Displaystyle т \ приблизительно {\ гидроразрыва {69} {p}} + 0 {,} 35}$,

которое было найдено численным приближением . Таким образом, логарифмическая функция может быть аппроксимирована в диапазоне с максимальным отклонением 0,5%. Если в качестве абсолютного члена используется 0,32, отклонения в диапазоне составляют максимум один процент по сравнению с точным временем удвоения. ${\ displaystyle 0 <p <35}$${\ displaystyle 0 <p <100}$

точность

В следующей таблице сравниваются оценки в соответствии с правилом 72, 70, 69 и другими приближениями, перечисленными выше, с фактическими значениями для типичных процентных ставок. Графическое представление относительной точности показано на диаграмме справа.

процентная ставка ${\ displaystyle i}$	Удвоение времени${\ displaystyle t}$	Правило 72	Правило 70-х	Правило 69	Приближение 69 / p + 0,35	Приближение 69 / p + 0,32
0,25%	277 605	288 000	280 000	276 000	276 350	276 320
0,5%	138,976	144 000	140 000	138 000	138,350	138,320
1%	69,661	72 000	70 000	69 000	69 350	69,320
2%	35,003	36 000	35 000	34 500	34 850	34,820
3%	23 450	24 000	23 333	23 000	23 350	23 320
4%	17 673	18 000	17 500	17 250	17 600	17 570
5%	14.207	14 400	14 000	13 800	14 150	14 120
6%	11 896	12 000	11,667	11 500	11 850	11 820
7%	10,245	10 286	10 000	9 857	10.207	10,177
8%	9,006	9 000	8 750	8,625	8,975	8 945
9%	8,043	8 000	7,778	7,667	8,017	7,987
10%	7,273	7 200	7 000	6 900	7,250	7,220
11%	6,642	6,545	6,364	6,273	6,623	6 593
12%	6,116	6000	5,833	5,750	6 100	6.070
15%	4959	4800	4,667	4600	4950	4920
18%	4 188	4 000	3,889	3,833	4,183	4,153
20%	3,802	3600	3500	3450	3 800	3 770
25%	3,106	2 880	2 800	2,760	3,110	3,080
30%	2 642	2400	2.333	2300	2650	2 620
40%	2,060	1,800	1,750	1,725	2,075	2,045
50%	1,710	1,440	1,400	1,380	1,730	1,700

Смотри тоже

• Стоимость денег во времени

литература

• Джон Дж. Спитцер, Сандип Сингх: Правило 72? . Финансовое консультирование и планирование 10 [1] (1999).

веб ссылки

• Эрик В. Вайсштейн : Правило 72 . В: MathWorld (английский).
• Правило 72. Онлайн-калькулятор от moneychimp.com (английский)

Индивидуальные доказательства

1. ^ Памела Петерсон Дрейк, Фрэнк Дж. Фабоцци: основы и приложения временной стоимости денег . Джон Вили и сыновья, 2009, стр. 89 . 
2. ^ MC Lovell: Экономика с исчислением . World Scientific, 2004, стр. 361 . 
3. ^ RL Финни, ГБ Томас: Исчисление . Аддисон-Уэсли, 1990, стр. 360 . 
4. ↑ Дж. П. Гулд, Р. Л. Вейль: Правило 69 . В кн . : Бизнес-журнал . Лента 39 , 1974, стр. 397-398 . 
5. ↑ Ричард П. Бриф: Заметка о «повторном открытии» и правиле 69 . В кн . : Обзор бухгалтерского учета . Лента 52 , нет. 4 , 1977, стр. 810-812 .