Touch (математика)

Касания представляет собой концепцию , с математической ветви дифференциальной геометрии . Два геометрических объекта, такие как функциональные графики , кривые или изогнутые поверхности, касаются друг друга в общей точке, если касательные двух объектов совпадают в этой точке. Эта точка называется точкой контакта. Касательные можно определить с помощью дифференциального исчисления .

Вообще говоря, существует контакт -го порядка${\ displaystyle n}$ в общей точке, если все производные до -го порядка совпадают в этой точке. ${\ displaystyle n}$

Касание двух функций

Позвольте быть две функции, определенные на интервале , которые дифференцируемы во внутренней точке интервала . Затем функции касаются друг друга и точно в том месте, когда ${\ displaystyle f, g \ двоеточие I \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle I \ подмножество \ mathbb {R}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle a}$

${\ Displaystyle е (а) = г (а) \ qquad {\ текст {и}} \ qquad f '(а) = г' (а)}$

применяется.

Касаясь двух кривых

Понятие контакта между двумя дифференцируемыми функциями можно легко перенести на две кривые с дифференцируемым путем .

Позвольте и быть две кривые с дифференцируемым путем, где - интервал. Существует ли точка с ${\ displaystyle \ gamma \ двоеточие I \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ bar {\ gamma}} \ двоеточие I \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle I \ подмножество \ mathbb {R}}$${\ displaystyle a \ in I}$

${\ displaystyle \ gamma (a) = {\ bar {\ gamma}} (a) \ qquad {\ text {and}} \ qquad \ gamma '(a) = {\ bar {\ gamma}}' (a) }$

тогда точка соприкосновения двух кривых называется и . ${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle \ gamma (а)}$${\ displaystyle {\ bar {\ gamma}}}$

Соответственно, точка соприкосновения -го порядка двух кривых называется по крайней мере с -кратно дифференцируемым путем, если все производные двух кривых совпадают в этой точке .${\ displaystyle a \ in I \ subset \ mathbb {R}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle k}$

В каждой точке кривой, в которой касательная не касается кривой более высокого порядка, есть четко определенная окружность, которая касается кривой в этой точке более высокого порядка. Его называют кругом кривизны или кругом колебаний. Например, единичная окружность вокруг начала координат - это круг колебаний функции косинуса в точке . ${\ displaystyle (0,1)}$

Смотри тоже

• Контакт между кругами и треугольниками: вписанный круг , угловой круг
• Реализация в технике: зубчатое колесо , зубчатый закон

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Прикосновение к двум функциям . В: Гвидо Вальц (ред.): Лексикон математики . 1-е издание. Spectrum Academic Publishing House, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8 . 
2. ↑ Генрих Браунер : Дифференциальная геометрия . Vieweg, Брауншвейг 1981, ISBN 3-528-03809-8 , стр. 81.