Один пролет

Пример однопролетной балки с опорными реакциями

Однопролетный луч или пучок на два опор является самым простым статическим элементом. Это основной элемент многих мостов и зданий, который часто используется в качестве упражнения в технической механике .

Носитель определяется статически . Под нагрузкой в двух лагерях происходят три опорные реакции . В поддержке сила может быть определена без сложных процедур расчета.

Внешние силы

Поддерживающие реакции

${\ displaystyle A_ {v}}$	реакция вертикальной опоры в опоре A (неподвижная опора; сферическая опора)
${\ displaystyle A_ {h}}$	реакция горизонтальной опоры в опоре А
${\ displaystyle B_ {v}}$	реакция вертикальной опоры в опоре B (плавающий подшипник; роликоподшипник)
${\ displaystyle B_ {h} = 0}$	реакция горизонтальной опоры в опоре B (исчезает, так как она подвижна без трения)

Нагрузки

${\ displaystyle F_ {n}}$	внешние силы и др. ${\ displaystyle F_ {1}}$ ${\ displaystyle F_ {2}}$
${\ displaystyle M_ {n}}$	внешние моменты и др. ${\ displaystyle M_ {1}}$ ${\ displaystyle M_ {2}}$
${\ displaystyle q}$	Линейная нагрузка

Внутренние силы (внутренние силы)

${\ displaystyle N_ {x}}$	Нормальная сила в балке
${\ displaystyle Q_ {z}}$	Сила сдвига в балке
${\ displaystyle M_ {y}}$	Момент в баре

Условия равновесия

Все внешние нагрузки и все опорные силы находятся в равновесии .

Сумма всех вертикальных сил: z. Б. ${\ displaystyle \ sum F_ {v} = 0 = F_ {1, z} + F_ {2, z} + A_ {v} + B_ {v}}$
Сумма всех горизонтальных сил: z. Б. ${\ displaystyle \ sum F_ {h} = 0 = F_ {1, x} + F_ {2, x} + A_ {h}}$
Сумма всех моментов: z. Б. ${\ displaystyle \ sum M_ {A} = 0 = F_ {1, z} \ cdot x_ {1} + F_ {2, z} \ cdot x_ {2} + B_ {v} \ cdot L}$

В трех формулах, три неизвестных включены , , , согласно правилам математического решены. Однако приметы необходимо строго соблюдать. Здесь и на рисунке выше положительные: вертикальные силы сверху вниз, горизонтальные силы слева направо, моменты поворота вправо. ${\ displaystyle A_ {v}}$ ${\ displaystyle A_ {h}}$ ${\ displaystyle B_ {v}}$

Максимальный изгибающий момент при равномерной нагрузке

Равномерная нагрузка, система и момент

Максимальный изгибающий момент однопролетной балки при равномерной нагрузке получается:

{\ displaystyle M _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {q \ cdot l ^ {2}} {8}}}

Символы формул
${\ Displaystyle М _ {\ mathrm {макс}}}$	максимальный изгибающий момент в центре пролета [кНм]
${\ displaystyle q}$	Линейная нагрузка [кН / м]
${\ displaystyle l}$	Пролет балки [м]

С помощью этой формулы многие другие статические системы также могут быть рассчитаны с хорошим приближением (на всякий случай). Поэтому он часто используется для грубых расчетов без поддержки EDP. Однако для шарнирно-сочлененной однопролетной балки с равномерной нагрузкой формула является точным решением. Линия моментов всегда образует параболу .

Вывод:

Формулы суммы для горизонтальных и вертикальных сил приводят к следующему:

{\ displaystyle A_ {h} = 0 \,}

{\ Displaystyle A_ {v} = B_ {v} = {\ frac {q \ cdot l} {2}}}

В этом случае ось x предполагается слева и начинается с точки A:

{\ Displaystyle M (x) = A_ {v} \ cdot xq \ cdot x \ cdot {\ frac {x} {2}}}

{\ Displaystyle M (x) = q \ cdot l \ cdot {\ frac {x} {2}} - q \ cdot {\ frac {x ^ {2}} {2}}}

Максимальный крутящий момент всегда находится в точке, где первая производная линии крутящего момента равна нулю. Первая производная M (x) по x дает следующую формулу:

{\ displaystyle M '(x) = q \ cdot {\ frac {l} {2}} - q \ cdot x}

Установка нулевого значения формулы приводит к получению значения x для местоположения локального максимума:

{\ displaystyle 0 = q \ cdot {\ frac {l} {2}} - q \ cdot x}

{\ displaystyle x = {\ frac {l} {2}}}

Подставляя это значение в M (x), получаем:

{\ Displaystyle M (x) = M _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {q \ cdot l ^ {2}} {8}}}

Параболическая строчка

Линия нагрузки, системы и момента

Вышеупомянутая формула также может быть использована для определения параболического стежка, если, помимо равномерной нагрузки, также возникают отдельные нагрузки (перегиб на линии момента).

Смотри тоже

литература

А. Горис (Ред.): Строительные таблицы Шнайдера для инженеров . 20-е издание. Вернер Верлаг, Кельн 2012, ISBN 978-3-8041-5251-9 , стр. 4.2 сл .

Languages