Частотный отклик

Частотная характеристика представляет собой зависимость между входным и выходным сигналом линейного времени-инвариантной системой (системами LZI) с синусоидальным возбуждением в терминах амплитуды и фазы. Поэтому является сложной функцией от частоты .

Из-за линейного поведения системы выходной сигнал имеет ту же частоту, что и входной сигнал. Однако эти два сигнала различаются по амплитуде и фазе . Отношение амплитуд входного и выходного сигналов в зависимости от частоты представляет собой амплитудную характеристику , иногда также называемую амплитудно-частотной характеристикой . Разница в фазе между входным и выходным сигналами в зависимости от частоты - это фазовая характеристика .

Частотная характеристика может быть также определена из преобразования Фурье с импульсной характеристикой системы.

Общий

Частотная характеристика описывает взаимосвязь между синусоидальными колебаниями на входе и выходе системы ( передающего элемента ) в зависимости от частоты  f или угловой частоты  ω .

Система обладает следующими свойствами:

• Линейность
• Инвариантность во времени
• Стабильность (выходное колебание не звучит, если входное возбуждение остается прежним, например, из-за резонанса)

Частотная характеристика элемента PT1 :
выходная амплитуда меньше на более высокой частоте.

Диаграмма Боде :
амплитуда и фаза частотной характеристики пассивного фильтра нижних частот или элемента PT1

Локус пассивного ФНЧ или элемента ПТ ₁

Такая система имеет гармонический входной сигнал.

${\ Displaystyle х (т) = {\ шляпа {х}} \ грех (\ омега т + \ фи _ {х}) \;}$

гармонический выходной сигнал:

${\ Displaystyle у (т) = {\ шляпа {у}} (\ омега) \ грех (\ омега т + \ фи _ {у} (\ омега)) \;}$.

Из-за линейности угловая частота не изменяется. Изменяются только амплитуда ( → ) и фаза ( → ). ${\ displaystyle \ omega \;}$${\ displaystyle {\ hat {x}} \;}$${\ displaystyle {\ hat {y}} \;}$${\ Displaystyle \ phi _ {х} \;}$${\ displaystyle \ phi _ {y} \;}$

Амплитудно-частотная характеристика - это отношение

${\ displaystyle A (\ omega) = {\ frac {{\ hat {y}} (\ omega)} {\ hat {x}}}}$.

Фазовая частотная характеристика - это разность фаз

${\ Displaystyle \ фи (\ омега) = \ фи _ {у} (\ омега) - \ фи _ {х} \;}$.

Графическое представление

Диаграмма Боде

Диаграмма Боде (см. Иллюстрацию) используется для четкого отображения частотной характеристики . Амплитудно-частотная характеристика и фазо-частотная характеристика показаны на одном графике каждая. Большинство осей логарифмически разделены (за исключением фазового сдвига), что упрощает использование диаграммы . Например, умножение двух частотных характеристик представляет собой простое сложение расстояния, а инверсия частотной характеристики является результатом отражения на оси f или ω на диаграмме.

Locus

Альтернативным графическим изображением частотной характеристики является ее локус . В отличие от диаграммы Боде, это векторное изображение содержит обе части информации: длина вектора соответствует отношению амплитуд, его аргумент φ представляет собой фазовый сдвиг.

Это геометрическое место также называется диаграммой Найквиста . С идеей, что только концы замороженных указателей связаны с геометрическим местом в (комплексной) плоскости, частотная характеристика может быть понятна без знания сложной математики и математических преобразований из временной области в частотную.

преобразование Фурье

Системы LZI с конечным числом внутренних степеней свободы описываются линейным дифференциальным уравнением n-го порядка во временной области (время как переменная):

${\ displaystyle y ^ {(n)} + a_ {n-1} y ^ {(n-1)} + \ ldots + a_ {1} y ^ {(1)} + a_ {0} y = b_ { m} x ^ {(m)} + \ ldots + b_ {1} x ^ {(1)} + b_ {0} x}$.

Применение преобразования Фурье к дифференциальному уравнению приводит к частотной характеристике как функции изображения в плоскости комплексных чисел.

Частотная характеристика - это частное от преобразования Фурье выходного сигнала и входного сигнала: ${\ Displaystyle Н (\ mathrm {j} \ omega)}$${\ Displaystyle Y (\ mathrm {j} \ omega)}$${\ Displaystyle Х (\ mathrm {j} \ omega)}$

${\ displaystyle H (\ mathrm {j} \ omega) = {\ frac {Y (\ mathrm {j} \ omega)} {X (\ mathrm {j} \ omega)}} = {\ frac {b_ {m } (\ mathrm {j} \ omega) ^ {m} + \ ldots + b_ {1} (\ mathrm {j} \ omega) + b_ {0}} {(\ mathrm {j} \ omega) ^ {n } + a_ {n-1} (\ mathrm {j} \ omega) ^ {n-1} + \ ldots + a_ {1} (\ mathrm {j} \ omega) + a_ {0}}}}$.

Обратное преобразование Фурье частотной характеристики - это весовая функция или импульсная характеристика:

${\ Displaystyle г (т) = {\ гидроразрыва {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} H (\ mathrm {j} \ omega) e ^ {\ mathrm {j } \ omega t} \ mathrm {d} \ omega}$.

Обозначение частотной характеристики:

• с действительной и мнимой частью

${\ displaystyle H (\ mathrm {j} \ omega) = \ operatorname {Re} H (\ mathrm {j} \ omega) + \ mathrm {j} \, \ operatorname {Im} H (\ mathrm {j} \ омега)}$ .

• с количеством и фазой

${\ displaystyle H (\ mathrm {j} \ omega) = \ left | H (\ mathrm {j} \ omega) \ right | e ^ {\ mathrm {j} \ varphi (\ mathrm {j} \ omega)} }$.

${\ displaystyle \ left | H (\ mathrm {j} \ omega) \ right | = {\ sqrt {(\ operatorname {Re} H (\ mathrm {j} \ omega)) ^ {2} + (\ operatorname { Im} H (\ mathrm {j} \ omega)) ^ {2}}}}$     количество

${\ displaystyle \ varphi (\ mathrm {j} \ omega) = \ arctan \ left ({\ frac {\ operatorname {Im} H (\ mathrm {j} \ omega)} {\ operatorname {Re} H (\ mathrm {j} \ omega)}} \ right)}$     фаза

Связь с передаточной функцией

см. основную статью: Передаточная функция

С в передаточная функция Лапласа переходит в частотную характеристику . ${\ displaystyle \ sigma = 0}$${\ displaystyle s = \ sigma + j \ omega}$${\ Displaystyle F (s)}$${\ Displaystyle F (\ omega)}$

Следовательно, частотная характеристика не описывает никаких переходных процессов (переходных процессов из-за постоянных времени). Он также не подходит для описания нестабильных развивающихся систем.

В этих аспектах передаточная функция Лапласа является более общей благодаря дополнительному параметру . ${\ displaystyle \ sigma}$

Экспериментальное определение АЧХ

Важность частотной характеристики для систем LZI основана на простоте ее экспериментального получения. Для этого система стимулируется генератором сигналов с разными частотами и измеряется отклик системы.

В системах с быстрой переходной характеристикой после (небольшого) изменения частоты измерение может выполняться с помощью генератора колебаний , как, например, в коммуникационных технологиях . Генератор колебаний - это специальный генератор сигналов, который непрерывно изменяет свою выходную частоту.

Определение частотной характеристики с помощью генератора сигналов и синхронного по времени измерения

Однако если после каждого частотного возбуждения нужно выждать определенное время, пока амплитуда отклика системы не перестанет изменяться, то процесс с помощью генератора сигналов будет более трудоемким.

В этом случае проще стимулировать систему всеми интересующими частотами одновременно и определять частотную характеристику, например, путем измерения импульсной характеристики .

В любом случае экспериментальное определение частотной характеристики требует синхронного по времени измерения входного сигнала x и выходного сигнала y системы.

Значение слова в широком смысле

В более общем смысле «частотная характеристика» может также означать другое частотно-зависимое свойство физической системы, такое как потребляемая мощность, температура или излучаемая мощность как функция частоты. Чаще, чем z. Б. «Частотная характеристика услуги» - это, однако, выражение «частотная зависимость услуги». Согласно одному источнику, «частотная характеристика» на языке инженеров по контролю также относится к известному частотному спектру специальных непериодических сигналов возбуждения.

литература

• Хайнц Унбехауэн: Техника управления I. Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, 1997, ISBN 3-528-83332-7 .
• Ян Лунзе: Техника управления 1 . 6-е издание. Springer Verlag, Берлин 2007, ISBN 978-3-540-70790-5 . 
• Вильфрид Вайсгербер: Электротехника для инженеров 2. Vieweg, 2007, ISBN 978-3-8348-0191-3 .
• Гюнтер Шмидт : Основы техники управления . Springer Verlag, 1987, ISBN 3-540-17112-6 .

веб ссылки

• Вы знаете частотную характеристику своего слуха? (PDF; 112 кБ)

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Бернд Жирод, Рудольф Рабенштейн, Александр Стенгер: Введение в теорию систем . 4-е издание. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0 . 
2. ↑ Винфрид Оппельт: Небольшое руководство по процессам технического контроля. Verlag Chemie, 1972, ISBN 3-527-25347-5 , стр. 60.
3. ↑ Гюнтер Шмидт : Основы техники управления . Springer Verlag, 1987, ISBN 3-540-17112-6
4. ↑ Интернет-энциклопедия Брокгауза. Библиографический институт и Ф.А. Брокгауза; доступ 22 июня 2010 г. Во вступительном тексте термин частотная характеристика определяется следующим образом: «Физика, технология: обычно изменение физической величины как функция частоты (угловая частота ω), а также название самой этой функции. ; В более узком смысле термин для сложной функции, которая характеризует временное поведение неизменяемых во времени линейных передающих элементов в технологиях связи или управления "
5. ↑ Курт Магнус, Карл Попп: Вибрации - Введение в физические принципы и теоретическое рассмотрение проблем вибрации. Teubner, ISBN 3-519-52301-9 , стр. 30 ( ограниченный предварительный просмотр в поиске книг Google).
6. ↑ Курт Райншке : Линейное регулирование и теория управления . Springer-Verlag, стр. 44 ( ограниченный предварительный просмотр в поиске книг Google)