Бесконечно малое число

В математике положительное бесконечно малое число - это объект, который с точки зрения порядка действительных чисел больше нуля , но меньше любого положительного действительного числа, независимо от его размера.

характеристики

Очевидно, что среди действительных чисел, отвечающих этому требованию, нет бесконечно малых, потому что такое бесконечное число должно удовлетворять условию , поскольку существует также положительное действительное число. Чтобы по-прежнему иметь возможность определять такие бесконечно малые числа , либо вышеупомянутое требование должно быть ослаблено, либо действительные числа должны быть встроены в более крупное упорядоченное поле , в котором тогда есть место для таких дополнительных элементов. Последний способ определения алгебраических бесконечно малых величин (Кост, Рой, Поллак), а также способ нестандартного анализа (НСА) (Робинсон, Нельсон). ${\ Displaystyle х \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle 0 <х <{\ tfrac {х} {2}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {x} {2}}}$

Бесконечно малое имеет свойство, что любая сумма конечного числа (в NSA: стандартное конечное множество) членов суммы этого числа меньше 1: ${\ Displaystyle х \ neq 0}$

${\ Displaystyle | х | + \ dotsb + | х | <1}$ для любого конечного числа слагаемых.

В этом случае больше любого положительного действительного (в NSA: стандартного действительного) числа. Для алгебраических бесконечно малых это означает, что соответствующее расширение поля неархимедово . ${\ Displaystyle | 1 / х |}$

исчисление

Вероятно, первым математиком, который использовал такие числа, был Архимед , хотя он не верил в их существование .

Ньютон и Лейбниц используют бесконечно малые числа для разработки своего исчисления бесконечно малых (дифференциального и интегрального исчисления).

Обычно они утверждали (на самом деле только Ньютон, Лейбниц использует монады , сегодня грубо говоря: завершенные или формальные степенные ряды ):

Чтобы найти производную функции , мы предполагаем, что она бесконечно мала. потом ${\ displaystyle f '(x)}$${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} \ ni x \ mapsto x ^ {2} \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathrm {d} х}$

${\ displaystyle f '(x) = {\ frac {f (x + \ mathrm {d} x) -f (x)} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {x ^ {2} + 2x \ cdot \ mathrm {d} x + \ left (\ mathrm {d} x \ right) ^ {2} -x ^ {2}} {\ mathrm {d} x}} = 2x + \ mathrm {d} х = 2х,}$

потому что бесконечно мала. ${\ Displaystyle \ mathrm {d} х}$

Хотя этот аргумент интуитивно понятен и дает правильные результаты, он не является математически точным: основная проблема заключается в том, что он изначально считается ненулевым (единица делится на ), но на последнем этапе он считается равным нулю. Использование бесконечно малых чисел подверглось критике Джорджем Беркли в его работе: «Аналитик: или дискурс, адресованный неверному математику» (1734).${\ Displaystyle \ mathrm {d} х}$${\ Displaystyle \ mathrm {d} х}$

Исторический прогресс

С тех пор вопрос о бесконечно малых числах был тесно связан с вопросом о природе действительных чисел. Только в девятнадцатом веке Огюстен Луи Коши , Карл Вейерштрасс , Ричард Дедекинд и другие дали реальный анализ в математически строгой формальной форме. Они ввели соображения предельных значений, которые сделали использование бесконечно малых величин излишним.

Даже в этом случае использование бесконечно малых чисел все еще считалось полезным для упрощения представлений и вычислений. Таким образом, если свойство означает быть бесконечно малым и, соответственно, свойство быть бесконечным , может быть определено: ${\ Displaystyle х \ приблизительно 0}$${\ Displaystyle N \ приблизительно \ infty}$

• А (стандарт) Результат представляет собой последовательность нуля , если для всех применяется: .${\ Displaystyle (а_ {п})}$${\ Displaystyle N \ приблизительно \ infty}$${\ displaystyle a_ {N} \ приблизительно 0}$
• А (стандартная) функция на ограниченном интервале равномерно непрерывна , если и только если для всех , то применяется из следующих условий : .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle x, y \ in I}$${\ Displaystyle ху \ приблизительно 0}$${\ Displaystyle f (x) -f (y) \ приблизительно 0}$

В 20 веке были найдены расширения диапазона действительных чисел, которые содержат бесконечно малые числа в формально правильной форме. Наиболее известны гиперреальные числа и сюрреалистические числа .

В нестандартном анализе по Abraham Robinson (1960), которая содержит Гипердействительные числа , как частный случай, бесконечно малые числа являются законными величинами. В этом анализе вышеупомянутый вывод может быть оправдан небольшой модификацией: мы говорим о стандартной части дифференциального частного и стандартной части is (если это стандартное число; более подробная информация в связанной статье). ${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} \ ni x \ mapsto x ^ {2} \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 2x + \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle 2x}$${\ displaystyle x}$

опухать

1. ↑ Полный текст (недавно установлен) можно найти для загрузки [1]