Кинетическая энергия

Кинетическая энергия (от древнегреческого κίνησις Kinesis , немецкого , движение ' ) или кинетической энергии или редко кинетической энергии является энергией , что объект из - за его движение содержит. Это соответствует работе, которую нужно затратить, чтобы переместить объект из состояния покоя в мгновенное движение. Это зависит от массы и скорости движущегося тела.

Часто или используется как символ кинетической энергии . СИ - единица кинетической энергии является джоуль .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}}}$

Концепция кинетической энергии как величины, которая сохраняется в случае упругих столкновений и многих других механических процессов, была введена как vis viva («жизненная сила») Готфридом Вильгельмом Лейбницем , который спорил с последователями Рене Декарта о правильном сохранении. количество пил в механике (1686). Однако этот размер был в 2 раза больше, чем действующая сегодня кинетическая энергия. Фактор ¹ ⁄ ₂ в формуле кинетической энергии можно найти у Даниэля Бернулли еще в 1726 году . Фактическая концепция энергии возникла только в 19 веке, особенно в школе прикладной математики во Франции и с появлением термодинамики . В механике XVIII века основным предметом исследования была небесная механика , она еще не играла большой роли.

Кинетическая энергия в классической механике

Точка массы

В классической механике кинетическая энергия материальной точки зависит от ее массы и скорости : ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}$

Вождение автомобиля, например, масса со скоростью , то есть , следовательно , кинетическую энергию (в джоуль , является SI единица энергии). ${\ displaystyle m = 1000 \, \ mathrm {кг}}$${\ Displaystyle v = 100 \, \ mathrm {км} / \ mathrm {h}}$${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} \ cdot 1000 \, \ mathrm {kg} \ cdot \ left (100 \, {\ frac {\ mathrm {km}} {\ mathrm {h}}) } \ right) ^ {2} \ приблизительно {\ frac {1} {2}} \ cdot 1000 \, \ mathrm {kg} \ cdot \ left (27 {,} 78 \, {\ frac {\ mathrm {m }} {\ mathrm {s}}} \ right) ^ {2} = 385 \, 800 \, \ mathrm {J}}$${\ displaystyle \ mathrm {J}}$

Если описывать состояние движения тела не его скоростью , а его импульсом , как это бывает среди других. распространено в гамильтоновой механике , следующее относится к кинетической энергии (из-за ): ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p = mv}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {p ^ {2}} {2m}}}$

Простой вывод

Если тело с массой ускоряется от состояния покоя к скорости , работа ускорения должна быть добавлена. При постоянном усилии действует следующее: ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle W = Fs}$,

где - расстояние, пройденное в направлении действия силы. Сила, сообщаемая телу с плавным ускорением , согласно фундаментальному уравнению механики равна . Через некоторое время скорость будет достигнута, и расстояние будет пройдено. Все вышеперечисленное положило результат на работу разгона. ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle F = ma}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle v = at}$${\ displaystyle s = {\ tfrac {1} {2}} в ^ {2}}$

${\ displaystyle W = ma \ cdot {\ frac {1} {2}} в ^ {2} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}$.

Поскольку кинетическая энергия в состоянии покоя имеет нулевое значение, она достигает именно этого значения после процесса ускорения . Следовательно, для тела массы со скоростью : ${\ displaystyle W}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}$

Движение в системе координат

Если вы описываете движение тела в системе координат, кинетическая энергия может быть вычислена следующим образом, в зависимости от выбора системы координат :

• Декартовы координаты ( x , y , z ):

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {x}} ^ {2} + {\ dot {y}} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2} \ right)}$

• Плоские полярные координаты ( ):${\ displaystyle r, \ varphi}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ varphi) }} ^ {2} \ right)}$

• Сферические координаты ( ):${\ displaystyle r, \ varphi, \ vartheta}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} m \ left (r ^ {2} \ left [{\ dot {\ vartheta}} ^ {2} + {\ точка {\ varphi}} ^ {2} \ sin ^ {2} \ vartheta \ right] + {\ dot {r}} ^ {2} \ right)}$

• Цилиндрические координаты ( ):${\ displaystyle r, \ varphi, z}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ varphi) }} ^ {2} + {\ dot {z}} ^ {2} \ right)}$

Точка над координатой означает ее изменение во времени, вывод по времени. В формулах не учтена энергия, которая может быть в собственном вращении тела.

Твердые тела

Кинетическая энергия твердого тела с полной массой и скоростью его центра тяжести представляет собой сумму энергии движения центра тяжести ( поступательная энергия ) и вращательной энергии вращения вокруг центра тяжести: ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle v _ {\ mathrm {s}}}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} M {v _ {\ mathrm {s}}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} J_ {\ mathrm {s}} \ omega ^ {2}}$

Вот в организме момент по инерции относительно центра тяжести и от угловой скорости вращения. ${\ Displaystyle J _ {\ mathrm {s}}}$${\ displaystyle \ omega}$

С тензором инерции это обычно записывается как: ${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} M {v _ {\ mathrm {s}}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {\ omega}} ^ {T} I {\ boldsymbol {\ omega}}}$

Гидродинамика

В гидродинамике вместо кинетической энергии часто указывается плотность кинетической энергии . Обычно это выражается маленьким или : ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle \ epsilon}$

${\ displaystyle e _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {E _ {\ mathrm {kin}}} {V}} = {\ frac {1} {2}} \ rho v ^ {2}}$

Здесь плотность и V объем. ${\ displaystyle \ rho}$

Кинетическая энергия в релятивистской механике

Сравнение релятивистской и классической кинетической энергии

В релятивистской физике вышеупомянутая зависимость кинетической энергии от скорости применима только приблизительно к скоростям, которые значительно ниже скорости света . Из предположения, что кинетическая энергия - это разница между полной энергией и энергией покоя , следует: ${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}}}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = \ gamma mc ^ {2} -mc ^ {2} = \ left (\ gamma -1 \ right) mc ^ {2}}$

Здесь скорость света, масса и фактор Лоренца${\ displaystyle c}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}}.}$

Разложение в ряд Тейлора , согласно дает ${\ displaystyle v / c}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2} + {\ frac {3} {8}} {\ frac {mv ^ {4}} { с ^ {2}}} + \ cdots}$,

таким образом, снова для ньютоновской кинетической энергии. ${\ displaystyle v \ ll c}$

Поскольку энергия должна вырасти сверх всех пределов, если скорость пойдет против скорости света, невозможно разогнать нагруженное массой тело до скорости света. ${\ displaystyle \ lim _ {v \ to c} E _ {\ mathrm {kin}} = \ infty,}$

На диаграмме справа показана релятивистская и ньютоновская кинетическая энергия как функция скорости (измеренная в кратных скорости света) для тела массой . ${\ Displaystyle м = 1 \, \ mathrm {кг}}$

Поскольку скорость движущегося тела зависит от системы отсчета, это также относится к его кинетической энергии. Это верно как для ньютоновской, так и для релятивистской физики.

Примеры применения

Релятивистская скорость электрона после прохождения через электрическое поле

В электрическом поле энергия электрона, имеющего заряд и массу, линейно увеличивается с проходящим через него ускоряющим напряжением . Кинетическая энергия теперь равна разнице между релятивистской полной энергией и энергией покоя ₀ . Итак, кинетическая энергия равна: ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle eU}$

${\ Displaystyle е \ cdot U = E-E_ {0}}$

Обратите внимание, что для полной энергии

${\ displaystyle E ^ {2} = c ^ {2} p ^ {2} + E_ {0} ^ {2} \ quad (*)}$

применяется ( : релятивистский импульс) и соотношение между импульсом и полной энергией ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle cp = E \ cdot {\ frac {v} {c}}}$

состоит, для полной энергии следует из : ${\ displaystyle (*)}$

${\ displaystyle E (v) = {\ frac {E_ {0}} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}$

Если вы теперь вычислите разницу от и , установите выражение равным и решите для , вы, наконец, получите: ${\ Displaystyle E (v)}$${\ displaystyle E_ {0}}$${\ Displaystyle е \ cdot U}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle v = c \ cdot {\ sqrt {1 - {\ left ({\ frac {1} {1 + {\ frac {eU} {E_ {0}}}}} \ right)} ^ {2} }}}$ с энергией покоя электрона ${\ displaystyle E_ {0} = 0 {,} 51 ​​\, \ mathrm {МэВ}}$

При ускоряющих напряжениях ниже 1 кВ скорость может быть оценена из классического подхода для кинетической энергии; при более высоких энергиях необходимо проводить релятивистские расчеты. При напряжении 10 кВ электроны достигают скорости почти 20% скорости света, при 1 МВ 94%.

Большой адронный коллайдер поставляет протоны с кинетической энергией 6,5 ТэВ. Эта энергия примерно в 8 тысяч раз больше, чем энергия покоя протона. В случае столкновения протонов с противоположным ускорением могут возникнуть частицы с соответственно высокой энергией покоя.

Кинетическая энергия в квантовой механике

В квантовой механике , то ожидаемое значение кинетической энергии частицы массы , которая описывается волновой функцией , задаются ${\ Displaystyle \ langle {\ шляпа {E}} _ {\ mathrm {kin}} \ rangle}$${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle \ vert \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle \ langle {\ hat {E}} _ {\ mathrm {kin}} \ rangle = {\ frac {1} {2m}} \ langle \ psi | {\ hat {P}} ^ {2} | \ psi \ rangle}$,

где - квадрат оператора импульса частицы. ${\ displaystyle {\ hat {P}} ^ {2}}$

В формализме теории функционала плотности предполагается только то, что плотность электронов известна, то есть волновую функцию не нужно знать формально. Что касается электронной плотности , точный функционал кинетической энергии электронов неизвестен; однако, если в данном случае рассматривается один электрон, то кинетическая энергия может быть принята равной ${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle N = 1}$

${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} [\ rho] = \ int {\ frac {1} {8}} {\ frac {\ nabla \ rho (\ mathbf {r}) \ cdot \ nabla \ rho (\ mathbf {r})} {\ rho (\ mathbf {r})}} \ mathrm {d} ^ {3} r}$

написано, где Вайцзеккер функционал кинетической энергии. ${\ displaystyle E _ {\ mathrm {kin}} [\ rho]}$

Смотри тоже

• Потенциальная энергия
• Закон сохранения энергии
• Сила буксировки (кинетическая энергия в географии)

литература

• Вольфганг Нолтинг : Классическая механика. В кн . : Базовый курс теоретической физики. Том 1, 8-е издание. Springer, Берлин, 2008 г., ISBN 978-3-540-34832-0 .
• Ричард П. Фейнман : Фейнман читает лекции по физике. Механика, радиация, тепло 5-е, улучшенное издание, окончательное издание. Ольденбург, Мюнхен / Вена 2007, ISBN 978-3-486-58444-8 (= Лекции Фейнмана по физике , том 1).
• Пол А. Типлер : Физика. 3-е исправленное переиздание 1-го издания. 1994, Spektrum Akademischer Verlag, Гейдельберг / Берлин 2000, ISBN 3-86025-122-8 .
• Людвиг Бергманн , Клеменс Шефер : Механика - Акустика - Тепло. В кн . : Учебник экспериментальной физики. Том 1, 12-е издание. Вальтер де Грюйтер, Берлин 2008 г., ISBN 978-3-11-019311-4 .
• Райнер Мюллер : Классическая механика: от прыжка в длину до полета на Марс . Де Грюйтер, 25 сентября 2015 г., ISBN 978-3-11-044530-5 .
• Дитер Мешеде : Физика Герцена . Springer-Verlag, 27 февраля 2015 г., ISBN 978-3-662-45977-5 .

веб ссылки

• Литература кинетической энергии и о кинетической энергии в каталоге Немецкой национальной библиотеки

Индивидуальные доказательства

1. ↑ сравните 1,602 · 10 ⁻¹⁹ Дж = 1 эВ = 1,602 · 10 ⁻¹⁹ Кл · В = 1,602 · 10 ⁻¹⁹ А · с · В = 1,602 · 10 ⁻¹⁹ Вт · с = 3,827 · 10 ⁻²³ килокалорий ккал ( список порядков энергии ).
2. ↑ Сабо: История механических принципов. Биркхойзер, стр.71.
3. ↑ Макс Джаммер : Статья Энергия. В: Дональд Борхерт (ред.): Энциклопедия философии. Томсон Гейл, 2006.
4. ^ AP French: Специальная теория относительности - вводный курс физики Массачусетского технологического института 1968, стр. 19-23.