Приближение малых углов

Практически такое же поведение некоторых (тригонометрических) функций при x → 0

Под малоугловым приближением понимается математическое приближение, в котором предполагается, что угол достаточно мал, чтобы его синус или тангенс можно было заменить на сам угол (в радианах ), а косинус на : ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle 1}$

{\ Displaystyle {\ begin {align} \ sin x \ приблизительно x \\\ tan x \ приблизительно x \\\ cos x \ приблизительно 1 \ end {выравнивается}}}

Вывод

В основе этого подхода лежит соответствующий ряд Маклорена функции угла (см. Также ряд Тейлора ):

{\ displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {6}} + {\ frac {x ^ {5}} {120}} \ mp \ cdots}

{\ displaystyle \ tan x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2 \, x ^ {5}} {15}} + \ cdots}

{\ displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {x ^ {4}} {24}} \ mp \ cdots}

В самом деле, можно пренебречь слагаемыми с большей степенью по сравнению с предыдущими членами, так что указанное выше Примерные результаты. ${\ Displaystyle | х | \ ll 1}$ ${\ displaystyle x}$

	Конкретный пример: приближение и отклонение синуса при
Пример углов	${\ Displaystyle х = \ pi / 36 = 5 ^ {\ circ}}$	${\ Displaystyle х = \ pi / 24 = 7 {,} 5 ^ {\ circ}}$	${\ Displaystyle х = \ pi / 18 = 10 ^ {\ circ}}$
${\ displaystyle x}$ в градусах (град.) ${\ Displaystyle ^ {\ circ}}$	${\ displaystyle ~~~ 5 {,} 0 ~}$	${\ displaystyle ~~~ 7 {,} 5 ~}$	${\ displaystyle ~~~ 10 {,} 0 ~}$
${\ displaystyle x}$ в радианах (рад) вместо ${\ Displaystyle \ грех х}$	${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 08727 = \ pi / 36}$	${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 13090 = \ pi / 24}$	${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 1745 = \ pi / 18}$
${\ Displaystyle \ грех х}$	${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 08716 ~}$	${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 13053 ~}$	${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 1736 ~}$
Относительное отклонение	${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 13 ~ \%}$	${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 29 ~ \%}$	${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 51 ~ \%}$

Таблица относительного отклонения или предела погрешности соответствующего приближения для указанных углов:

	Относительное отклонение синуса, тангенса и косинуса при
Приближение	${\ Displaystyle х = \ pi / 36 = 5 ^ {\ circ}}$	${\ Displaystyle х = \ pi / 24 = 7 {,} 5 ^ {\ circ}}$	${\ Displaystyle х = \ pi / 18 = 10 ^ {\ circ}}$
${\ displaystyle x}$ вместо того ${\ Displaystyle \ грех х}$	${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 13 ~ \%}$	${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 3 ~ \%}$	${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 5 ~ \%}$
${\ displaystyle x}$ вместо того ${\ displaystyle \ tan x}$	${\ displaystyle -0 {,} 25 ~ \%}$	${\ displaystyle -0 {,} 6 ~ \%}$	${\ displaystyle -1 {,} 0 ~ \%}$
${\ displaystyle 1}$ вместо того ${\ Displaystyle \ соз х}$	${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 38 ~ \%}$	${\ displaystyle ~~~ 0 {,} 9 ~ \%}$	${\ displaystyle ~~~ 1 {,} 5 ~ \%}$

Приложения

Малоугловое приближение особенно важно в физике , где многие задачи могут быть решены аналитически с помощью малоуглового приближения , которое в противном случае привело бы к сложным эллиптическим интегралам с учетом угловых функций . Примерами применения малоуглового приближения являются математический маятник , оценка дифракции на щели , параксиальная оптика, а также приближение параболы и дуги окружности при обработке линз и вогнутых зеркал вблизи оптической оси. .

Умеренные изменения угла> 7 °

В технической механике также принято учитывать умеренные изменения угла. Во избежание полного выпадения косинуса в малоугловом приближении также учитывается второй член разложения в ряд Тейлора, так что:

${\ displaystyle {\ text {cos}} (x) \ приблизительно 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}}}$ .

Одним из примеров применения является теория слегка изогнутых конструкций оболочки: поскольку кривизна имеет решающее влияние на поведение нагрузки, ее необходимо учитывать; в то же время аппроксимация предназначена для уменьшения вычислительных затрат.

Более точное приближение теперь приводит к следующим свойствам:

	Относительное отклонение при
Приближение	${\ Displaystyle х = \ pi / 18 = 10 ^ {\ circ}}$	${\ Displaystyle х = \ pi / 9 = 20 ^ {\ circ}}$	${\ Displaystyle х = 2 \ pi / 9 = 40 ^ {\ circ}}$
${\ displaystyle 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}}}$ вместо того ${\ Displaystyle \ соз х}$	${\ displaystyle ~~~ -0 {,} 0039 ~ \%}$	${\ displaystyle ~~~ -0 {,} 066 ~ \%}$	${\ displaystyle ~~~ -1 {,} 27 ~ \%}$