Коммутативный закон

Ссылка коммутативна, если она всегда выполняется. На этом рисунке используется идея операции как машины, которая превращает два ввода в один результат. Если ссылка является коммутативной, то не имеет значения, в каком порядке вводятся и появляются - результат такой же, как .

Переместительный закон ( Latin commutare «для обмена»), в немецком законе обмена, это правило , от математики . Если это имеет место, то аргументы в операции могут быть заменены без изменения результата. Математические операции, подчиняющиеся закону коммутативности, называются коммутативными.

Коммутативный закон образует основные правила алгебры с ассоциативным законом и распределительным законом .

Формальное определение

Пусть будут и количества. Бинарное соединение называется коммутативной , если выполняется равенство относится ко всем .

Примеры и контрпримеры

Сложение векторов коммутативно, потому что есть.

Вещественные числа

Сложение натуральных чисел коммутативно.

Для действительных чисел всегда так

и

,

операции сложения и умножения коммутативны. Первую формулу еще называют коммутативным законом сложения, второй - коммутативным законом умножения . С другой стороны, вычитание и деление действительных чисел не являются коммутативными операциями. Возведение в степень также не коммутативно ( это контрпример).

Самая старая известная форма коммутативного закона сложения - шумерская басня об умном волке и девяти глупых волках .

Скалярные произведения

  • Скалярное произведение в реальном векторном пространстве является коммутативной, поэтому он всегда имеет место .
  • С другой стороны, скалярное произведение в комплексном векторном пространстве не является коммутативным, а скорее применяется , с чертой сверху, обозначающей комплексное сопряжение .

Установить операцию

В теории множеств объединение и пересечение - это коммутативные операции; для наборов всегда применяется следующее:

(Союз)
(Порез)

Напротив, разница не коммутативна. и поэтому иногда бывают разные суммы, например Б. для и , потому что тогда было бы и .

Расчет матрицы

Сложение матриц над кольцом или телом коммутативно. Однако матричное умножение не является коммутативным: хотя множители иногда, но не всегда, взаимозаменяемы.

Умножение матриц на скаляры и умножение матриц в подкольце диагональных матриц также коммутативны .

Теория групп

Вообще группа, в которой соединение элементов группы коммутативно, называется абелевой .

Логика высказываний

В логике высказываний применяется к связкам :

  • («Или») коммутативно.
  • («И») коммутативно.
  • Логическая эквивалентность ») коммутативна.
  • («Если ..., то ...»; см. Импликацию ) не коммутативен.

Дальнейшие примеры

Другими примерами некоммутативных операций являются перекрестное произведение в векторных пространствах или умножение кватернионов .

Коммутативность также является важным базовым свойством в квантовой механике , коммутация двух наблюдаемых физически означает, что их можно измерить в одно и то же время. Не все наблюдаемые перемещаются.

Антикоммутативность

В некоторых структурах с двумя операциями, например, перекрестном произведении в векторных пространствах, коммутативный закон не применяется, а вместо этого является своего рода противоположностью ему:

.

Вообще говоря, произведение на алгебре Ли, записанное как, удовлетворяет антикоммутативности.

Замечания

Симметричное отношение

Коммутативность, которая позволяет обмениваться аргументами в операции , аналогична свойству симметрии отношений, которое позволяет обмениваться сравниваемыми элементами относительно отношения : тогда и только тогда, когда .

Закон о гибкости

Закон о гибкости предлагает альтернативную возможность «заключения в скобки» для ссылки :

Смотри тоже

литература

  • Отто Форстер : дифференциальное и интегральное исчисление переменной. (Анализ, Том 1). 10-е издание, Verlag Vieweg & Teubner, Braunschweig 2011, ISBN 978-3-8348-1251-3 .