Коммутативный закон
Переместительный закон ( Latin commutare «для обмена»), в немецком законе обмена, это правило , от математики . Если это имеет место, то аргументы в операции могут быть заменены без изменения результата. Математические операции, подчиняющиеся закону коммутативности, называются коммутативными.
Коммутативный закон образует основные правила алгебры с ассоциативным законом и распределительным законом .
Формальное определение
Пусть будут и количества. Бинарное соединение называется коммутативной , если выполняется равенство относится ко всем .
Примеры и контрпримеры
Вещественные числа
Для действительных чисел всегда так
и
- ,
операции сложения и умножения коммутативны. Первую формулу еще называют коммутативным законом сложения, второй - коммутативным законом умножения . С другой стороны, вычитание и деление действительных чисел не являются коммутативными операциями. Возведение в степень также не коммутативно ( это контрпример).
Самая старая известная форма коммутативного закона сложения - шумерская басня об умном волке и девяти глупых волках .
Скалярные произведения
- Скалярное произведение в реальном векторном пространстве является коммутативной, поэтому он всегда имеет место .
- С другой стороны, скалярное произведение в комплексном векторном пространстве не является коммутативным, а скорее применяется , с чертой сверху, обозначающей комплексное сопряжение .
Установить операцию
В теории множеств объединение и пересечение - это коммутативные операции; для наборов всегда применяется следующее:
- (Союз)
- (Порез)
Напротив, разница не коммутативна. и поэтому иногда бывают разные суммы, например Б. для и , потому что тогда было бы и .
Расчет матрицы
Сложение матриц над кольцом или телом коммутативно. Однако матричное умножение не является коммутативным: хотя множители иногда, но не всегда, взаимозаменяемы.
Умножение матриц на скаляры и умножение матриц в подкольце диагональных матриц также коммутативны .
Теория групп
Вообще группа, в которой соединение элементов группы коммутативно, называется абелевой .
Логика высказываний
В логике высказываний применяется к связкам :
- («Или») коммутативно.
- («И») коммутативно.
- (« Логическая эквивалентность ») коммутативна.
- («Если ..., то ...»; см. Импликацию ) не коммутативен.
Дальнейшие примеры
Другими примерами некоммутативных операций являются перекрестное произведение в векторных пространствах или умножение кватернионов .
Коммутативность также является важным базовым свойством в квантовой механике , коммутация двух наблюдаемых физически означает, что их можно измерить в одно и то же время. Не все наблюдаемые перемещаются.
Антикоммутативность
В некоторых структурах с двумя операциями, например, перекрестном произведении в векторных пространствах, коммутативный закон не применяется, а вместо этого является своего рода противоположностью ему:
- .
Вообще говоря, произведение на алгебре Ли, записанное как, удовлетворяет антикоммутативности.
Замечания
Коммутативность, которая позволяет обмениваться аргументами в операции , аналогична свойству симметрии отношений, которое позволяет обмениваться сравниваемыми элементами относительно отношения : тогда и только тогда, когда .
Закон о гибкости предлагает альтернативную возможность «заключения в скобки» для ссылки :
Смотри тоже
литература
- Отто Форстер : дифференциальное и интегральное исчисление переменной. (Анализ, Том 1). 10-е издание, Verlag Vieweg & Teubner, Braunschweig 2011, ISBN 978-3-8348-1251-3 .