Пуля
В геометрии сфера - это аббревиатура от сферической поверхности или сферического тела.
Сферическая поверхность и сферическое тело
Сферическая поверхность создается вращением круга, образованного вокруг поверхности диаметра круга . Это поверхность вращения и особая поверхность второго порядка , описываемая как набор (геометрическое положение) всех точек в трехмерном евклидовом пространстве , расстояние от которых до фиксированной точки в пространстве равно заданному положительному действительному числу . Фиксированная точка называется центром или центром сферы, а число называется радиусом сферы.
На сферической поверхности делит пространство на две отдельные открытые подмножества , из которых ровно один является выпуклым . Эта сумма называется внутренней частью сферы. Объединение сферической поверхности и ее внутренней части называется сферическим телом или твердой сферой . Сферическую поверхность также называют сферической поверхностью или сферой .
И сферические поверхности, и сферические тела часто для краткости называют сферами, поэтому из контекста должно быть ясно, какое из этих двух значений имеется в виду.
Сферическая поверхность с центром ( , , ), а радиус есть множество всех точек ( , , ) , для которой
доволен.
В векторной записи с , :
- ,
- ,
- или
- .
Точки сферической поверхности с радиусом и центром в начале координат могут быть параметризованы сферическими координатами следующим образом:
с и .
Сферические разрезы
- Если вы поднесете к пересечению плоскость со сферой , всегда образуется круг. Если плоскость содержит центр сферы, линия пересечения называется большим кругом , в противном случае - малым кругом .
- Обе эти части тела образуются горячим сферическим сегментом или сегментом шара , в случае полусферы большого круга (полусферы) .
- Изогнутая часть поверхности сферического сегмента называется сферическая крышка , сферический колпачок или сферической крышка .
- Сферический сегмент и конус с кругом пересечения в качестве основания и центром сферы в качестве наконечника образуют сферический сегмент или сферический сектор .
- Две параллельные плоскости, пересекающие сферу (не соприкасающиеся ), вырезают сферический слой из сферы . Искривленная часть поверхности сферического слоя называется сферической зоной .
- Две пересекающиеся плоскости, линия пересечения которых частично лежит внутри сферы, вырезают из сферы объект, криволинейная поверхность которого представляет собой сферический треугольник .
- Сферическая оболочка ( полые сферы ) представляет собой разность между двумя концентрическими сферами с различными радиусами.
Кривые на сфере
Круги
- Пересечение плоскости со сферой - это круг, точка или пустота.
Если сечение представляет собой круг, его можно представить в форме параметра : см. Плоское сечение эллипсоида .
Однако сфера также может пересекать более сложные поверхности по кругу:
- Непустое сечение сферы с поверхностью вращения , ось которой проходит через центр сферы, состоит из окружностей и / или точек.
На картинке сфера разрезает цилиндр на две окружности. Если бы радиус цилиндра был таким же, как радиус сферы, сечение было бы из контактной окружности. Эллипсоид вращения с тем же центром, что и сфера, и радиусом сферы, что и большая полуось, будет касаться сферы в двух точках (вершинах).
Это свойство используется в начертательной геометрии для построения точек кривой пересечения поверхностей вращения (см. Метод вспомогательной сферы ).
Клелия кривые
Сфера в параметрической форме
Учитывая, что можно получить кривые Клелии, если
ставит. Частными случаями этого являются: кривые Вивиана ( ) и сферические спирали ( ).
Локсодромия
Кривая на земном шаре, которая всегда пересекает меридианы (продольные круги) под одним и тем же углом, является локсодромией . Он вращается по спирали вокруг полюсов, которые являются двумя его асимптотическими точками, т. Е. ЧАС. он не содержит полюсов. Это не сферическая спираль в указанном выше смысле. Нет простой связи между углами и .
Разделы с другими квадриками
Если сфера пересекает другую квадрику (цилиндр, конус ...), возникают кривые пересечения с подходящими радиусами, параметрами ...
Пример: сфера - цилиндр
Кривая пересечения сферы с уравнением и цилиндра с уравнением состоит из решений нелинейной системы уравнений
(см. неявную кривую , рисунок)
Формулы
Геометрический размер | формула |
---|---|
Радиус сферы | |
Диаметр шара | |
Окружность (большой круг) | |
объем | |
поверхность | |
Площадь проекции / сферическое сечение | |
Высота (сферический сегмент / сферическая крышка, сферический слой,
не идентичен букве h на скетче ниже) |
|
Объем сферического колпачка | |
Площадь сферического колпачка | |
Боковая поверхность сферического слоя | |
Момент инерции полого шара (ось вращения через центр) | |
Момент инерции полной сферы (ось вращения через центральную точку) |
объем
Сферический объем - это объем сферы, ограниченный сферической поверхностью.
Конусное происхождение (архимедово происхождение)
Согласно мысли греческого математика Архимеда, существует эталонное тело для полусферы с радиусом , объем которого соответствует объему полушария, но его легко вычислить. Это сравнение тело возникает из того факта , что одной из цилиндра (точнее, прямой круговой цилиндр) с радиусом базовой поверхности и высотами в конусе (точнее, прямой круговой конус) с радиусом базовой поверхности и высотой ездой.
Чтобы доказать, что полусфера и эталонное тело имеют одинаковый объем, можно использовать принцип Кавальери . Этот принцип основан на идее разделения наблюдаемых тел на бесконечное количество срезов бесконечно малой (бесконечно меньшей) толщины. (Альтернативой этому методу было бы использование интегрального исчисления .) В соответствии с упомянутым принципом исследуются поверхности пересечения с плоскостями обоих тел, которые параллельны соответствующему основанию и находятся на заданном расстоянии от него .
В случае полусферы поверхность среза представляет собой круглую поверхность. Радиус этой круговой области следует из теоремы Пифагора :
- .
Это дает для содержания срезаемой поверхности
- .
С другой стороны, в случае эталонного тела поверхность среза представляет собой круглое кольцо с внешним радиусом и внутренним радиусом . Площадь этой поверхности среза соответственно
- .
Таким образом, на любом расстоянии от основания две поверхности среза имеют одинаковую площадь поверхности . Из принципа Кавальери следует, что полусфера и эталонное тело имеют одинаковый объем.
Объем эталонного тела и, следовательно, также полушария теперь можно легко вычислить:
Объем конуса вычитается из объема цилиндра.
Следовательно, к объему (полной) сферы применимо следующее:
- .
Альтернативное происхождение
Сферу можно разделить на бесконечное количество пирамид с высотой (точек в центре сферы), вся площадь основания которых соответствует поверхности сферы (см. Ниже). Так что весь объем всех пирамид .
Вывод с помощью интегрального исчисления
Радиус на расстоянии :
- .
Круговая область на расстоянии :
- .
Объем шара :
- .
Таким же образом можно рассчитать объем сферического отрезка высоты :
- .
Дальнейшие выводы
Сферу радиуса с центром в начале координат можно выразить уравнением
описать, где находятся пространственные координаты.
Интегральное исчисление можно использовать для решения этой проблемы двумя способами:
Мы параметризуем сферу до нулевого множества Лебега
- .
С функциональным детерминантом
требуемый элемент объема получается как
- .
Таким образом, объем сферы определяется как
Другая возможность - через полярные координаты:
Теперь декартова система координат преобразована в полярную систему координат , что означает, что интегрирование продолжается после «изменения» системы координат с помощью переменных, а не по и, как раньше . Мотивацией к этой трансформации является значительное упрощение расчетов в дальнейшем курсе. Для дифференциала это означает: (ключевое слово: элемент поверхности )
Дальнейший путь с помощью формулы для тел вращения
Если вы позволите частицу вращаться вокруг фиксированной пространственной оси, вы получите тело с определенным объемом. В случае круглой области создается сфера. Это можно представить как вращающуюся монету.
Общая формула для тел вращения , вращающихся вокруг оси x, дает
- .
Уравнение для круга:
с фокусом
- .
Включив уравнение для круга, мы получим
- .
Подставив его в формулу для вращения тел вокруг оси x, вы получите
поверхность
Поверхность сферы - это двумерная область, которая образует край сферы. Таким образом, это набор всех точек, расстояние от которых до центра сферы имеет фиксированное значение . Это замкнутое двумерное многообразие .
Его площадь поверхности и , таким образом , тот же размер, что и у наружной поверхности с круговым цилиндром , который обволакивает сферу.
Для данного объема сфера имеет наименьшую площадь поверхности из всех возможных тел.
Причина
Если разделить сферу на:
- Слои высотой и соответственно
- « Меридианы », которые также находятся на расстоянии друг от друга на экваторе.
и разрешено для стремимся
- поэтому длина каждого поля обратно пропорциональна к - то есть, ее расстояние от центральной оси.
- Это становится ясно из рисунка вверху справа: это расстояние между точкой касания и центральной осью. Касательная перпендикулярна «спице», а два (прямоугольных) треугольника похожи друг на друга . Соответственно, применяется следующее:
- .
- Однако ширина каждого поля пропорциональна .
- Это видно прямо из рисунка ниже «Вид сверху».
Следовательно, длина, умноженная на ширину, всегда одинакова, т. Е. ЧАС. все квадратные поля имеют одинаковую площадь.
Площадь поверхности находится на экваторе ( что против искали, потому что на экваторе быстрее против преследуемых по сравнению).
Так , как все поля контента имеют и общее (количество полей в горизонтальном направлении , умноженной на количество полей в вертикальном направлении, то есть) являются полями, общая площадь всех полей: .
Альтернативный вывод с помощью сферического объема
Сферу можно представить как состоящую из бесконечного числа бесконечно малых (бесконечно малых) пирамид . Основания этих пирамид вместе составляют сферическую поверхность; высота пирамид равна радиусу сферы . Поскольку объем пирамиды задается формулой , соответствующее соотношение применяется к общему объему всех пирамид, то есть к сферическому объему:
- ( = Общая поверхность сферы)
Из-за :
Альтернативный вывод с использованием сферического объема и дифференциального исчисления
Поскольку объем сферы с
определяется, а с другой стороны поверхность громко изменяет громкость
То есть формула поверхности сразу же вытекает из формулы объема.
Вывод с помощью интегрального исчисления
Из первого правила Гульдина
для боковой поверхности тела вращения получается:
Вывод с помощью интегрального исчисления в сферических координатах.
Для элемента поверхности на поверхностях = постоянный применяется следующее в сферических координатах:
- .
Это позволяет легко рассчитать поверхность:
характеристики
- Сфера имеет бесконечное количество плоскостей симметрии , а именно плоскостей, проходящих через центр сферы. Кроме того, шар является вращательно-симметричным относительно каждой оси, проходящей через центральную точку и каждый угол поворота, и симметричен относительно своей центральной точки.
- У сферы нет ни краев, ни углов. Их поверхность нельзя разложить в плоскости без искажений, см. Также статью « Карта сети» .
- В дифференциальной геометрии сферическая сфера имеет гауссову кривизну в каждой точке поверхности . Из этого также следует, что сфера не может быть отображена на плоскость (кривизна 0) без искажения.
- Кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности сферы ( геодезическая ) лежит на большом круге , то есть окружности, проходящей через центр сферы. Например, геодезические на земном шаре лежат на долготах, но не на широтах - за исключением экватора.
- С помощью стереографической проекции сферу можно биективно отобразить на плоскости, за исключением «Северного полюса» . Это позволяет z. Б. Теорема о четырех цветах переносится на сферу. При обратном отображении плоскость может быть однозначно нанесена на сферическую поверхность без «Северного полюса», тогда «Северный полюс» означает «бесконечно удаленную точку» . В теории функций , то комплексное число плоскости переносится в сферу таким образом ( риманова номер сферы ), что делает его компактным риманова поверхность из пола 0.
- Сфера имеет наименьшую площадь поверхности из всех тел данного объема. Из всех тел с данной площадью поверхности он охватывает наибольший объем. По этой причине сфера также встречается в природе: пузыри (см. Мыльный пузырь ) и капли воды являются сферами (без учета силы тяжести ), потому что поверхностное натяжение пытается минимизировать поверхность. Планеты приблизительно представляют собой сферы, потому что они были жидкими, когда были сформированы, а сфера - это форма с наибольшей гравитационной энергией связи . Математическая сфера - идеальная форма. Шары, встречающиеся в природе, имеют лишь приблизительно сферическую форму.
- Отношение объема сферы с радиусом к объему описанного цилиндра (радиус , высота = , см. Рисунок) составляет . Это , а также формулы поверхности и объема были известны еще греческому Архимеду в древности.
- Сферу также можно понимать как твердое тело вращения: если вы позволите полукруглой поверхности вращаться вокруг своего диаметра , будет создана сфера. Если круг заменен эллипсом, который вращается вокруг одной из своих осей, результатом будет эллипсоид вращения (также называемый сфероидом ).
- Мяч автоматически скатывается по наклонной плоскости или может катиться во всех направлениях по поверхности под действием внешних сил . Промышленные (шлифованные) шарики используются в радиальных шарикоподшипниках с 19 века .
обобщение
Многомерные евклидовы пространства
Концепцию сферы можно перенести на комнаты других размеров . По аналогии с трехмерный твердой сферой, - мерная сфера определяются для натурального числа в качестве множества всех точек в - мерном евклидове пространства, расстояние до заданной точки (центральная точка) меньше или равно положительного реальному число (радиус). Край в - мерной сферы, то есть множество всех точек, расстояние от центра такой же , называется - двумерная сфера или короткое замыкание - сфера . Если вы не дополнительные детали в двумерной сфере говорит о том , что обычно означает одномерный единичную сферу ; в этом случае центральная точка находится в начале системы координат, а радиус равен 1.
Согласно этому определению трехмерная сфера - это обычная сфера; их поверхность соответствует 2 - сфере. Двумерная сфера - это круглая область, связанный круговой край - это 1-сфера. Наконец, одномерная сфера - это линия , причем две конечные точки линии можно понимать как 0-сферу.
Примечание: эти термины используются непоследовательно. Сферы в смысле данного здесь определения иногда называют сферами. Кроме того, некоторые авторы говорят о -сферах, когда имеют в виду -мерные сферы в -мерном пространстве.
- Мерный объем мерной сферы с радиусом является
- .
Вот гамма - функция , непрерывная экспансия факультета . - мерное содержание - мерной поверхности, то есть сфера, получают путем получения объема в соответствии с радиусом:
- .
Для единичной сферы по размерам можно найти следующие объемы и площади поверхности:
Габаритные размеры | 1 | 2 | 3 | 4-й | 5 | Шестой | 7-е | 8-е | 9 | 10 | ... | п = 2 м | п = 2м + 1 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
объем | 2 | ... | |||||||||||
поверхность | 2 | ... |
А- сфера - это пример компактности - разнообразия .
Метрические пространства
Понятие сферы можно обобщить на все пространства, в которых есть понятие расстояния, то есть на метрические пространства .
Является ли метрическое пространство, и , так называемые
открытый шар с центром и радиусом . Количество:
называется замкнутой сферой .
Некоторые авторы также пишут для открытых и закрытых сфер. Другие варианты написания открытых сфер - и .
Самая плотная упаковка шаров
Самая плотная упаковка сфер - это взаимное расположение сфер одинакового размера, занимающих наименьшее пространство . Пустое пространство между плотно упакованными сферами занимает всего около 26% от общего пространства, или плотность упаковки составляет около 74% :
- .
Это устройство можно описать двумя способами:
оно состоит из плоских слоев соприкасающихся сфер,
- каждого из которых касается шесть соседних шаров и по три шара из слоя выше и из слоя ниже, или
- каждый из которых касается четырех соседних шаров и четырех шаров из верхнего и нижнего слоев.
Первое из двух описаний является предпочтительным. Слой, содержащийся в нем, называется слоем гексагональных ( правильно гексагональных) сфер , который во втором случае называется слоем тетрагональных (квадратных) сфер .
символизм
Сферическая форма всегда считалась «идеальной формой». Только с момента появления токарной техники он стал почти идеальным для изготовления - по крайней мере, из дерева или мягкого камня. Позже он стал символом бесконечности (иногда и космоса). С появлением огнестрельного оружия , пушки и винтовки пули стали воплощением силы и мощности (смотри также: пуля (геральдика) ). В области оружейных технологий термин «пуля» все еще используется для обозначения винтовочных боеприпасов , хотя они часто уже не имеют геометрической формы сферы.
Примеры применения
Земля, луна и марс
Земля, Луна и Марс имеют примерно форму сферы.
Земля
Земля имеет средний диаметр 12742 км, то есть средний радиус . Масса Земли составляет около 5,9724 · 10 24 кг. Используя приведенные выше формулы для объема , средней плотности и поверхности, получаем :
- Объем :
- Средняя плотность :
- Земля имеет в среднем примерно в пять с половиной раз большую плотность, чем вода при стандартных условиях .
- Поверхность :
Луна
Луна имеет средний диаметр 3474 км, то есть средний радиус . Масса Луны составляет около 7,346 · 10 22 кг. Это приводит к:
- Объем :
- Это примерно 2,0 процента от Земли объема .
- Средняя плотность :
- Средняя плотность Луны в 3,3 раза больше плотности воды при стандартных условиях .
- Поверхность :
- Это около 7,4 процента поверхности Земли .
Марс
Марс имеет средний диаметр 6780 км, то есть средний радиус . Масса Марса составляет около 6,417 · 10 23 кг. Это приводит к:
- Объем :
- Это примерно 15,1 процента Земли объема .
- Средняя плотность :
- Марс в среднем имеет плотность почти в четыре раза выше, чем вода при стандартных условиях .
- Поверхность :
- Это около 28,4 процента поверхности Земли .
Футбольный мяч и другие мячи
Футбольный мяч имеет сферическую форму и имеет длину окружности около 68 сантиметров , то есть радиус из . Масса футбольного мяча составляет около 410 граммов . Это приводит к:
- Объем :
- Средняя плотность :
В следующей таблице показано сравнение окружности , объема , массы и средней плотности (приблизительные значения) различных шаров :
сфера | объем | Габаритные размеры | Средняя плотность | |
---|---|---|---|---|
Футбол | 68 см | 5,28 · 10 −3 м 3 | 410 г | 78 кг / м 3 |
Гандбол | 58 см | 3,29 · 10 −3 м 3 | 425 г | 129 кг / м 3 |
баскетбол | 74,9 см | 7,10 · 10 −3 м 3 | 567 г | 80 кг / м 3 |
волейбол | 65 см | 4,64 · 10 −3 м 3 | 260 г | 56 кг / м 3 |
Теннисный мячик | 20,5 см | 0,146 · 10 −3 м 3 | 56,7 г | 388 кг / м 3 |
Мяч для пинг-понга | 12,6 см | 0,0335 · 10 −3 м 3 | 2,7 г | 81 кг / м 3 |
Мяч для гольфа | 13,4 см | 0,0407 · 10 −3 м 3 | 45,9 г | 1128 кг / м 3 |
Бильярдный шар | 18,0 см | 0,0980 · 10 −3 м 3 | 170 г | 1735 кг / м 3 |
Смотри тоже
- Большой круг
- сфера
- Сферическая геометрия • Сферическая тригонометрия
- Сферический треугольник • Сферический треугольник
- Сегмент шара • сферический сектор • сферический слой
- Сфера (начертательная геометрия)
- Единичная сфера
Пуля в литературе
В романе Криониум. Опыты памяти по Matthias АК Zimmermann формула для вычисления сферического объема (4/3 · π · r³) в центре этой истории; это ясно объяснено читателю. Роман посвящен Архимеду , выведшему эту формулу. Главный герой попадает в мир забвения и тьмы, состоящий из множества элементов математики. История вращается вокруг очаровательной коллекции снежных глобусов, состоящей из 1001 предмета, которые направляют таинственные процессы в замке. В романе можно найти различные отсылки к математике, такие как зимний лес, изогнутый как лента Мебиуса , чудовище из фрактала , декартова система координат , числовые палиндромы , латинские квадраты , двойная система , Леонард Эйлер и Ада Лавлейс. .
литература
- Ян Роше (ред.): Глобусы. Исследователь архитектуры и наук Le monde. Norma / Cité de l'architecture, Париж, 2017.
- Райнер Мароска, Ахим Олпп, Клаус Штёкле, Хартмут Веллштейн: Пересечение 10. Математика . Эрнст Клетт Верлаг, Штутгарт 1997, ISBN 3-12-741050-6 .
- Фишер / Кауль: Математика для физиков. Springer, 4-е издание, ISBN 978-3-662-53968-2 .
веб ссылки
- Все о сфере
- Java-апплет Sphere Volume (требуется установка Java 1.4)
- Вывод формулы объема для сфер с использованием принципа Кавальери
Индивидуальные доказательства
- ^ Бото фон Керенбург: Установить теоретическую топологию. Springer-Verlag, Берлин / Гейдельберг, 1976, определение 1.3. 3-е издание 2001 г., ISBN 3-540-67790-9 .
- ^ Герберт Федерер : геометрическая теория меры. Springer-Verlag, Берлин / Гейдельберг, 1969, 2.8.1.
- ↑ te: c-science.com: совместный вывод плотности упаковки для гранецентрированной кубической и гексагональной плотноупакованных решеток вместе
- ^ Зигфрид Ветцель: Плотная упаковка сфер ; 8. кристаллографические клетки единицы и их плотность упаковки ; раздельный расчет для гранецентрированной кубической и гексагональной элементарных ячеек
- ↑ Тот, Ласло Фейес: плотнейшая сферическая упаковка , трактаты Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft, том 27, 1977, стр. 319
- ^ Вальтер Biertümpel и Hanns-Joachim Кёлер: Эдуард Кеттнер охотничье оружие . 4-е издание. RIW-Verlag Okahandja GmbH, Дуйсбург 1984, ISBN 3-923270-02-X .
- ↑ Вольфганг Рауш: Все об охотничьем оружии в теории и на практике . 4-е издание. Motorbuch Verlag, Штутгарт 1988, ISBN 3-7168-1324-9 .
- ↑ Вольфганг Рауш: Все о боеприпасах для охотничьего оружия в теории и на практике . 1-е издание. Motorbuch Verlag, Штутгарт 1980, ISBN 3-87943-710-6 .
- ↑ Literaturkritik.de отсылка к Архимеду Сиракузскому
- ↑ Berliner Gazette: In der Schneekugel: Как литература может запоминать, создавать и повторно измерять виртуальные пространства
- ↑ Aargauer Zeitung: В ловушке бесконечной виртуальности