Пуля

Изображение сферы с кругами долготы и широты

В геометрии сфера - это аббревиатура от сферической поверхности или сферического тела.

Сферическая поверхность и сферическое тело

Сферическая поверхность создается вращением круга, образованного вокруг поверхности диаметра круга . Это поверхность вращения и особая поверхность второго порядка , описываемая как набор (геометрическое положение) всех точек в трехмерном евклидовом пространстве , расстояние от которых до фиксированной точки в пространстве равно заданному положительному действительному числу . Фиксированная точка называется центром или центром сферы, а число называется радиусом сферы.

На сферической поверхности делит пространство на две отдельные открытые подмножества , из которых ровно один является выпуклым . Эта сумма называется внутренней частью сферы. Объединение сферической поверхности и ее внутренней части называется сферическим телом или твердой сферой . Сферическую поверхность также называют сферической поверхностью или сферой .

И сферические поверхности, и сферические тела часто для краткости называют сферами, поэтому из контекста должно быть ясно, какое из этих двух значений имеется в виду.

Сферическая поверхность с центром ( , , ), а радиус есть множество всех точек ( , , ) , для которой

доволен.

Сферические координаты и декартова система координат

В векторной записи с , :

,
,
или
.

Точки сферической поверхности с радиусом и центром в начале координат могут быть параметризованы сферическими координатами следующим образом:

с и .

Сферические разрезы

Кривые на сфере

Плоское сечение сферы
Сечение сферы - цилиндр: 2 круга

Круги

  • Пересечение плоскости со сферой - это круг, точка или пустота.

Если сечение представляет собой круг, его можно представить в форме параметра : см. Плоское сечение эллипсоида .

Однако сфера также может пересекать более сложные поверхности по кругу:

  • Непустое сечение сферы с поверхностью вращения , ось которой проходит через центр сферы, состоит из окружностей и / или точек.

На картинке сфера разрезает цилиндр на две окружности. Если бы радиус цилиндра был таким же, как радиус сферы, сечение было бы из контактной окружности. Эллипсоид вращения с тем же центром, что и сфера, и радиусом сферы, что и большая полуось, будет касаться сферы в двух точках (вершинах).

Это свойство используется в начертательной геометрии для построения точек кривой пересечения поверхностей вращения (см. Метод вспомогательной сферы ).

Сферическая спираль с

Клелия кривые

Сфера в параметрической форме

Учитывая, что можно получить кривые Клелии, если

ставит. Частными случаями этого являются: кривые Вивиана ( ) и сферические спирали ( ).

Локсодромия

Локсодромия

Кривая на земном шаре, которая всегда пересекает меридианы (продольные круги) под одним и тем же углом, является локсодромией . Он вращается по спирали вокруг полюсов, которые являются двумя его асимптотическими точками, т. Е. ЧАС. он не содержит полюсов. Это не сферическая спираль в указанном выше смысле. Нет простой связи между углами и .

Разделы с другими квадриками

Кривая пересечения сфера-цилиндр

Если сфера пересекает другую квадрику (цилиндр, конус ...), возникают кривые пересечения с подходящими радиусами, параметрами ...

Пример: сфера - цилиндр

Кривая пересечения сферы с уравнением и цилиндра с уравнением состоит из решений нелинейной системы уравнений

(см. неявную кривую , рисунок)

Формулы

Формулы для сферы
Геометрический размер формула
Радиус сферы
Диаметр шара
Окружность (большой круг)
объем
поверхность
Площадь проекции / сферическое сечение
Высота (сферический сегмент / сферическая крышка, сферический слой,

не идентичен букве h на скетче ниже)

Объем сферического колпачка
Площадь сферического колпачка
Боковая поверхность сферического слоя
Момент инерции полого шара (ось вращения через центр)
Момент инерции полной сферы (ось вращения через центральную точку)

объем

Сферический объем - это объем сферы, ограниченный сферической поверхностью.

Конусное происхождение (архимедово происхождение)

Вывод сферического объема по Кавальери

Согласно мысли греческого математика Архимеда, существует эталонное тело для полусферы с радиусом , объем которого соответствует объему полушария, но его легко вычислить. Это сравнение тело возникает из того факта , что одной из цилиндра (точнее, прямой круговой цилиндр) с радиусом базовой поверхности и высотами в конусе (точнее, прямой круговой конус) с радиусом базовой поверхности и высотой ездой.

Чтобы доказать, что полусфера и эталонное тело имеют одинаковый объем, можно использовать принцип Кавальери . Этот принцип основан на идее разделения наблюдаемых тел на бесконечное количество срезов бесконечно малой (бесконечно меньшей) толщины. (Альтернативой этому методу было бы использование интегрального исчисления .) В соответствии с упомянутым принципом исследуются поверхности пересечения с плоскостями обоих тел, которые параллельны соответствующему основанию и находятся на заданном расстоянии от него .

В случае полусферы поверхность среза представляет собой круглую поверхность. Радиус этой круговой области следует из теоремы Пифагора :

.

Это дает для содержания срезаемой поверхности

.

С другой стороны, в случае эталонного тела поверхность среза представляет собой круглое кольцо с внешним радиусом и внутренним радиусом . Площадь этой поверхности среза соответственно

.

Таким образом, на любом расстоянии от основания две поверхности среза имеют одинаковую площадь поверхности . Из принципа Кавальери следует, что полусфера и эталонное тело имеют одинаковый объем.

Объем эталонного тела и, следовательно, также полушария теперь можно легко вычислить:

Объем конуса вычитается из объема цилиндра.

Следовательно, к объему (полной) сферы применимо следующее:

.

Альтернативное происхождение

Сферу можно разделить на бесконечное количество пирамид с высотой (точек в центре сферы), вся площадь основания которых соответствует поверхности сферы (см. Ниже). Так что весь объем всех пирамид .

Вывод с помощью интегрального исчисления

Радиус на расстоянии :

.

Круговая область на расстоянии :

.

Объем шара :

.

Таким же образом можно рассчитать объем сферического отрезка высоты :

.

Дальнейшие выводы

Сферу радиуса с центром в начале координат можно выразить уравнением

описать, где находятся пространственные координаты.

Интегральное исчисление можно использовать для решения этой проблемы двумя способами:

Мы параметризуем сферу до нулевого множества Лебега

.

С функциональным детерминантом

требуемый элемент объема получается как

.

Таким образом, объем сферы определяется как

Другая возможность - через полярные координаты:

Теперь декартова система координат преобразована в полярную систему координат , что означает, что интегрирование продолжается после «изменения» системы координат с помощью переменных, а не по и, как раньше . Мотивацией к этой трансформации является значительное упрощение расчетов в дальнейшем курсе. Для дифференциала это означает: (ключевое слово: элемент поверхности )

Дальнейший путь с помощью формулы для тел вращения

Если вы позволите частицу вращаться вокруг фиксированной пространственной оси, вы получите тело с определенным объемом. В случае круглой области создается сфера. Это можно представить как вращающуюся монету.

Общая формула для тел вращения , вращающихся вокруг оси x, дает

.

Уравнение для круга:

с фокусом

.

Включив уравнение для круга, мы получим

.

Подставив его в формулу для вращения тел вокруг оси x, вы получите

поверхность

Поверхность сферы - это двумерная область, которая образует край сферы. Таким образом, это набор всех точек, расстояние от которых до центра сферы имеет фиксированное значение . Это замкнутое двумерное многообразие .

Его площадь поверхности и , таким образом , тот же размер, что и у наружной поверхности с круговым цилиндром , который обволакивает сферу.

Для данного объема сфера имеет наименьшую площадь поверхности из всех возможных тел.

Причина

Касательная к сфере (вид сбоку) d = высота слоя; r = радиус сферы; c = длина поля; x = расстояние касательной точки от центральной оси
Сферический вид

Если разделить сферу на:

  • Слои высотой и соответственно
  • « Меридианы », которые также находятся на расстоянии друг от друга на экваторе.

и разрешено для стремимся

Это становится ясно из рисунка вверху справа: это расстояние между точкой касания и центральной осью. Касательная перпендикулярна «спице», а два (прямоугольных) треугольника похожи друг на друга . Соответственно, применяется следующее:
.
  • Однако ширина каждого поля пропорциональна .
Это видно прямо из рисунка ниже «Вид сверху».

Следовательно, длина, умноженная на ширину, всегда одинакова, т. Е. ЧАС. все квадратные поля имеют одинаковую площадь.

Площадь поверхности находится на экваторе ( что против искали, потому что на экваторе быстрее против преследуемых по сравнению).

Так , как все поля контента имеют и общее (количество полей в горизонтальном направлении , умноженной на количество полей в вертикальном направлении, то есть) являются полями, общая площадь всех полей: .

Альтернативный вывод с помощью сферического объема

Сферу можно представить как состоящую из бесконечного числа бесконечно малых (бесконечно малых) пирамид . Основания этих пирамид вместе составляют сферическую поверхность; высота пирамид равна радиусу сферы . Поскольку объем пирамиды задается формулой , соответствующее соотношение применяется к общему объему всех пирамид, то есть к сферическому объему:

( = Общая поверхность сферы)

Из-за :

Альтернативный вывод с использованием сферического объема и дифференциального исчисления

Поскольку объем сферы с

определяется, а с другой стороны поверхность громко изменяет громкость

То есть формула поверхности сразу же вытекает из формулы объема.

Вывод с помощью интегрального исчисления

Из первого правила Гульдина

для боковой поверхности тела вращения получается:

Вывод с помощью интегрального исчисления в сферических координатах.

Для элемента поверхности на поверхностях = постоянный применяется следующее в сферических координатах:

.

Это позволяет легко рассчитать поверхность:

характеристики

Отношение объема сферы ( ) с радиусом к объему описанного цилиндра ( ) равно
  • Отношение объема сферы с радиусом к объему описанного цилиндра (радиус , высота = , см. Рисунок) составляет . Это , а также формулы поверхности и объема были известны еще греческому Архимеду в древности.

обобщение

Многомерные евклидовы пространства

Концепцию сферы можно перенести на комнаты других размеров . По аналогии с трехмерный твердой сферой, - мерная сфера определяются для натурального числа в качестве множества всех точек в - мерном евклидове пространства, расстояние до заданной точки (центральная точка) меньше или равно положительного реальному число (радиус). Край в - мерной сферы, то есть множество всех точек, расстояние от центра такой же , называется - двумерная сфера или короткое замыкание - сфера . Если вы не дополнительные детали в двумерной сфере говорит о том , что обычно означает одномерный единичную сферу ; в этом случае центральная точка находится в начале системы координат, а радиус равен 1.

Согласно этому определению трехмерная сфера - это обычная сфера; их поверхность соответствует 2 - сфере. Двумерная сфера - это круглая область, связанный круговой край - это 1-сфера. Наконец, одномерная сфера - это линия , причем две конечные точки линии можно понимать как 0-сферу.

Примечание: эти термины используются непоследовательно. Сферы в смысле данного здесь определения иногда называют сферами. Кроме того, некоторые авторы говорят о -сферах, когда имеют в виду -мерные сферы в -мерном пространстве.

- Мерный объем мерной сферы с радиусом является

.

Вот гамма - функция , непрерывная экспансия факультета . - мерное содержание - мерной поверхности, то есть сфера, получают путем получения объема в соответствии с радиусом:

.
Объем и площадь единичных сфер в размерах

Для единичной сферы по размерам можно найти следующие объемы и площади поверхности:

Габаритные размеры 1 2 3 4-й 5 Шестой 7-е 8-е 9 10 ... п = 2 м п = 2м + 1
объем 2 ...
поверхность 2 ...

А- сфера - это пример компактности - разнообразия .

Метрические пространства

Понятие сферы можно обобщить на все пространства, в которых есть понятие расстояния, то есть на метрические пространства .

Является ли метрическое пространство, и , так называемые

открытый шар с центром и радиусом . Количество:

называется замкнутой сферой .

Некоторые авторы также пишут для открытых и закрытых сфер. Другие варианты написания открытых сфер - и .

Самая плотная упаковка шаров

Плотная упаковка сфер
серый: нижний слой (слой A )
желтый и красный: слой B или слой C (здесь как второй слой; обычно в любом порядке как второй или третий слой)

Самая плотная упаковка сфер - это взаимное расположение сфер одинакового размера, занимающих наименьшее пространство . Пустое пространство между плотно упакованными сферами занимает всего около 26% от общего пространства, или плотность упаковки составляет около 74% :

.

Это устройство можно описать двумя способами:
оно состоит из плоских слоев соприкасающихся сфер,

  1. каждого из которых касается шесть соседних шаров и по три шара из слоя выше и из слоя ниже, или
  2. каждый из которых касается четырех соседних шаров и четырех шаров из верхнего и нижнего слоев.

Первое из двух описаний является предпочтительным. Слой, содержащийся в нем, называется слоем гексагональных ( правильно гексагональных) сфер , который во втором случае называется слоем тетрагональных (квадратных) сфер .

символизм

Сферическая форма всегда считалась «идеальной формой». Только с момента появления токарной техники он стал почти идеальным для изготовления - по крайней мере, из дерева или мягкого камня. Позже он стал символом бесконечности (иногда и космоса). С появлением огнестрельного оружия , пушки и винтовки пули стали воплощением силы и мощности (смотри также: пуля (геральдика) ). В области оружейных технологий термин «пуля» все еще используется для обозначения винтовочных боеприпасов , хотя они часто уже не имеют геометрической формы сферы.

Примеры применения

Земля, луна и марс

Земля, Луна и Марс имеют примерно форму сферы.

Земля

Земля имеет средний диаметр 12742 км, то есть средний радиус . Масса Земли составляет около 5,9724 · 10 24 кг. Используя приведенные выше формулы для объема , средней плотности и поверхности, получаем :

  • Объем :
  • Средняя плотность :
Земля имеет в среднем примерно в пять с половиной раз большую плотность, чем вода при стандартных условиях .
  • Поверхность :

Луна

Луна имеет средний диаметр 3474 км, то есть средний радиус . Масса Луны составляет около 7,346 · 10 22 кг. Это приводит к:

  • Объем :
Это примерно 2,0 процента от Земли объема .
  • Средняя плотность :
Средняя плотность Луны в 3,3 раза больше плотности воды при стандартных условиях .
  • Поверхность :
Это около 7,4 процента поверхности Земли .

Марс

Марс имеет средний диаметр 6780 км, то есть средний радиус . Масса Марса составляет около 6,417 · 10 23 кг. Это приводит к:

  • Объем :
Это примерно 15,1 процента Земли объема .
  • Средняя плотность :
Марс в среднем имеет плотность почти в четыре раза выше, чем вода при стандартных условиях .
  • Поверхность :
Это около 28,4 процента поверхности Земли .

Футбольный мяч и другие мячи

Футбольный мяч имеет сферическую форму и имеет длину окружности около 68 сантиметров , то есть радиус из . Масса футбольного мяча составляет около 410 граммов . Это приводит к:

  • Объем :
  • Средняя плотность :

В следующей таблице показано сравнение окружности , объема , массы и средней плотности (приблизительные значения) различных шаров :

сфера объем Габаритные размеры Средняя плотность
Футбол 68 см 5,28 · 10 −3 м 3 410 г 78 кг / м 3
Гандбол 58 см 3,29 · 10 −3 м 3 425 г 129 кг / м 3
баскетбол 74,9 см 7,10 · 10 −3 м 3 567 г 80 кг / м 3
волейбол 65 см 4,64 · 10 −3 м 3 260 г 56 кг / м 3
Теннисный мячик 20,5 см 0,146 · 10 −3 м 3 56,7 г 388 кг / м 3
Мяч для пинг-понга 12,6 см 0,0335 · 10 −3 м 3 2,7 г 81 кг / м 3
Мяч для гольфа 13,4 см 0,0407 · 10 −3 м 3 45,9 г 1128 кг / м 3
Бильярдный шар 18,0 см 0,0980 · 10 −3 м 3 170 г 1735 кг / м 3

Смотри тоже

Пуля в литературе

В романе Криониум. Опыты памяти по Matthias АК Zimmermann формула для вычисления сферического объема (4/3 · π · r³) в центре этой истории; это ясно объяснено читателю. Роман посвящен Архимеду , выведшему эту формулу. Главный герой попадает в мир забвения и тьмы, состоящий из множества элементов математики. История вращается вокруг очаровательной коллекции снежных глобусов, состоящей из 1001 предмета, которые направляют таинственные процессы в замке. В романе можно найти различные отсылки к математике, такие как зимний лес, изогнутый как лента Мебиуса , чудовище из фрактала , декартова система координат , числовые палиндромы , латинские квадраты , двойная система , Леонард Эйлер и Ада Лавлейс. .

литература

  • Ян Роше (ред.): Глобусы. Исследователь архитектуры и наук Le monde. Norma / Cité de l'architecture, Париж, 2017.
  • Райнер Мароска, Ахим Олпп, Клаус Штёкле, Хартмут Веллштейн: Пересечение 10. Математика . Эрнст Клетт Верлаг, Штутгарт 1997, ISBN 3-12-741050-6 .
  • Фишер / Кауль: Математика для физиков. Springer, 4-е издание, ISBN 978-3-662-53968-2 .

веб ссылки

Викисловарь: Кугель  - объяснение значений, происхождение слов, синонимы, переводы
Commons : сфера  - коллекция изображений, видео и аудио файлов

Индивидуальные доказательства

  1. ^ Бото фон Керенбург: Установить теоретическую топологию. Springer-Verlag, Берлин / Гейдельберг, 1976, определение 1.3. 3-е издание 2001 г., ISBN 3-540-67790-9 .
  2. ^ Герберт Федерер : геометрическая теория меры. Springer-Verlag, Берлин / Гейдельберг, 1969, 2.8.1.
  3. te: c-science.com: совместный вывод плотности упаковки для гранецентрированной кубической и гексагональной плотноупакованных решеток вместе
  4. ^ Зигфрид Ветцель: Плотная упаковка сфер ; 8. кристаллографические клетки единицы и их плотность упаковки ; раздельный расчет для гранецентрированной кубической и гексагональной элементарных ячеек
  5. Тот, Ласло Фейес: плотнейшая сферическая упаковка , трактаты Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft, том 27, 1977, стр. 319
  6. ^ Вальтер Biertümpel и Hanns-Joachim Кёлер: Эдуард Кеттнер охотничье оружие . 4-е издание. RIW-Verlag Okahandja GmbH, Дуйсбург 1984, ISBN 3-923270-02-X .
  7. Вольфганг Рауш: Все об охотничьем оружии в теории и на практике . 4-е издание. Motorbuch Verlag, Штутгарт 1988, ISBN 3-7168-1324-9 .
  8. Вольфганг Рауш: Все о боеприпасах для охотничьего оружия в теории и на практике . 1-е издание. Motorbuch Verlag, Штутгарт 1980, ISBN 3-87943-710-6 .
  9. Literaturkritik.de отсылка к Архимеду Сиракузскому
  10. Berliner Gazette: In der Schneekugel: Как литература может запоминать, создавать и повторно измерять виртуальные пространства
  11. Aargauer Zeitung: В ловушке бесконечной виртуальности