Матрица Лесли

Матрицы Лесли (также известная как модель Лесли ) представляет собой математическую модель для анализа роста населения , который используется в области теоретической экологии для описания популяций . Он был разработан PH Leslie и является одним из самых известных методов описания прироста населения, относящегося к отдельным возрастным группам.

В экологии он описывает изменения в популяции организма за определенный период времени. В модели Лесли население делится на группы или на возрастные группы и этапы жизни. Чтобы определить следующее поколение популяции, формируют произведение матрицы Лесли и вектора, описывающего предыдущую популяцию .

Для создания матрицы должна быть доступна следующая информация о популяции:

• ${\ displaystyle n_ {k}}$: количество лиц в -й возрастной группе${\ displaystyle k}$
• ${\ displaystyle s_ {j}}$: доля лиц, перешедших из -й в -й возрастной группе (выживающих)${\ displaystyle j}$${\ displaystyle (j + 1)}$
• ${\ displaystyle f_ {k}}$: рождаемость в -й возрастной группе${\ displaystyle k}$

Существующие возрастные группы ( до которых должны быть проиндексированы), сформированные с заданным вектором численности населения на момент времени из предшествующего следующего произведения матрица-вектор: ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ nu -1}$${\ Displaystyle \ mathbf {п} _ {т + 1}}$${\ displaystyle t + 1}$${\ Displaystyle \ mathbf {п} _ {т}}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} n_ {0} \\ n_ {1} \\ n_ {2} \\ n_ {3} \\\ vdots \\ n _ {\ nu -1} \\\ end {pmatrix }} _ {t + 1} = {\ begin {pmatrix} f_ {0} & f_ {1} & f_ {2} & \ ldots & f _ {\ nu -2} & f _ {\ nu -1} \\ s_ {0} & 0 & 0 & \ ldots & 0 & 0 \\ 0 & s_ {1} & 0 & \ ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_ {2} & \ ldots & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ {0 & 0 & 0 & \ ldots \ nu -2} & 0 \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} n_ {0} \\ n_ {1} \\ n_ {2} \\ n_ {3} \\\ vdots \\ n_ { \ nu -1} \ end {pmatrix}} _ {t}}$

Для этого также пишут , где обозначает матрицу Лесли. ${\ Displaystyle \ mathbf {п} _ {т + 1} = \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {п} _ {т}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$

динамика

Чтобы иметь возможность определить динамику рассматриваемой популяции, нужно рассматривать собственные векторы и связанные с ними собственные значения матрицы. Если абсолютное наибольшее собственное значение однозначно, то связанный с ним собственный вектор отражает возрастную структуру, которая появляется через несколько поколений. Возрастная структура сходится к этому вектору. Если наибольшее собственное значение с точки зрения количества неясно, могут происходить колебания в возрастной структуре.

литература

• Николас Ф. Бриттон: Основы математической биологии . 3. печать. Springer, London et al.2005, ISBN 1-85233-536-X , (серия статей по математике для студентов Springer) .