Функция спроса Маршалла

Маршаллианская функция спроса (также Вальрас функция спроса ), названная в честь экономиста Альфред Маршалл (или Léon Вальрас ), является математической функцией в микроэкономике и особенно в бытовой теории , что указует количество товаров для данной цены товаров и данного дохода каждый товар должен быть потреблен, если вы хотите получить максимально возможную пользу .

Рис. 1. Пример маршаллианской функции спроса в случае двух товаров: количество товара 1 отложено по горизонтальной оси, цена товара 1 - по вертикальной оси. Цена на не рассматриваемый товар 2 на диаграмме остается постоянной, как и ваш собственный бюджет .

{\ displaystyle p_ {2}}

{\ displaystyle y}

Отправной точкой соображений, которые приводят к маршаллианской функции спроса, является принцип максимизации полезности: потребитель (обычно домохозяйство) независимо принимает решение о распределении своего богатства на потребление различных товаров, которые предлагаются по определенным ценам. В зависимости от того, как он распределяет свои активы, его план расходов различается. Основная идея требования Маршалла состоит в том, что потребитель всегда выбирает именно тот план расходов, который он предпочитает всем другим доступным планам расходов. Маршаллианский спрос описывает именно этот - оптимальный - план расходов, указывая, сколько из этого каждого существующего товара должно быть потреблено. Поскольку это функция, маршаллианский спрос описывает этот план расходов не только для любого конкретного количества собственности и любой конкретной цены товаров, но и для всех возможных объемов собственности и цен на товары.

Понятие маршаллианской функции спроса можно обобщить. В более общем смысле говорят о маршаллианской запросной корреспонденции (также вальрасовской запросной корреспонденции ). Математическая концепция функции заменяется концепцией соответствия , которая делает возможным, что потребитель с определенным богатством и определенными ценами на товары в экономике может иногда иметь не один, а несколько оптимальных планов расходов.

Нетехническое введение

Идея функции полезности

Есть разные способы моделирования потребительского спроса на товар. Какой из них подходит, зависит от предположения, сделанного при принятии решения о потреблении. Можно предположить, например, что потребители случайным образом выбирают некоторую комбинацию наборов товаров, независимо от того, сколько товары для них стоят; или можно представить, что специалист по социальному планированию возьмет все активы потребителей и назначит им определенные тележки для покупок в соответствии с их собственными критериями. Однако основная идея современной теории полезности состоит в том, что потребители принимают решение о потреблении определенного количества товара на основе своих предпочтений . У потребителей есть индивидуальные предпочтения ; Такой порядок предпочтения включает в себя информацию по всем возможным комбинациям всех товаров относительно того, воспринимается ли один набор товаров как минимум столь же желательным, столь же желательным или, самое большее, столь же желательным, как и другой набор товаров (например, набор товаров будет иметь вид «1 яблоко, 1 банан, 0 апельсинов и 2 манго », а в индивидуальном порядке предпочтения может содержаться информация о том, как связка товаров« 2 яблока, 0 бананов, 1 апельсин и 2 манго »относится к рассматриваемому потребителю).

Более простой способ выразить эту информацию - взглянуть на простую функцию, а не на сложные заказы. При определенных условиях можно построить функцию полезности, которая выводит любое число для данного набора товаров. Это число само по себе бессмысленно; их значение проявляется только в сравнении со значениями полезности других наборов товаров. Это именно очевидно , какой пучок товаров, потребитель предпочитает: Сравнение любых два сверток товаров, то значение полезности пачки , если и строго больше , чем пачка , если потребитель , чьи функции полезности мы рассмотрим расслоение над предпочтительным. ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {B}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {B}}$

Требование Маршалла

Маршаллианский спрос связывает эту идею с другой: разумный потребитель будет потреблять «предпочтительный» набор товаров, что, с учетом вышеизложенного, равносильно предоставлению ему максимально возможной выгоды. Однако его нельзя потреблять в неограниченном количестве. Каждый потребитель подлежит так называемому бюджетному ограничению , что означает, что он не может потреблять какие-либо пакеты товаров, которые он не мог себе позволить по преобладающим ценам на товары. Среди тех наборов товаров, которые он может себе позволить, он затем выбирает, как уже упоминалось, именно то, что приносит ему наибольшую выгоду. Теперь представьте, что есть только два товара, которые мы хотим как можно проще назвать «товар 1» и «товар 2», и которые доступны по ценам или на рынке. Тогда следующая задача описывает проблему максимизации полезности потребителя: ${\ displaystyle p_ {1}}$ ${\ displaystyle p_ {2}}$

{\ Displaystyle \ макс \; и (х_ {1}, х_ {2})}

при ограничениях и

{\ displaystyle p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} \ leq y}

{\ Displaystyle х_ {1}, х_ {2} \ geq 0}

с доступным богатством , требуемым количеством товара 1 или 2 и функцией полезности потребителя. Чтобы сделать проблему более управляемой, предполагается, что функция полезности является непрерывной . Это гарантирует, что при небольшом изменении количества одного или нескольких товаров в пакете товаров не произойдет резкого скачка итоговой выгоды. Одно замечание кажется уместным: поскольку цены и доход являются переменными в вышеупомянутой задаче максимизации, решение проблемы не будет конкретным набором товаров; Какой набор товаров максимизирует этот термин, зависит, в частности, от точных цен на товары и доступного богатства, так что решение будет зависеть от этих переменных (цен и доступного богатства). ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle x_ {1,2}}$ ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2})}$

Оптимальный спрос на товар равен 1, и он зависит от цены этого товара, дохода, доступного человеку, и цены товара 2. Последнее можно увидеть интуитивно, например, из того факта, что спрос на автомобили, максимизирующий полезность, определенно также зависит от того, стоит ли билет на поезд 500 евро или 5 евро (это не исключает, что цена может не зависеть от этого в отдельных случаях). Следовательно, задача оптимизации дает оптимальные значения для двух товаров: (маршаллианский спрос на товар 1) и аналогично (маршаллианский спрос на товар 2). ${\ displaystyle x_ {1} ^ {*}}$ ${\ displaystyle y> 0}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y)}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y)}$

Формальное определение

Обозначим через требует определенного количества товаров широкого потребления , и суммировать вектор спроса уважение всех товаров вместе. Цена на каждый товар строго положительна для всех , и можно согласиться с ценовым вектором экономики. ${\ displaystyle x_ {i} \ geq 0}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ Displaystyle я = 1, \ ldots, п}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {\ mathbb {R}} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle p_ {i}> 0}$ ${\ Displaystyle я = 1, \ ldots, п}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} = (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) \ in \ mathbb {R} _ {++} ^ {n}}$

Польза для потребителя следует за функцией непрерывной выгоды . Бюджет потребителя составляет . Теперь рассмотрим задачу максимизации полезности потребителя с учетом бюджетного ограничения : ${\ Displaystyle и (\ mathbf {х})}$ ${\ displaystyle y> 0}$

{\ displaystyle \ max _ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}} и (\ mathbf {x})}

при вторичном условии

{\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} = p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} + \ ldots + p_ {n} x_ {n} \ leq y}

Определение: будь неуклонно , а . Один обозначает соответствие, определяемое формулой ${\ Displaystyle и (\ mathbf {х})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {\ mathbb {R}} _ {+} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ in \ mathbb {\ mathbb {R}} _ {++} ^ {n}}$ ${\ displaystyle y> 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m}: \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1} \ twoheadrightarrow \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$

{\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y) \ Equiv \ arg \ max \ {u (\ mathbf {x}) | \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y \}}

,

как маршаллианские требования корреспонденции (также вальрасианские требования корреспонденции ).

Если задача максимизации имеет одноэлементное решение, установленное для каждого кортежа ( то есть уникальное решение), назначение называется маршаллианской функцией спроса (также известной как вальрасовская функция спроса ). ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$

Соответствие - это многозначная функция . В то время как функция в более узком смысле назначает один элемент из целевого набора каждому элементу из области определения (в данном случае набору комплектов товаров), соответствие назначает каждому элементу из области определения подмножество целевого набора. Таким образом, маршаллианскую функцию спроса можно понимать как частный случай соответствия спроса, в котором каждому кортежу назначается ровно одноэлементное подмножество целевого набора. ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y)}$

Также используются другие варианты написания для определения соответствия маршаллианского спроса. Это банально о

{\ Displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y) & \ Equiv \ arg \ max \ {u (\ mathbf {x}) | \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y \} \\ & = \ left \ {\ mathbf {x} \ in B _ {\ mathbf {p}, y} \ left | \ left (\ forall \ mathbf {x} '\ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} \ right): u (\ mathbf {x}')> u (\ mathbf {x}) \ Rightarrow \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf { x} '> y \ right. \ right \} \ end {align}}}

С участием

{\ Displaystyle B _ {\ mathbf {p}, y} \ Equiv \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} \ left | \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf { x} \ leq y \ right. \}}

разрешенная сумма (сумма бюджета). На словах: маршаллианский спрос с данной системой цен и данным благосостоянием домохозяйства точно соответствует количеству тех допустимых наборов товаров, обладающих свойством, что все наборы товаров со строго более широким использованием будут настолько дорогими, что их потребление будет нарушать бюджетные ограничения.

Общие свойства

Существование и компактность

Соответствие маршаллианских требований не пусто и имеет компактное значение.

Чтобы убедиться, что соответствие спроса не пусто, достаточно показать, что бюджетное множество компактно . Поскольку согласно теореме Вейерштрасса об экстремальных значениях , непрерывная функция на компакте всегда имеет минимальное и максимальное значение, то есть указанная выше задача максимизации полезности имеет по крайней мере одно решение для всех . Как подмножество , (непустое) бюджетное множество компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто ( теорема Гейне-Бореля ). Это так: он ограничен, потому что, учитывая строгую положительность цен, он всегда и в одно и то же время для всех и для всех ; и он закрыт, потому что определяется слабыми неравенствами. Оба свойства также непосредственно следуют из теоремы Берже о максимуме, которая будет обсуждаться более подробно ниже в разделе «Свойства непрерывности». ${\ displaystyle B _ {\ mathbf {p}, y}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ Displaystyle х_ {я} \ leq у / р_ {я}}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ geq 0}$ ${\ Displaystyle я = 1, \ ldots, п}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in B _ {\ mathbf {p}, y}}$

Выпуклость и производительность

1. Пусть функция полезности квазивогнута . Тогда маршаллиское соответствие спроса выпуклозначно.
2. Пусть функция полезности строго квазивогнута . Затем Маршаллианский спрос на соответствие один элемент для всех , другими словами: она является функцией . ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y) \ in \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$

Что касается этих двух свойств, следует отметить, что порядок предпочтения, лежащий в основе квазивогнутой функции полезности, является выпуклым; к (2.), что порядок предпочтения, лежащий в основе строго квазивогнутой функции полезности, строго выпуклый. Отметим, что для (1.) и (2.) недостаточно предположить выпуклость (или строгую выпуклость) порядка предпочтения. И наоборот, (строгая) выпуклость означает, что каждая репрезентативная функция полезности (строго) квазивогнута. Однако не существует вещественного представления для каждого (строго) выпуклого порядка предпочтения. Например, если взять знаменитый пример Дебре (1959), лексикографические порядки предпочтений строго выпуклые, но не могут быть представлены функцией полезности. Однако можно ввести введенные здесь концепции на основе порядков предпочтения, так что функция представления больше не важна. Доказательство (1) основано на рассмотрении два пачки товаров , . Из определения требования Маршалла следует следующее . Обозначьте этот уровень полезности с помощью . Квазивогнутая функция полезности по определению также применима ко всем . Более того , потому что и согласно определению требования Маршалла. Отсюда и есть . Из этого, а с ним, наконец, следует то . Так выпукло. (2): (доказательство от противного :) Рассмотрим снова две пачки товаров , . Опять же по определению . Строгая квазивогнутость влечет для всех противоречие. ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ succsim}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ succsim}$ ${\ displaystyle u}$
${\ Displaystyle \ mathbf {x}, \ mathbf {x} '\ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ neq \ mathbf {x} '}$ ${\ Displaystyle и (\ mathbf {x}) = и (\ mathbf {x} ')}$ ${\ displaystyle u_ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} '' \ Equiv \ alpha \ mathbf {x} + (1- \ alpha) \ mathbf {x} '}$ ${\ Displaystyle и (\ mathbf {x} '') \ geq u_ {0}}$ ${\ Displaystyle \ альфа \ в [0,1]}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '' \ leq y}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '\ leq y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ in B _ {\ mathbf {p}, y}}$ ${\ Displaystyle и (\ mathbf {x} '') \ geq u_ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} '' \ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$
${\ Displaystyle \ mathbf {x}, \ mathbf {x} '\ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ neq \ mathbf {x} '}$ ${\ Displaystyle и (\ mathbf {x}) = и (\ mathbf {x} ')}$ ${\ Displaystyle и (\ альфа \ mathbf {х} + (1- \ альфа) \ mathbf {x} ')> и (\ mathbf {x}')}$ ${\ Displaystyle \ альфа \ в (0,1)}$

однородность

Маршаллианский спрос на соответствие нулевой степени однородности в , то есть, для всех и навсегда . ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ alpha \ mathbf {p}, \ alpha y) = \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y) \ in \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ alpha> 0}$

Следовательно, для решения о потреблении не имеет значения, растет или падает и богатство, и цены на все товары одним и тем же фактором. Это также исключает тот факт, что валюта, в которой выставляются счета на активы и цены, не имеет значения. Свойство следует, потому что сумма бюджета остается неизменной при изменении с помощью . Конечно, на решение проблемы максимизации не влияет одновременное изменение активов и цен. ${\ displaystyle B _ {\ alpha \ mathbf {p}, \ alpha y} = \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} | \ alpha \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq \ alpha y \} = \ {\ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} | \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y \} = B _ {\ mathbf {p}, y}}$ ${\ displaystyle \ alpha> 0}$

Свойства непрерывности

1. На первом месте стоит маршаллианская корреспонденция.
2. Если маршаллианское соответствие спроса одноэлементно для всех и, следовательно, является функцией, то оно непрерывно . ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y) \ in \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1}}$

Свойства следуют непосредственно из максимального предложения (теоремы Берже), для которого сделана ссылка на сноску. Центральным условием для его применимости является непрерывность заданного бюджетного соответствия, при этом соответствие считается непрерывным, если оно одновременно верхнее и нижнее (определение см. В сноске). Эти два свойства, в свою очередь, могут отображаться одно за другим для бюджетного соответствия. ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y) \ rightarrow \! \! \! \! \! \! \! \ mapsto B (\ mathbf {p}, y)}$

Изоляционные свойства

Маршаллианское соответствие спроса замкнуто и также имеет замкнутый график.

В принципе, было бы достаточно показать замкнутое значение, потому что каждое соответствие верхнего уровня и замкнутое значение также имеет замкнутый граф. Окончательное значение получается (как уже отмечалось выше) из теоремы Берже (см. Сноску).

Ниже приводится «прямое» доказательство существования замкнутого графа. Рассмотрим последовательность im с предельным значением и последовательность im с предельным значением . Будь дальше для всех . Для того, чтобы показать: . В соответствии с определением маршаллианской потребности для всех и из- за всех, следовательно, также в предельном значении . Так и есть . (Доказательство от противного :) Предположим, что . Тогда, по определению , будет файл with which . Таким образом , было бы подходящая среда вокруг , а также подходящая среда вокруг , что для всех . И из - за что также был бы с (уравновешенности и строгой положительности цен). Отсюда следует, что для достаточно больших , так что . В то же время следует, что для достаточно больших . В итоге: для достаточно больших . Но это противоречит предположению о том, что . Так вот что должно было быть показано. ${\ displaystyle \ left \ {(\ mathbf {p} _ {k}, y_ {k}) \ right \} _ {k \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {++} ^ {п + 1}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {p}, y) \ in \ mathbb {R} _ {++} ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle \ left \ {(\ mathbf {x} _ {k}) \ right \} _ {k \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {п}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p} _ {k}, y_ {k})}$ ${\ Displaystyle к \ в \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$
${\ Displaystyle \ mathbf {p} _ {k} \ cdot \ mathbf {x} _ {k} \ leq y_ {k}}$ ${\ Displaystyle к \ в \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle к \ в \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} \ leq y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in B _ {\ mathbf {p}, y}}$
${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ notin \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ text {alt}} \ in B _ {\ mathbf {p}, y}}$ ${\ Displaystyle и (\ mathbf {x} ^ {\ text {alt}})> и (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle U_ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle U _ {\ text {alt}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ text {alt}}}$ ${\ Displaystyle и (\ mathbf {x} '')> и (\ mathbf {x} ')}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {x} ', \ mathbf {x}' ') \ в U_ {0} \ times U _ {\ text {alt}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ text {alt}} \ in B _ {\ mathbf {p}, y} \ Rightarrow \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} ^ {\ text {old}} \ leq y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ in U _ {\ text {alt}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '' <y}$ ${\ displaystyle \ left \ {(\ mathbf {p} _ {k}, y_ {k}) \ right \} _ {k \ in \ mathbb {N}} \ rightarrow (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} _ {k} \ cdot \ mathbf {x} '' \ leq y_ {k}}$ ${\ Displaystyle к \ в \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '' \ in B _ {\ mathbf {p} _ {k}, y_ {k}} \ cap U _ {\ text {alt}}}$ ${\ displaystyle \ left \ {(\ mathbf {x} _ {k}) \ right \} _ {k \ in \ mathbb {N}} \ rightarrow \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ in U_ {0}}$ ${\ Displaystyle к \ в \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle и (\ mathbf {x} '')> и (\ mathbf {x} _ {k})}$ ${\ Displaystyle к \ в \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p} _ {k}, y_ {k})}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$

Закон Вальраса

Пусть порядок предпочтения, лежащий в основе функции полезности, не насыщен локально. Тогда требование Маршалла удовлетворяет закону Вальраса , то есть выполняется . ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} ^ {m} = y}$

Свойство локальной ненасыщенности - обычное требование, предъявляемое к заказам на преференции. Говоря прямо, это означает, что каждый набор товаров всегда можно минимально модифицировать таким образом, чтобы получившийся набор товаров был строго предпочтительнее исходного набора. Для формального определения сделана ссылка на сноску.

(Доказательство от противного :) Если действительно для любого , то это следует из ненасыщенного требования , что должно быть еще один комплектом товаров в непосредственной близости , с которыми также и в то же время . Но тогда не может быть решения проблемы максимизации полезности, вопреки предположению. ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '<y}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} '\ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} '' \ in \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} '' <y}$ ${\ Displaystyle и (\ mathbf {x} '')> и (\ mathbf {x} ')}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$

Локальная ненасыщенность, очевидно, является более слабым требованием для порядка предпочтения, чем строгая монотонность . Поскольку каждая строго монотонно возрастающая функция полезности основана на строго монотонном порядке предпочтений, указанное выше требование для выполнения закона Вальраса, таким образом, тривиально выполняется для строго монотонно возрастающей функции полезности.

Аналитическое определение

Необходимые и достаточные условия оптимальности

Предполагая, что функция полезности непрерывно дифференцируема , метод Каруша-Куна-Такера (метод KKT) обеспечивает необходимые условия для указанной выше задачи максимизации полезности. Назначить

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ mathbf {x}) = и (\ mathbf {x}) + \ lambda (y- \ mathbf {p \ cdot x})}

.

как долгосрочную функцию задачи максимизации полезности.

Теорема ККТ, примененная к задаче максимизации полезности:

1. Будьте непрерывно дифференцируемыми . Тогда применимо следующее: если существует допустимое решение проблемы максимизации полезности, то обязательно найдется и такое, что выполняются следующие условия (KKT-условия): ${\ displaystyle u}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {х} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {*} \ geq 0}$

я)

{\ Displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} ^ {*} \ leq y}

ii) для всех (заполняется равенством всякий раз )

{\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial u (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {i}}} \ right | _ {\ mathbf {x} ^ {*}} \ leq \ lambda p_ {я}}

{\ Displaystyle я = 1, \ ldots, п}

{\ displaystyle x_ {i} ^ {*}> 0}

iii)

{\ displaystyle \ lambda ^ {*} (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} ^ {*} - y) = 0}

2. Быть непрерывно дифференцируемым, квазивогнутым и быть градиентом для всех . Тогда: Удовлетворить и условия (1) (I) - (III), то это решение задачи максимизации полезности. ${\ displaystyle u}$ ${\ Displaystyle \ набла и (\ mathbf {х}) \ neq \ mathbf {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {*} \ geq 0}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {х} ^ {*}}$

3. Быть непрерывно дифференцируемым и вогнутым. Тогда: Удовлетворить и условия (1) (I) - (III), то это решение задачи максимизации полезности. ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {*} \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {*} \ geq 0}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {х} ^ {*}}$

Примечания:

Если сравнить (1) с общепринятой формулировкой нелинейной программы, можно заметить, что здесь явно отсутствует так называемая ограниченная квалификация (часто обозначаемая термином «условие регулярности» в немецком использовании). Причина в том, что это всегда выполняется в задаче максимизации полезности. Если мы преобразуем полную задачу максимизации полезности в стандартную форму, она будет читаться с ограничениями и для . Итак, все ограничения линейны. Таким образом, используя общее следствие теоремы ККТ, требования к применимости условий ККТ (1) (i) - (iii) выполнены. ${\ Displaystyle \ макс и (\ mathbf {х})}$ ${\ displaystyle n + 1}$ ${\ displaystyle g_ {1} (\ mathbf {x}) = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x} -y \ leq 0}$ ${\ displaystyle g_ {1 + j} (\ mathbf {x}) = - x_ {j} \ leq 0}$ ${\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$
Выше уже было показано, что маршаллианский спрос не пуст (см. Раздел Общие свойства ). Таким образом, всегда существует такой, который удовлетворяет условиям ККТ (1) (i) - (iii). ${\ Displaystyle \ mathbf {х} ^ {*}}$
Условие градиента согласно (2) имеет очень низкий порог; все, что требуется, - это то, чтобы какой-либо товар обеспечивал строго положительную предельную полезность.

Интерпретация условий оптимальности.

Рис. 2. Максимизация полезности в случае двух товаров, внутреннее решение. Область красного цвета - это сумма бюджета, ограниченная бюджетной строкой. На нем располагаются все комбинации количества, которые соответствуют бюджетному ограничению с равенством.

{\ displaystyle p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} \ leq y}

Рис. 3. Максимизация полезности в случае двух товаров, предельное решение.

Рис. 4. Построение маршаллианских функций спроса для фиксированного дохода в случае двух товаров.

Внутреннее решение

Если существует внутренний оптимум, то есть для всех , в нем применяется условие оптимальности первого порядка согласно (1) (ii) ${\ displaystyle x_ {i} ^ {*}> 0}$ ${\ Displaystyle я = 1, \ ldots, п}$

{\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial u (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {i}}} \ right | _ {\ mathbf {x} ^ {*}} = \ lambda p_ { я}}

для всех .

{\ Displaystyle я = 1, \ ldots, п}

Если рассматривать случай ( случай двух товаров), то это подразумевает ${\ displaystyle n = 2}$

{\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial u (x_ {1}, x_ {2}) / \ partial x_ {1}} {\ partial u (x_ {1}, x_ {2}) / \ partial x_ {2}}} \ right | _ {(x_ {1} ^ {*}, x_ {2} ^ {*})} = {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}}}

.

Левая часть этого уравнения - это предельная норма замещения (MRS) товара 1 по сравнению с товаром 2 (на кривой безразличия ), правая часть - это соотношение цен двух товаров. Рис. 2 иллюстрирует это условие: маршаллианский спрос на данную цену товаров и данный доход точно соответствует тому набору товаров, для которого наивысшая возможная кривая безразличия (здесь :) все еще касается бюджетной строки. В этой касательной точке наклон кривой безразличия, т. Е. Отрицательная предельная скорость замены товара 1 на товар 2, точно соответствует наклону бюджетной линии, которая равна. Если бы это условие не выполнялось, потребитель мог бы выиграть, незначительно изменив свое потребление. Было бы, например, ${\ displaystyle (p_ {1}, p_ {2})}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle (x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0})}$ ${\ displaystyle I ^ {1}}$ ${\ displaystyle -p_ {1} / p_ {2}}$

{\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial u (x_ {1}, x_ {2}) / \ partial x_ {1}} {\ partial u (x_ {1}, x_ {2}) / \ partial x_ {2}}} \ right | _ {(x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0})}> {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}}}

,

тогда было бы возможно в рамках бюджетных ограничений увеличить потребление товара 1 и в то же время сократить потребление товара 2 на . Это изменило бы пользу ${\ displaystyle \ mathrm {d} x_ {1}}$ ${\ displaystyle (p_ {1} / p_ {2}) \ mathrm {d} x_ {1}}$

{\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial u (x_ {1}, x_ {2})} {\ partial x_ {1}}} \ right | _ {(x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0})} \ mathrm {d} x_ {1} - \ left. {\ Frac {\ partial u (x_ {1}, x_ {2})} {\ partial x_ {2}}} \ right | _ {(x_ {1} ^ {0}, x_ {2} ^ {0})} \ cdot {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}} \ mathrm {d} x_ { 1}> 0}

увеличить. Тогда, однако, первоначально рассмотренный набор товаров не мог максимизировать полезность.

Краевое решение

Как показано на рис. 3 для случая двух товаров, оптимальное решение также может быть предельным; здесь вы находитесь на «краю» суммы бюджета, в данном примере . Как правило, указанное выше условие равенства здесь не применяется, что видно из необходимых условий (1) (ii). Фактически, это также показано на рис. 3 : В найденной оптимальной точке применяется следующее ${\ displaystyle x_ {2} ^ {0} = 0}$

{\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial u (x_ {1}, x_ {2}) / \ partial x_ {1}} {\ partial u (x_ {1}, x_ {2}) / \ partial x_ {2}}} \ right | _ {(x_ {1} ^ {*}, x_ {2} ^ {*})}> {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}}}

.

В предельном решении это возможно, потому что потребитель больше не может сокращать потребление товара 2, чтобы использовать активы, высвобожденные по товару 1.

строительство

Рис. 4 иллюстрирует графическое построение маршаллианского спроса в случае двух товаров и в предположении, что существует внутреннее решение проблемы максимизации полезности. Чтобы сделать проблему графически управляемой, сначала нужно исправить и . Затем вы исследуете влияние на спрос, возникающее в результате различных цен на товар 1. В примере, снижение цен от ВКЛА считаются. Первоначально это изменяет наклон бюджетной строки, так что получается новый оптимальный набор товаров. Затем это можно перенести на диаграмму ниже по измененной цене. Если мы введем это для всех видов цен, получим маршаллианскую функцию спроса (для фиксированных и ) . ${\ displaystyle p_ {2}}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle p_ {1} ^ {0}}$ ${\ displaystyle p_ {1} '}$ ${\ displaystyle p_ {2}}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, {\ overline {p_ {2}}}, {\ overline {y}})}$

Пример в случае двух товаров

Быть . Рассмотрим рынок яблок (товар 1) и бананов (товар 2), количество которых обозначено или . Пусть цена яблока будет такой же, как у банана . Бюджет домохозяйства такой, и он ест только яблоки и бананы. Полезность домохозяйства следует функции полезности Кобба-Дугласа . Задача максимизации полезности: ${\ displaystyle n = 2}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ ${\ displaystyle p_ {1} = 2}$ ${\ displaystyle p_ {2} = 4}$ ${\ displaystyle y = 40}$ ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {0 {,} 4} \ cdot x_ {2} ^ {0 {,} 6}}$

{\ displaystyle \ max _ {(x_ {1}, x_ {2}) \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {2}} u (x_ {1}, x_ {2})}

при вторичном состоянии .

{\ displaystyle p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} \ leq y}

Итак, лагранжиан

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} (x_ {1}, x_ {2}) = u (x_ {1}, x_ {2}) - \ lambda (p_ {1} x_ {1} + p_ {2 } x_ {2} -y)}

.

Необходимые условия оптимальной полезности (см. Раздел «Необходимые и достаточные условия оптимальности»):

${\ displaystyle p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} \ leq y}$
${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} (x_ {1}, x_ {2})} {\ partial x_ {1}}} = {\ frac {\ partial u (x_ {1}) , x_ {2})} {\ partial x_ {1}}} - \ lambda p_ {1} = 0 {,} 4x_ {1} ^ {- 0 {,} 6} x_ {2} ^ {0 {, } 6} -p_ {1} \ lambda \ leq 0}$ (с равенством если ) ${\ displaystyle x_ {1}> 0}$
${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} (x_ {1}, x_ {2})} {\ partial x_ {2}}} = {\ frac {\ partial u (x_ {1}) , x_ {2})} {\ partial x_ {2}}} - \ lambda p_ {2} = 0 {,} 6x_ {1} ^ {0 {,} 4} x_ {2} ^ {- 0 {, } 4} -p_ {2} \ lambda \ leq 0}$ (с равенством если ) ${\ displaystyle x_ {2}> 0}$
${\ displaystyle \ lambda (p_ {1} x_ {1} + p_ {2} x_ {2} -y) = 0}$ и . ${\ displaystyle \ lambda \ geq 0}$

Обратите внимание, что этих условий оптимальности также достаточно из-за вогнутости функции полезности. Бюджетное ограничение будет связывать оптимум, поскольку функция полезности строго монотонно возрастает и, следовательно, применяется закон Вальраса. Из условий 1 и 2 следует делением

{\ displaystyle {\ frac {0 {,} 6x_ {1} ^ {0 {,} 4} x_ {2} ^ {- 0 {,} 4}} {0 {,} 4x_ {1} ^ {- 0 {,} 6} x_ {2} ^ {0 {,} 6}}} = {\ frac {p_ {2} \ lambda} {p_ {1} \ lambda}} \ Rightarrow {\ frac {3} {2} }} \ cdot {\ frac {x_ {1}} {x_ {2}}} = {\ frac {p_ {2}} {p_ {1}}} \ Rightarrow x_ {2} = 1 {,} 5x_ { 1} \ cdot {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}}}

.

Если вы поместите это в условие измененного бюджета, результат будет

{\ displaystyle p_ {1} x_ {1} = y-p_ {2} x_ {2} = y-p_ {2} \ cdot 1 {,} 5x_ {1} \ cdot {\ frac {p_ {1}} {p_ {2}}} \ Rightarrow {\ color {BrickRed} x_ {1} ^ {*} = {\ frac {y} {2 {,} 5p_ {1}}} = 0 {,} 4 {\ frac {y} {p_ {1}}}}}

,

с которым потом снова

{\ displaystyle {\ color {BrickRed} x_ {2} ^ {*} = {\ frac {1 {,} 5} {2 {,} 5}} {\ frac {y} {p_ {2}}} = 0 {,} 6 {\ frac {y} {p_ {2}}}}}

Последние два выражения для и представляют собой не что иное, как соответствующие маршаллианские функции спроса на товар 1 и товар 2. ${\ displaystyle x_ {1} ^ {*}}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {*}}$

Примечания:

Пример касается особого случая, когда спрос на бананы и яблоки зависит только от цены соответствующего товара, но не от цены другого товара; поэтому спрос на бананы не зависит, например, от цены на яблоки. Обычно это не так. ${\ displaystyle p_ {1}}$
Примечательно, что мультипликативные члены в запросах Маршалла точно соответствуют соответствующему показателю в функции полезности. Это не случайно, как показывает следующий раздел.

Ввод цен и дохода в эти функции показывает, что в домашнем хозяйстве оптимально 8 яблок и 6 бананов.

Функции спроса Маршалла для общих функций полезности

Вспомогательная функция	Требование Маршалла
Функция полезности Кобба-Дугласа (постоянная отдача от масштаба ): ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdot x_ {2} ^ {\ alpha _ {2}}}$ , С участием ${\ Displaystyle \ альфа _ {1} + \ альфа _ {2} = 1}$	Для : ${\ displaystyle i = 1,2}$ ${\ displaystyle x_ {i} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = \ alpha _ {i} y / p_ {i}}$
Полезная функция CES: ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = \ left (x_ {1} ^ {\ rho} + x_ {2} ^ {\ rho} \ right) ^ {1 / \ rho}}$ С участием ${\ displaystyle \ rho \ neq 0}$ , ${\ displaystyle \ rho <1}$	Для : ${\ displaystyle i = 1,2}$ ${\ displaystyle x_ {i} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = {\ frac {p_ {i} ^ {r-1} y} {p_ {1} ^ {r} + p_ {2} ^ {r}}}}$ С участием ${\ Displaystyle г = {\ гидроразрыва {\ rho} {\ rho -1}}}$
Линейная функция полезности: ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} + x_ {2}}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = {\ begin {cases} y / p_ {1} & {\ text {if}} \ quad p_ {1 } <p_ {2} \\\ xi \ in [0, y / p_ {1}] \ quad \ mathrm {any} & \ mathrm {if} \ quad p_ {1} = p_ {2} \\ 0 & { \ text {Falls}} \ quad p_ {1}> p_ {2} \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {падает}} \ quad p_ {1} <p_ {2} \\\ xi \ in [0, y / p_ {1}] \ quad {\ text {any}} & {\ text {if}} \ quad p_ {1} = p_ {2} \\ y / p_ { 2} & {\ text {падает}} \ quad p_ {1}> p_ {2} \ end {case}}}$
Функция полезности Леонтьева: ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = \ min \ {x_ {1}, x_ {2} \}}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = x_ {2} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = {\ frac {y} {p_ {1} + p_ {2}}}}$
Служебная функция Stone Geary: ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} - \ alpha _ {1}) ^ {\ beta _ {1}} \ cdot (x_ {2} - \ alpha _ { 2}) ^ {\ beta _ {2}}}$ С участием ${\ displaystyle \ beta _ {1}, \ beta _ {2} \ geq 0}$	${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = \ alpha _ {1} + {\ frac {\ beta _ {1}} {p_ {1}}} (y- \ alpha _ {2} p_ {2})}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = \ alpha _ {2} + {\ frac {\ beta _ {2}} {p_ {2}}} (y- \ alpha _ {1} p_ {1})}$

Отношение к родственным понятиям

Косвенная функция полезности

Если полученный маршаллианский спрос вернуть в исходную функцию полезности , получится функция полезности, которая зависит от цен товаров и дохода . Это называется косвенной функцией полезности . Для данной конфигурации цена-доход функция косвенной полезности указывает конкретный уровень полезности, которого домохозяйство, максимизирующее полезность, достигает за счет своего спроса. ${\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)}$ ${\ Displaystyle и (\ mathbf {х})}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ Displaystyle v (\ mathbf {p}, y) \ Equiv u [\ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p}, y)]}$

Функция спроса Хикса

Рис. 5. Корреляция между рассматриваемой здесь задачей максимизации полезности и задачей минимизации расходов.

В то время как маршаллианский спрос, как показано, является результатом проблемы максимизации полезности домохозяйства и указывает количество товаров - в зависимости от цен на товары - которое требуется для достижения максимально возможного уровня полезности при заданном доходе , спрос Хикса является результатом проблемы минимизации расходов Домохозяйство и указывает количество товаров - в зависимости от цен на товары - которое требуется для достижения заданного уровня полезности как можно дешевле . ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle {\ overline {u}}}$

Однако, несмотря на концептуальное различие, существует тесная функциональная взаимосвязь между требованиями Маршалла и Хикса, для чего сделана ссылка на основную статью, упомянутую выше.

Пример в двухтоварном кейсе (продолжение)

(Продолжение примера выше.)

Косвенная функция полезности

{\ displaystyle v (p_ {1}, p_ {2}, y) \ Equiv u \ left [x_ {1} ^ {*} (p_ {1}, p_ {2}, y), x_ {2} ^ {*} (p_ {1}, p_ {2}, y) \ right] = \ left (x_ {1} ^ {*} \ right) {} ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left (x_ {2} ^ {*} \ right) {} ^ {0 {,} 6}}

Вставка полученных маршаллианских списков запросов

{\ displaystyle v (p_ {1}, p_ {2}, y) = \ left ({\ color {BrickRed} 0 {,} 4 {\ frac {y} {p_ {1}}}} \ right) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left ({\ color {BrickRed} 0 {,} 6 {\ frac {y} {p_ {2}}}} \ right) ^ {0 {,} 6} = \ left ({\ frac {0 {,} 4} {p_ {1}}} \ right) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left ({\ frac {0 {,} 6} {p_ {2}) }} \ right) ^ {0 {,} 6} \ cdot y}

С учетом цен на товары и дохода функция косвенной полезности указывает максимально возможный уровень полезности. Можно проверить , соответственно , которые приводят его поставляет со значениями , и согласились выше . Это дает ${\ displaystyle p_ {1}}$ ${\ displaystyle p_ {2}}$ ${\ displaystyle y}$

{\ displaystyle v \ приблизительно 6 {,} 73}

.

И на самом деле, при оптимальном количестве полученного выше товара и : ${\ displaystyle x_ {1} ^ {*} = 8}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {*} = 6}$

{\ displaystyle u (x_ {1} ^ {*}, x_ {2} ^ {*}) = 8 ^ {0 {,} 4} \ cdot 6 ^ {0 {,} 6} \ приблизительно 6 {,} 73}

.

Функция спроса Хикса

Чтобы получить из функций спроса Маршалла и соответствующих функций спроса Хикса, нужно установить косвенную функцию полезности на любом уровне полезности, а затем преобразовать функции в соответствии с доходом: ${\ displaystyle x_ {1} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = 0 {,} 4 (y / p_ {1})}$ ${\ displaystyle x_ {2} ^ {m} (p_ {1}, p_ {2}, y) = 0 {,} 6 (y / p_ {2})}$

{\ displaystyle \ left ({\ frac {0 {,} 4} {p_ {1}}} \ right) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left ({\ frac {0 {,} 6} { p_ {2}}} \ right) ^ {0 {,} 6} \ cdot y = {\ overline {u}} \ Rightarrow y = {\ frac {\ overline {u}} {\ left ({\ frac { 0 {,} 4} {p_ {1}}} \ right) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left ({\ frac {0 {,} 6} {p_ {2}}} \ right) ^ {0 {,} 6}}} = {\ overline {u}} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {1}} {0 {,} 4}} \ right) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {2}} {0 {,} 6}} \ right) ^ {0 {,} 6}}

Это функция расходов . Используя лемму Шепарда, сразу следует ${\ displaystyle e (p_ {1}, p_ {2}, {\ overline {u}})}$

{\ displaystyle x_ {1} ^ {h} (p_ {1}, p_ {2}, {\ overline {u}}) = {\ frac {\ partial e (p_ {1}, p_ {2}, { \ overline {u}})} {\ partial p_ {1}}} = {\ overline {u}} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {1}} {0 {,} 4}} \ right) ^ {- 0 {,} 6} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {2}} {0 {,} 6}} \ right) ^ {0 {,} 6}}

или же.

{\ displaystyle x_ {2} ^ {h} (p_ {1}, p_ {2}, {\ overline {u}}) = {\ frac {\ partial e (p_ {1}, p_ {2}, { \ overline {u}})} {\ partial p_ {2}}} = {\ overline {u}} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {1}} {0 {,} 4}} \ right) ^ {0 {,} 4} \ cdot \ left ({\ frac {p_ {2}} {0 {,} 6}} \ right) ^ {- 0 {,} 4}}

.

Дифференцируемость

Матричное уравнение потребительского спроса

Поскольку это важно для следующего рассмотрения, от сокращенного представления (матричных) векторных произведений на короткое время отказываются и четко формулируют, является ли это вектор-столбец или вектор-строка. и пусть оба будут векторами-столбцами. ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$

Рассмотрим условия первого порядка

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {i}}} = 0 \ Rightarrow {\ frac {\ partial u (\ mathbf {x} )} {\ partial x_ {i}}} = \ lambda p_ {i}}

для всех

{\ Displaystyle я = 1, \ ldots, п}

{\ Displaystyle \ Leftrightarrow \ nabla и (\ mathbf {x}) = \ лямбда \ mathbf {p}}

(с к градиенту функции полезности) и вторичного состояния ${\ Displaystyle \ набла и (\ mathbf {х})}$

{\ Displaystyle \ mathbf {p} ^ {T} \ mathbf {x} = y}

Суммарный дифференциал формируется из следующих условий :

{\ Displaystyle U \ mathrm {d} \ mathbf {x} = \ mathbf {p} \ mathrm {d} \ lambda + \ lambda \ mathrm {d} \ mathbf {p}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} ^ {T} \ mathrm {d} \ mathbf {x} + \ mathbf {x} ^ {T} \ mathrm {d} \ mathbf {p} = \ mathrm {d} y}

с в - гессенском матрицы функции полезности, то -й элемент которого задается с помощью , и преобразует эту систему в матричной форме: ${\ displaystyle U}$ ${\ Displaystyle (п \ раз п)}$ ${\ displaystyle (я, j)}$ ${\ Displaystyle \ partial ^ {2} и (\ mathbf {x}) / \ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}$

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cc} U & \ mathbf {p} \\\ mathbf {p} ^ {T} & 0 \ end {array}} \ right) \ cdot \ left ({\ begin {массив} {c} \ mathrm {d} \ mathbf {x} \\ - \ mathrm {d} \ lambda \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {cc} \ mathbf {0} & \ lambda I \\ 1 & - \ mathbf {x} ^ {T} \ end {array}} \ right) \ cdot \ left ({\ begin {array} {c} \ mathrm {d} y \ \\ mathrm {d} \ mathbf {p} \ end {array}} \ right)}

Следуя Бартену (1966), это уравнение иногда называют « фундаментальным матричным уравнением потребительского спроса». Назовите это выражение (а). Также рассмотрите систему спроса

{\ Displaystyle х_ {я} = х_ {я} (\ mathbf {p}, у)}

для всех

{\ Displaystyle я = 1, \ ldots, п}

{\ displaystyle \ lambda = \ lambda (\ mathbf {p}, y)}

.

Сформируйте также общий дифференциал этого:

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} \ mathrm {d} \ mathbf {x} \\ - \ mathrm {d} \ lambda \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {cc} \ mathbf {x} _ {y} & X _ {\ mathbf {p}} \\ - \ lambda _ {y} & - \ lambda _ {\ mathbf {p}} ^ {T} \ конец {массив}} \ right) \ cdot \ left ({\ begin {array} {c} \ mathrm {d} y \\\ mathrm {d} \ mathbf {p} \ end {array}} \ right)}

с , , и матрица с -м элементом . Назовите это выражение (б). ${\ displaystyle \ lambda _ {\ mathbf {p}} = (\ partial \ lambda / \ partial p_ {1}, \ ldots, \ partial \ lambda / \ partial p_ {n}) ^ {T}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {y} = \ partial \ lambda / \ partial y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {y} = (\ partial x_ {1} / \ partial y, \ ldots, \ partial x_ {n} / \ partial y) ^ {T}}$ ${\ displaystyle X _ {\ mathbf {p}}}$ ${\ Displaystyle (п \ раз п)}$ ${\ displaystyle (я, j)}$ ${\ displaystyle \ partial x_ {i} / \ partial p_ {j}}$

(b) в (a) дает

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cc} U & \ mathbf {p} \\\ mathbf {p} ^ {T} & 0 \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array } {cc} \ mathbf {x} _ {y} & X _ {\ mathbf {p}} \\ - \ lambda _ {y} & - \ lambda _ {\ mathbf {p}} ^ {T} \ end {array }} \ right) = \ left ({\ begin {array} {cc} \ mathbf {0} & \ lambda I \\ 1 & - \ mathbf {x} ^ {T} \ end {array}} \ right)}

или - регулярность в предполагало - сформулированы по- разному ${\ displaystyle U}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left ({\ begin {array} {cc} \ mathbf {x} _ {y} & X _ {\ mathbf {p}} \\ - \ lambda _ {y} & - \ лямбда _ {\ mathbf {p}} ^ {T} \ end {array}} \ right) & = \ left ({\ begin {array} {cc} U & \ mathbf {p} \\\ mathbf {p} ^ {T} & 0 \ end {array}} \ right) ^ {- 1} \ left ({\ begin {array} {cc} \ mathbf {0} & \ lambda I \\ 1 & - \ mathbf {x} ^ { T} \ end {array}} \ right) \\ & = {\ frac {1} {\ mathbf {p} ^ {T} U ^ {- 1} \ mathbf {p}}} \ left ({\ begin {массив} {cc} (\ mathbf {p} ^ {T} U ^ {- 1} \ mathbf {p}) U ^ {- 1} -U ^ {- 1} \ mathbf {p} (U ^ { -1} \ mathbf {p}) ^ {T} & U ^ {- 1} \ mathbf {p} \\ (U ^ {- 1} \ mathbf {p}) ^ {T} & - 1 \ end {array }} \ right) \ left ({\ begin {array} {cc} \ mathbf {0} & \ lambda I \\ 1 & - \ mathbf {x} ^ {T} \ end {array}} \ right) \\ & = {\ frac {1} {\ mathbf {p} ^ {T} U ^ {- 1} \ mathbf {p}}} \ left ({\ begin {array} {cc} U ^ {- 1} \ mathbf {p} & (\ mathbf {p} ^ {T} U ^ {- 1} \ mathbf {p}) \ lambda U ^ {- 1} - \ lambda (U ^ {- 1} \ mathbf {p} ) (U ^ {- 1} \ mathbf {p}) ^ {T} -U ^ {- 1} \ mathbf {p} \ mathbf {x} ^ {T} \\ - 1 & \ lambda (U ^ {- 1} \ mathbf {p}) ^ {T} + \ mathbf {x} ^ {T} \ end {array}} \ right) \ end {align}}}

Свойство дифференцируемости

1. Теорема (Кацнер, 1968): система маршаллианских запросов непрерывно дифференцируема тогда и только тогда, когда: ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {m}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {p} ^ {0}, y ^ {0})}$

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cc} U & \ mathbf {p} \\\ mathbf {p} ^ {T} & 0 \ end {array}} \ right)}

регулярно попадает в точку . ${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {x} ^ {m} (\ mathbf {p} ^ {0}, y ^ {0})}$

2. Лемма . Условие (1.) выполняется тогда и только тогда, когда выполняется следующее:

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cc} U & \ nabla u (\ mathbf {x}) \\\ left [\ nabla u (\ mathbf {x}) \ right] ^ {T} & 0 \ конец {массив}} \ right)}

регулярно. Эта матрица является модифицированной матрицей Гессе функции полезности.

Классификация истории идей

Порядковая концепция полезности, на которой основывается маршаллианский спрос, восходит к «современной» экономической концепции полезности преемника Вильфредо Парето . Парето (1906) построил, продолжил и продолжил концепцию Эджворта (1881), кривые безразличия для различных товаров, посредством чего - что на самом деле больше не было бы необходимым - он иногда все еще допускал кардинальную определимость выгоды; тем не менее, он проясняет четкое различие между (основными) предпочтениями и (просто репрезентативными) выгодами. В отличие от Эджворта, он не хочет, чтобы кривые безразличия строились как графическое представление кардинальной функции полезности, а, напротив, развивает свою теорию полезности только на основе кривых безразличия (на основе наблюдаемости). Уже Парето (1896 г.) показывает - как и независимо Фишер (1892 г.) - что измеримость полезности для построения функций спроса не является необходимой.

Другой концептуальный строительный блок требования Маршалла - построение функции спроса на основе теории полезности - можно проследить до Леона Вальраса . Еще в 1872 году Вальрас разработал модель, в которой розничные торговцы пытаются максимизировать свою полезность, в соответствии с которой отдельные функции полезности независимы и дополняют друг друга. По его просьбе Антуан Поль Пикар (1844–1920), который, как и Вальрас, был профессором Лозаннского университета , наконец, предоставил способ построения функции равновесия с использованием задачи ограниченной максимизации. Исходя из двух кривых предельной полезности для двух товаров и некоторого положительного начального запаса при заданных ценах, Пиккар строит условие оптимальности для потребления и , которое может быть выражено в виде кривой спроса, которая еще не соответствует современной концепции кривой спроса. рассмотренный двухпродуктовый случай связан. Эта расширенная модель также возникла, в частности, из знания Вальраса о пропорциональности предельной полезности (в терминологии Вальраса: rereté ) и цен на товары, которые пронизывают современную концепцию спроса. Маршалл (1890) предлагает гораздо более простой и прямой способ получения кривой спроса из функции спроса. Как и в случае с Вальрасом, предполагается независимость и аддитивность функции полезности и убывающая предельная полезность. Основываясь на этом, Маршалл действительно может построить современную формулировку кривой спроса как функции цен на товары и дохода; Однако ему удается это сделать только при условии «постоянной» предельной полезности дохода. Это предположение встретило критику при публикации Принципов , в том числе со стороны Парето. Маршалл также поделился с Вальрасом основой концепции кардинальной выгоды, необоснованность которой позже смог показать Парето. ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {B}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {A}}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {B}}$

Евгений Слуцкий сыграл ключевую роль в объединении методологических компонентов . Он (1915) уже в значительной степени очерчивает современную концепцию маршаллианской функции спроса. Несколько более общая версия предоставлена (не зная о вкладе Слуцкого) Джоном Хиксом и RGD Алленом (1934a, 1934b).

литература

Антон Бартен и Фолькер Бём: теория потребления. В: Кеннет Дж. Эрроу и Майкл Д. Интриллигатор (ред.): Справочник по математической экономике. Том 2. Северная Голландия, Амстердам 1982, ISBN 978-0-444-86127-6 , стр. 382-429 (также онлайн: doi : 10.1016 / S1573-4382 (82) 02004-9 ).
Фридрих Брейер: Микроэкономика. Введение. 5-е издание Springer, Heidelberg a. а. 2011, ISBN 978-3-642-22150-7 (также онлайн: doi : 10.1007 / 978-3-642-22150-7 ). [Глава 4]
Артур С. Голдбергер: Функциональная форма и полезность. Обзор теории потребительского спроса. Westview Press, Boulder 1987, ISBN 0-8133-7489-8 .
Дональд В. Кацнер: Статическая теория спроса. Макмиллан, Нью-Йорк, 1970.
Дэвид М. Крепс: Микроэкономические основы I. Выбор и конкурентные рынки. Princeton University Press, Princeton 2012, ISBN 978-0-691-15583-8 .
Андреу Мас-Колелл, Майкл Уинстон и Джерри Грин: Микроэкономическая теория. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1 . [Глава 3]
Эфе А. Ок: Реальный анализ с экономическими приложениями. Princeton University Press, Princeton 2007, ISBN 978-0-691-11768-3 .
Юджин Зильберберг: Хиксианские и маршаллианские требования. В: Стивен Н. Дурлауф и Лоуренс Э. Блюм (ред.): Новый экономический словарь Палгрейва. 2-е издание. Palgrave Macmillan 2008, DOI : 10.1057 / 9780230226203.0731 (онлайн-издание).
Марк Вурневельд: Математические основы микроэкономической теории: предпочтение, полезность и выбор. Script, Стокгольмская школа экономики, 2009 г., Интернет https://studentweb.hhs.se/courseweb/CourseWeb/Public/PhD501/0701/notes2.pdf , по состоянию на 5 мая 2014 г.

Замечания

↑ - это набор всех наборов действительных чисел с ; набор всех кортежей действительных чисел с . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {п}}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ geq 0}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {++} ^ {п}}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle x_ {i}> 0}$
↑ обозначает аргумент максимума . ${\ Displaystyle \ arg \ макс (\ cdot)}$
↑ См. Джеймс С. Мур: Общее равновесие и экономика благосостояния. Введение. Springer, Берлин а. а. 2007, ISBN 978-3-540-31407-3 (также онлайн: DOI : 10.1007 / 978-3-540-32223-8 ), стр. 88.
↑ Be и два метрических пространства. Соответствие это называется компактнозначным , если есть компактное подмножество из для всех . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ Gamma: X \ twoheadrightarrow Y}$ ${\ Displaystyle \ Gamma (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in X}$ ${\ displaystyle Y}$
↑ О следующем, например, Крепс 2012, стр. 53; Mas-Colell / Whinston / Green 1995, стр. 50 f.
↑ См., Например, Крепс 2012, стр. 34.
↑ Крепс 2012, с. 34.
^ Жерар Дебро : Теория стоимости. Аксиоматический анализ экономического равновесия. Издательство Йельского университета, Нью-Хейвен и Лондон, 1959 г., здесь стр. 72 f.
↑ ср. например, Джеймс С. Мур: Общее равновесие и экономика благосостояния. Введение. Springer, Берлин а. а. 2007, ISBN 978-3-540-31407-3 (также онлайн: doi : 10.1007 / 978-3-540-32223-8 ), глава 4; Ариэль Рубинштейн : конспект лекций по микроэкономической теории. Лекция 5-я Интернет http://press.princeton.edu/rubinstein/lecture5.pdf , доступ 6 мая 2014 г.
↑ ^б Это относится к переписке , как oberhemistetig, если в любой момент будет применять следующие: Для каждого открытого множества , что содержит среду существует , чтобы таким образом, что для всех . Соответствие это называется subhemistig , если в каждой точке применяется следующее: Всякий раз , когда и через противную сходящуюся последовательность будет дан, то существует натуральное число и последовательность , в которой сходится к, где для всех . См. Knut Sydsæter et al. а .: Дополнительная математика для экономического анализа. 2-е изд. Financial Times / Prentice Hall, Harlow 2008, ISBN 978-0-273-71328-9 , стр. 504 f. Обратите внимание, что терминология, используемая в литературе, иногда отличается от указанной. Иногда термин (нижняя / верхняя) полунепрерывность используется вместо (нижняя / верхняя) полунепрерывности (например, Kreps 2012; Gerard Debreu: Theory of Value. An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium. Yale University Press, New Haven and London 1959) ), что противоречит родственному, но, тем не менее, другому определению термина для вещественнозначных функций (см. вместо многих Forster: Analysis. Часть 3. 5-е изд. Springer, Berlin et al. 2009, ISBN 978-3-8348- 0704-5 , стр. 39 f.; Дин Корбэ, Максвелл Б. Стинчкомб и Джурадж Земан: Введение в математический анализ для экономической теории и эконометрики. Princeton University Press, Princeton and Oxford 2009, ISBN 978-0-691-11867- 3. С. 349). ${\ displaystyle \ Gamma: X \ substeq \ mathbb {R} ^ {l} \ twoheadrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0} \ in X}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle \ Gamma (\ mathbf {x} ^ {0})}$ ${\ displaystyle N _ {\ epsilon}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {х} ^ {0}}$ ${\ Displaystyle \ Гамма (\ mathbf {x}) \ substeq U}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in N _ {\ epsilon} \ cap X}$
${\ displaystyle \ Gamma: X \ substeq \ mathbb {R} ^ {l} \ twoheadrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0} \ in X}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {y} ^ {0} \ in \ Gamma (\ mathbf {x} ^ {0})}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {x} _ {k} \}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {х} ^ {0}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle k_ {0}}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {y} _ {k} \} _ {k = k_ {o}} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k} \ in \ Gamma (\ mathbf {x} _ {k})}$ ${\ displaystyle k \ geq k_ {0}}$
↑ ^a^b Be и два метрических пространства . Определите непрерывное, компактнозначное и непустое соответствие для on и быть непрерывной функцией. потом ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {х} \ rightarrow \! \! \! \! \! \! \! \ mapsto \ Gamma (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle u: X \ times Y \ rightarrow \ mathbb {R}}$
${\ Displaystyle \ varphi (\ mathbf {x}) \ Equiv \ sup \ {и (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) | \ mathbf {y} \ in \ Gamma (\ mathbf {x}) \ }}$
непрерывная функция и
${\ Displaystyle \ му (\ mathbf {x}) \ Equiv \ {\ mathbf {y} \ in \ Gamma (\ mathbf {x}) | u (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = \ varphi (\ mathbf {x}) \}}$
определяет непустое, компактное соответствие верхнего уровня. См. Также доказательство: Дин Корбэ, Максвелл Б. Стинчкомб и Джурадж Земан: Введение в математический анализ для экономической теории и эконометрики. Princeton University Press, Princeton and Oxford 2009, ISBN 978-0-691-11867-3 , стр. 268 f .; Хорошо 2007, стр. 306 и сл .; Джеймс С. Мур: Математические методы экономической теории. Том 2. Шпрингер, Берлин а. а. 1999, ISBN 3-540-66242-1 , с. 280.
↑ Чтобы доказать верхнее полушарие ср. Ok 2007, стр. 292 и Kreps 2012, стр. 55 f.; для доказательства недочеловечности ср. Хорошо, 2007, с. 299, и Крепс, 2012, с. 56.
↑ Be и два метрических пространства. Переписка называется быть закрыто , если есть замкнутое подмножество для всех . См. Ok 2007, с. 289. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ Gamma: X \ twoheadrightarrow Y}$ ${\ Displaystyle \ Gamma (\ mathbf {x})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} \ in X}$ ${\ displaystyle Y}$
↑ Соответствие имеет замкнутый график, если в каждой точке применима следующая импликация: быть и с и произвольными последствиями и применимы ко всем . Тогда есть . См., Например, Ok 2007, стр. 294. ${\ displaystyle \ Gamma: X \ substeq \ mathbb {R} ^ {l} \ twoheadrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0} \ in X}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {x} _ {k} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {y} _ {k} \}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {k} \ rightarrow \ mathbf {x} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k} \ rightarrow \ mathbf {y} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y} _ {k} \ in \ Gamma (\ mathbf {x} _ {k})}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {y} ^ {0} \ in \ Gamma (\ mathbf {x} ^ {0})}$
↑ См. Также для доказательства, Ok 2007, p. 295 f.
↑ По материалам Voorneveld 2009, стр. 24; Хараламбос Д. Алипрантис: Проблемы теории равновесия. Springer, Берлин а. а. 1996, ISBN 3-540-60753-6 , стр. 39 f.
↑ упорядочение Предпочтение называют ненасыщенными локально, если для любого и для каждой среды к существует, с . См. Правила предпочтения статей . ${\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {0} \ in X}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ ${\ displaystyle N _ {\ epsilon}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {х} ^ {0}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '\ in N _ {\ epsilon}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {x} '\ succ \ mathbf {x} ^ {0}}$
↑ См. Mas-Colell / Whinston / Green 1995, p. 53 f .; Kreps 2012, pp. 57 f., 480 ff. (Для доказательства); для общего доказательства теоремы также Knut Sydster et al. а .: Дополнительная математика для экономического анализа. 2-е изд. Financial Times / Prentice Hall, Harlow 2008, ISBN 978-0-273-71328-9 , стр. 143 f.
↑ См. Также доказательство: Майкл Картер: Основы математической экономики. MIT Press, Cambridge 2001, ISBN 0-262-03289-9 , стр. 577 и далее (однако приведенный здесь аргумент в пользу действительности условия регулярности на примере задачи максимизации полезности неверен); Питер Калл: Анализ для экономистов. Б. Г. Тойбнер, Штутгарт, 1982, ISBN 3-519-02355-5 , стр. 178 (лемма 5.20).
↑ Об этом, например, Mas-Colell / Whinston / Green 1995, p. 54.
↑ Об этом и следующем Goldberger 1987, стр. 3 и далее; Уильям А. Барнетт и Апостолос Серлетис: Дифференциальный подход к анализу спроса и Роттердамская модель. В: Дэниел Дж. Слоттье (ред.): Количественная оценка потребительских предпочтений. Emerald, Bingley 2009, ISBN 978-1-84855-312-5 , стр. 61–81, здесь стр. 63 и далее.
^ Антон Бартен: Теория en Empirie van een Volledig Stelsel van Vraagvergelijkingen. Диссертация, Нидерландская школа экономики, Роттердам.
↑ См. Goldberger 1987, стр. 6; Бартен / Бём, 1982, с. 410.
↑ Дональд В. Кацнер: Примечание о дифференцируемости функций потребительского спроса. В: Econometrica. 36, No. 2, 1968, pp. 415-418 ( JSTOR 1907498 ).
↑ См. Barten / Böhm 1982, p. 411.
↑ См. Barten / Böhm 1982, p. 411; Мас-Колелл / Уинстон / Грин, 1995, с. 95.
^ Вильфредо Парето: Manuale diconomia politica. Con una Introduction alla scienza sociale. Societa editrice libraria, Милан 1906. Здесь сделана ссылка на английский перевод Руководства по политической экономии. Перевод Энн С. Швир. Огастес М. Келли, Нью-Йорк, 1971.
^ Фрэнсис Ю. Эджворт : математическая психика. Очерк о применении математики в моральных науках. CK Paul & Co, 1881 год.
↑ См. Кристиан Э. Вебер: Парето и 53% -ная порядковая теория полезности. В кн . : История политической экономии. 33, No. 3, 2001, pp. 541-576; Джордж Дж. Стиглер : Развитие теории полезности. . II В: Журнал политической экономии. 58, No. 5, 1950, pp. 373-396 ( JSTOR 1825710 ), здесь p. 380 f.
↑ «Понятия ценности использования, полезности, оптимальности, индексов оптимальности и т. Д. Значительно облегчают изложение теории экономического равновесия, но они не являются необходимыми для построения этой теории. Благодаря использованию математики вся эта теория […] опирается не более чем на факт опыта, то есть на определение количества товаров, составляющих комбинации, между которыми индивид безразличен ». (Вильфредо Парето: Manuale diconomia politica. Con una Introduction alla scienza sociale. Societa editrice libraria, Милан, 1906, цитата из Руководства по политической экономии, переведенному на английский язык . Перевод Энн С. Швир. Август М. Келли, Нью-Йорк, 1971. ) См. Также Керри Л. Митченер: Предпочтение и полезность в экономической теории и истории экономической мысли. Диссертация, Университет Квинсленда, 2007 г., глава 6; Ганшьям Б. Мехта: Предпочтение и полезность. В: Сальвадор Барбера, Питер Дж. Хаммонд и Кристиан Зайдл (ред.): Справочник по теории полезности. Том 1. Kluwer, Dordrecht u. а. 1998, ISBN 0-7923-8174-2 , стр. 1-47, стр. 2 f.
^ Вильфредо Парето: Cours d'économie politique. Руж, Лозанна, 1896 год.
^ Ирвинг Фишер: Математические исследования в теории стоимости и цен. В: Труды Академии искусств и наук Коннектикута. 9, 1892 г.
↑ См. Джордж Дж. Стиглер : Развитие теории полезности. . II В: Журнал политической экономии. 58, No. 5, 1950, pp. 373-396 ( JSTOR 1825710 ); Роберто Маркионатти и Энрико Гамбино: Парето и политическая экономия как наука: методологическая революция и аналитические достижения в экономической теории в 1890-х годах. В: Журнал политической экономии. 105, No. 6, 1997, pp. 1322-1348 ( JSTOR ), здесь pp. 1335 f.
↑ См. Кацнер 1970, с. 8.
↑ Об этом Дональд А. Уокер: Вальрас, Леон (1834-1910). В: Стивен Н. Дурлауф и Лоуренс Э. Блюм (ред.): Новый экономический словарь Палгрейва. 2-е издание. Palgrave Macmillan 2008, DOI : 10.1057 / 9780230226203.1814 (онлайн-издание); Дональд А. Уокер: рыночные модели Вальраса. Издательство Кембриджского университета, Кембридж 2005, ISBN 9780521022958 , стр.41.
↑ Об этом более подробно Уильям Джаффе: Роль Леона Вальраса в «маргинальной революции» 1870-х годов. В кн . : История политической экономии. 4, N 2, 1972, DOI : 10,1215 / 00182702-4-2-379 ., Стр 379-405, здесь р 397 ф..
^ Альфред Маршалл: принципы экономики. 1-е издание Macmillan, 1890 г. (также онлайн: https://archive.org/details/principlesecono00marsgoog ).
↑ См. Также Питер С. Дули: Излишки потребителей: Маршалл и его критики. В: Канадский журнал экономики / Revue canadienne d'Economique. 16, No. 1, 1983, pp. 26-38 ( JSTOR 134973 ), pp. 28 ff.; особенно о противоречии с Парето: Э. Б. Уилсон: Парето против Маршалла. В: Ежеквартальный журнал экономики. 53, No. 4, 1939, pp. 645-650 ( JSTOR 1883289 ).
↑ Евгений Слуцкий: Sulla teoria del bilancio del consumatore. В: Giornale degliconomisti. 1915, с. 1-26. Здесь делается ссылка на английский перевод «Теории бюджета потребителя». В: Джордж Дж. Стиглер и К. Э. Боулдинг (ред.): Чтения по теории цен. Ирвин, Хоумвуд, 1952, стр. 27-56.
↑ См. Кацнер 1970, с. 7.
↑ Джон Р. Хикс и RGD Аллен: Пересмотр теории ценности. Часть I. В кн . : Экономика. 1, No. 1, 1934, pp. 52-76 ( JSTOR 2548574 ).
↑ Джон Р. Хикс и RGD Аллен: Пересмотр теории ценности. . Часть II Математическая теория индивидуальных функций спроса В: Economica. 1, No. 2, 1934, pp. 196-219 ( JSTOR 2548749 ).
↑ О связи этих работ со Слуцким (1915) ср. RGD Allen: Теория выбора потребителей профессора Слуцкого. В кн . : Обзор экономических исследований. 3, № 2, 1936, стр 120-129,. DOI : 10,2307 / 2967502 . О генезисе и истории приема Слуцкого (1915) ср. Джон С. Чипман и Жан-Себастьен Ленфан: Статья Слуцкого 1915 года: Как это было найдено и истолковано. В кн . : История политической экономии. 34, № 3, 2002, стр 553-597,. DOI : 10,1215 / 00182702-34-3-553 .