Математическая статистика

Под математической статистикой понимается отрасль статистики, которая анализирует методы и процедуры статистики математически или с их помощью только обоснованно. Термины индуктивная статистика , оценочная статистика и логическая статистика ( статистика закрытия ) в основном используются как синонимы, которые характеризуют ту часть статистики, которая дополняет описательную статистику . Вместе с теорией вероятностей математическая статистика формирует подобласть математики, известную как стохастика .

Математической основой математической статистики является теория вероятностей.

Цели статистики

Предметом статистики являются популяции , все члены которых обладают определенной характеристикой . Мы ищем утверждения о том, как часто эта характеристика принимает свои возможные значения в популяции. Часто утверждения ограничиваются производными величинами, такими как среднее значение характеристических значений, которыми обладают члены совокупности.

Возрастная пирамида: распределение по полу и возрасту среди населения Германии (2010 г.)

Одним из примеров является возрастное распределение, которое часто отображается графически в виде возрастной пирамиды , при этом населением может быть, например, население Германии. Поскольку точное определение возрастного распределения немцев требует тщательного полного обследования, такого как перепись , необходимо найти методы, с помощью которых можно было бы сделать в значительной степени надежные утверждения на основе частичных обследований. Как и в примере с Политбарометром , только члены случайно выбранной подмножества населения, так называемой выборки , исследуются на предмет интересующей характеристики.

методология

Если бы возрастное распределение населения было известно, вероятности для возрастных распределений, наблюдаемых в выборках, можно было бы рассчитать с использованием формул теории вероятностей , которые подвержены случайным колебаниям из-за случайного отбора выборок. В математической статистике такие расчеты используются для того, чтобы иметь возможность сделать обратное из результатов выборки о совокупности: на основе характерных значений, наблюдаемых специально для выборки, те частотные распределения внутри совокупности характеризуются, с которыми Результат наблюдения может быть правдоподобно объяснен. Теоретические исследования сосредоточены не только на самих выводах, но и на оценках того, насколько точны в числовом отношении и насколько достоверны такие прогнозы.

Интересующие пользователя частотные распределения лишь косвенно являются предметом методов математической статистики. Вместо этого эти методы относятся к случайным величинам . В частности, эти случайные величины считаются которых распределение вероятностей соответствуют в относительных частоты художественных значений . В частности, в приведенном примере распределения по возрасту реализованное значение случайной величины равно возрасту случайно выбранного немца. Таким образом, наблюдаемые значения, определенные по выборке, можно понимать как так называемые реализации независимо и одинаково распределенных случайных величин . В этом случае априорные знания представлены семейством вероятностных распределений или соответствующим семейством вероятностных мер . Говорят о предположении о распределении . Он может содержать утверждения о возможных значениях характеристик, например, в отношении их целочисленных значений, и о типе распределения, например, «значения обычно распределены ».

Центральной областью математической статистики является теория оценивания , в рамках которой разрабатываются подходящие методы оценки . Методология такова, что на основе предположения о распределении определенные классы функций оценки исследуются и сравниваются с учетом различных критериев качества (таких как достаточность или эффективность ). Такая оценочная функция может быть как однозначным приближением желаемого параметра совокупности, так и оценкой диапазона в форме так называемого доверительного интервала . Конкретные предположения о совокупности можно проверить с помощью подходящих статистических тестов . На основе гипотезы на основе результата выборки принимается решение 0-1 об отклонении или сохранении гипотезы.

Математическая статистика также включает теории процедур статистического отбора, а также оптимального планирования экспериментов и обследований .

Статистические модели

Полная формализация статистических вопросов на основе математических объектов достигается с помощью концепции статистической модели , часто также называемой статистическим пространством . В отличие от ранее описанного, более ориентированного на приложения сценария, нет необходимости определять совокупность:

Возможные результаты выборки объединяются в набор , область выборки . Наблюдаемые в нем события формально характеризуются σ-алгеброй, определенной для выборочного пространства . Предположение о распределении, то есть рассматриваемые распределения вероятностей, соответствуют семейству вероятностных мер . Таким образом, статистическая модель формально является тройной . Если это реальный вектор параметров, то есть говорят о параметрической модели с пространством параметров . Случай реального параметра называется однопараметрической моделью . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {X}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle (P _ {\ vartheta}) _ {\ vartheta \ in \ Theta}}$${\ displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {F}}, P _ {\ vartheta} \ двоеточие \ vartheta \ in \ Theta)}$${\ displaystyle \ vartheta}$${\ Displaystyle \ Theta \ substeq \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ displaystyle \ Theta}$${\ displaystyle d = 1}$

Измеримая функция от в другой измерительной комнате называется образцом функцией или статистиками . Функция оценки или, короче говоря, оценка для характеристики параметра является функцией выборки . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle ({\ mathcal {X}}, {\ mathcal {F}})}$ ${\ Displaystyle ({\ mathcal {S}}, \ Sigma)}$${\ Displaystyle \ тау (\ vartheta) \ в {\ mathcal {S}}}$${\ Displaystyle Т \ двоеточие {\ mathcal {X}} \ to {\ mathcal {S}}}$

литература

• Йорг Беверсдорф : Статистика - как и почему они работают. Читатель математики . Vieweg + Teubner Verlag 2011, ISBN 978-3-8348-1753-2 , DOI: 10.1007 / 978-3-8348-8264-6 .
• Ханс-Отто Георгий: Стохастика: Введение в теорию вероятностей и статистику , 4-е издание, de Gruyter, 2009, ISBN 978-3-11-021526-7 , DOI: 10.1515 / 9783110215274 .
• Норберт Хенце : Стохастик для начинающих: Введение в увлекательный мир случайностей. Vieweg + Teubner Verlag 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8 , DOI: 10.1007 / 978-3-8348-9351-2 .
• Герман Виттинг : математическая статистика , том 1, параметрические методы с фиксированным размером выборки , Teubner Verlag 1985, ISBN 3-519-02026-2 , DOI : 10.1007 / 978-3-322-90150-7 .
• Херманн Виттинг, Ульрих Мюллер-Функ : математическая статистика , том 2, Асимптотическая статистика: параметрические модели и непараметрические функционалы , Teubner Verlag 1995, ISBN 3-322-90153-X , doi: 10.1007 / 978-3-322-90152-1 .
• Дитер Раш и Дитер Шотт: математическая статистика, для математиков, естествоиспытателей и инженеров . 1-е издание, ноябрь 2015 г., 648 страниц, твердый переплет, 150 иллюстраций, ISBN 978-3-527-33884-9 учебника , Wiley-VCH, Weinheim

веб ссылки

• Литература по выводной статистике в каталоге Немецкой национальной библиотеки