Вектор положения

Две точки и их векторы положения

Векторы положения (здесь обозначены и ) в декартовой системе координат${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {P}}$${\ displaystyle {\ vec {r}} _ {Q}}$

В математике и физике вектор положения (также радиус-вектор или вектор положения ) точки - это вектор, который указывает от фиксированной контрольной точки к этой точке (местоположению). В элементарной и синтетической геометрии эти векторы могут быть определены как классы стрелок с одинаковым смещением или как параллельные смещения .

Векторы положения позволяют использовать векторное исчисление для описания точек , наборов точек и отображений . Если система декартовых координат используются в качестве основы, то происхождение от координат , как правило выбирается в качестве точки отсчета для положения векторов точек. В этом случае координаты точки относительно этой системы координат совпадают с координатами ее вектора положения.

В аналитической геометрии , векторы позиции используются для описания изображений в аффинном или евклидове пространства и для описания множества точек (например, прямыми и плоскостей ) с помощью уравнений и параметрических представлений .

В физике , векторы положения используются для описания расположения в теле в евклидовом пространстве. В координатных преобразованиях, положение векторы показать на другое преобразование поведение , чем ковариантные векторы .

Орфография

В геометрии ориентир (начало координат) обычно обозначается как (латинское ориго ). Обозначение вектора положения точки тогда: ${\ displaystyle O}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle {\ overrightarrow {OP}}}$

Иногда также используются строчные буквы с векторными стрелками, которые соответствуют прописным буквам, которыми обозначены точки, например:

${\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ overrightarrow {OP}}, \ {\ vec {q}} = {\ overrightarrow {OQ}}, \ {\ vec {a}} = {\ overrightarrow {OA }}, \ {\ vec {b}} = {\ overrightarrow {OB}}, \ \ dots, \ {\ vec {x}} = {\ overrightarrow {OX}}}$

Также распространено обозначение, что заглавная буква, обозначающая точку, снабжена векторной стрелкой:

${\ displaystyle {\ vec {P}} = {\ overrightarrow {OP}}, \ {\ vec {Q}} = {\ overrightarrow {OQ}}, \ {\ vec {A}} = {\ overrightarrow {OA }}, \ {\ vec {B}} = {\ overrightarrow {OB}}, \ \ dots, \ {\ vec {X}} = {\ overrightarrow {OX}}}$

В частности, в физике вектор положения также называется радиус-вектором и обозначается векторной стрелкой как или (особенно в теоретической физике) полужирным шрифтом как . ${\ displaystyle {\ vec {r}}}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

Примеры и приложения в геометрии

Вектор связи

Для подключения вектора двух точек и с векторами положения и тому применимо следующее: ${\ displaystyle {\ overrightarrow {PQ}}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ overrightarrow {OP}}}$${\ displaystyle {\ vec {q}} = {\ overrightarrow {OQ}}}$

${\ displaystyle {\ overrightarrow {PQ}} = {\ overrightarrow {OQ}} - {\ overrightarrow {OP}} = {\ vec {q}} - {\ vec {p}}}$

Декартовы координаты

Следующее относится к координатам вектора положения точки с координатами : ${\ displaystyle {\ overrightarrow {OP}}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle (p_ {1}, p_ {2}, p_ {3})}$

${\ Displaystyle {\ overrightarrow {OP}} = {\ begin {pmatrix} p_ {1} \\ p_ {2} \\ p_ {3} \ end {pmatrix}}}$

сдвиг

Сдвиг вокруг вектора отображает точку на точку . Тогда к векторам положения применяется следующее: ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$

${\ displaystyle {\ overrightarrow {OX '}} = {\ overrightarrow {OX}} + {\ vec {v}}}$

${\ displaystyle {\ vec {x}} '= {\ vec {x}} + {\ vec {v}}}$

Вращение вокруг начала координат

Вращение в плоскости с центром вращения на угол счетчика -clockwise , с помощью следующим образом в декартовых координатах матрица вращения будет описана: Если вектор положения точки и положение вектора пиксела , то: ${\ displaystyle O}$ ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ tbinom {x_ {1}} {x_ {2}}} = {\ overrightarrow {OX}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ vec {x}} '= {\ tbinom {x_ {1}'} {x_ {2} '}} = {\ overrightarrow {OX'}}}$${\ displaystyle X '}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x_ {1} '\\ x_ {2}' \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ varphi & - \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & \ cos \ varphi \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \ end {pmatrix}}}$

Аффинная фигура

Общее аффинное отображение, которое отображает точку в точку, может быть представлено векторами положения следующим образом: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '}$

${\ displaystyle {\ vec {x}} '= L ({\ vec {x}}) + {\ vec {v}}}$

Здесь вектор положения von , вектор положения von , является линейным отображением и вектором, который описывает смещение. Линейное отображение может быть представлено матрицей в декартовых координатах, и применяется следующее: ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ vec {x}} '}$${\ displaystyle X '}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle {\ vec {x}} = A \ cdot {\ vec {x}} + {\ vec {v}}}$

В трехмерном пространстве это приводит к:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x_ {1} '\\ x_ {2}' \\ x_ {3} '\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \ end {pmatrix}} \, {\ begin {pmatrix } x_ {1} \ \ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} v_ {1} \\ v_ {2} \ v_ {3} \ end {pmatrix }}}$

Соответствующие представления также доступны для других размеров.

Параметрическое представление прямой

Прямая линия , проходящая через точку и содержит именно те точки , положение которых вектор представления ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ overrightarrow {OP}} + t \, {\ overrightarrow {PQ}}}$ С ${\ Displaystyle т \ в \ mathbb {R}}$

владеет. Один говорит здесь о параметрической форме в уравнении прямой .

Нормальная форма плоского уравнения

Плоскость , проходящая через точку (точка поддержки) с вектором нормали содержит ровно те точки , положение которых вектор соответствует , чтобы в нормальное уравнение${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

${\ displaystyle {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {n}} = {\ vec {p}} \ cdot {\ vec {n}}}$

Выполняет. Это вектор положения ( опорный вектор ) точки опоры, а Malpunkt обозначает скалярное произведение . ${\ displaystyle {\ vec {p}}}$${\ displaystyle P}$

Вектор положения в разных системах координат

Декартова система координат

Точка, описываемая вектором положения, может быть выражена координатами системы координат, при этом опорная точка вектора положения обычно помещается в начало координат .

Декартовы координаты

Обычно вектор положения находится в декартовых координатах в виде

${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} \, (x, y, z) = {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ z \ end {pmatrix}}}$

Определены. Следовательно, декартовы координаты также являются компонентами вектора положения.

Цилиндрические координаты

Вектор положения как функция координат цилиндра получается путем преобразования координат цилиндра в соответствующие декартовы координаты.

${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} \, (\ rho, \ varphi, z) = {\ begin {pmatrix} \ rho \, \ cos \ varphi \\\ rho \, \ sin \ varphi \\ z \ end {pmatrix}}.}$

Здесь обозначает расстояние от точки до оси, угол отсчитывается от оси в направлении оси. и поэтому являются полярными координатами точки, ортогонально спроецированной на плоскость - . ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

С математической точки зрения здесь рассматривается отображение (функция), которое присваивает декартовы координаты вектора положения координатам цилиндра . ${\ displaystyle (\ rho, \ varphi, z)}$${\ Displaystyle (х, у, г)}$

Сферические координаты

Сферическая система координат

Вектор положения как функция сферических координат получается путем преобразования сферических координат в соответствующие декартовы координаты.

${\ displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} \, (r, \ theta, \ varphi) = {\ begin {pmatrix} r \, \ sin \ theta \, \ cos \ varphi \ \ r \, \ sin \ theta \, \ sin \ varphi \\ r \, \ cos \ theta \ end {pmatrix}}.}$

Здесь обозначает расстояние точки от начала координат (т.е.длина вектора положения), угол измеряется в плоскости - от оси - в направлении оси, угол - это угол между осью. и вектор положения. ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle z}$

физика

Небесная механика

Чтобы указать положение небесного тела, движущегося по орбите вокруг центра тяжести , этот центр тяжести выбирается в качестве источника местоположения или радиус-вектора в небесной механике . Тогда радиус-вектор всегда лежит в направлении силы тяжести . Путь вектора положения является называется дальним светом . Луч дальнего света играет центральную роль во втором законе Кеплера (теорема площади) .

Смотри тоже

• Единичный вектор
• Формулы Френе
• Годограф

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Иштван Сабо : Введение в техническую механику. Springer, 1999, ISBN 3-540-44248-0 , стр. 12.

литература

• Клаус Деш: Математические дополнения к физике II, Глава 11: Векторный анализ. (PDF, 210 кБ). Институт экспериментальной физики, Гамбург.