Плотность упаковки (кристаллография)

Плотность упаковки (также называемая коэффициентом упаковки или заполнением пространства , англ. APF для атомного фактора упаковки) определяется в кристаллографии как отношение объема атомов в элементарной ячейке к общему объему элементарной ячейки.

Термин был принят аналогично в математике для задач пространственной оптимизации , таких как упаковка сфер , которые играют роль в теории сжатия данных.

Основы

Предполагается, что атомы представляют собой твердые несжимаемые сферы максимального и одинакового размера. Числовое значение плотности упаковки характерно для типа упаковки. Это не зависит от концепции элементарной ячейки (сферы, состоящие из двух или более элементарных ячеек, заполняют ту же часть пространства, что и в элементарной ячейке). Дальнейшие выводы о форме решетки можно сделать из заполняемого пространства и, например, можно объяснить стабильность или плотность кристалла.

Как правило, плотность упаковки зависит от: ${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle P = {\ frac {N \ cdot V _ {\ text {atom}}} {V _ {\ text {элементарная ячейка}}}}}$

где - количество атомов (= сумма индивидуальных пропорций) в элементарной ячейке. Объем сфер в элементарной ячейке с радиусом рассчитывается следующим образом: ${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle V _ {\ text {Atom}} = V _ {\ text {сфера}} (r) = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}$

Во многих кристаллических системах элементарная ячейка кубическая. Объем такой элементарной ячейки с параметром решетки равен: ${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle V _ {\ text {элементарная ячейка}} = a ^ {3}}$

Для упаковки с кубической элементарной ячейкой применяется следующее:

${\ displaystyle P = {\ frac {N \ cdot {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}} {a ^ {3}}}}$

Предполагая, что только один тип атома с одинаковым размером атома, максимально возможное заполнение пространства - это плотнейшая кубическая упаковка сфер ( кубическая гранецентрированная решетка ) и гексагональная плотнейшая упаковка сфер . Это около 74%.

Кристаллическая структура элементов

Большинство элементов кристаллизуются в типах насадок, перечисленных здесь.

Расчет заполнения пространства

Кубическая примитивная упаковка

Секция из примитивной кубической пачки. В каждой элементарной ячейке всего 8 * 1/8 = 1 сфера .

В кубической примитивной упаковке (англ. Scp , простая кубическая упаковка) сферы занимают 8 углов кубической элементарной ячейки. Поскольку альфа-модификация полония кристаллизуется в этом типе, ее часто называют общим названием типа альфа-полония .

Сферы кубической примитивной элементарной ячейки показаны здесь в упрощенном виде в виде точек

Если смотреть сверху, один слой этого пакета выглядит так:

Таким образом, все слои этого типа набивки идентичны. Каждый шар своим объемом заполняет объем окружающих элементарных ячеек. Каждая элементарная ячейка заполнена сферическим объемом. Каждый шар касается 6 других шаров напрямую, координационное число 6. Все шары касаются друг друга без разрывов. Параметр решетки в два раза больше радиуса сферы : ${\ displaystyle 1/8}$${\ displaystyle 8}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle r}$

Так это

${\ displaystyle r = {\ frac {a} {2}}}$

Плотность упаковки около 52,36%.

${\ displaystyle P = {\ frac {N \ cdot {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}} {a ^ {3}}} = {\ frac {1 \ cdot {\ frac { 4} {3}} \ pi r ^ {3}} {a ^ {3}}} = {\ frac {{\ frac {4} {3}} \ pi ({\ frac {a} {2}} ) ^ {3}} {a ^ {3}}} = {\ frac {\ pi} {6}} \ приблизительно 0 {,} 5236}$

Гранецентрированная кубическая упаковка

В гранецентрированной кубической упаковке (англ. Fcc , facecentered cubic) 8 сфер занимают углы кубической элементарной ячейки и заполняют их на 1/8 своего сферического объема. Кроме того, в середине из 6 поверхностей находится сфера, которая добавляет 1/2 своего объема к элементарной ячейке. Таким образом, в каждой элементарной ячейке находится 8 · 1/8 + 6 · 1/2 = 4 сферы . Поскольку медь кристаллизуется в этом типе, ее также называют медным типом .

Элементарная ячейка гранецентрированной кубической упаковки.

Сечение элементарной ячейки гранецентрированной кубической упаковки.

Верхний и нижний слои одинаковые. Здесь сферы соприкасаются по диагонали элементарной ячейки:

Средний слой выглядит так, если смотреть сверху:

Поэтому шарики на углах не касаются других шариков на углах. Радиус всех сфер остается прежним. Теорема Пифагора заключает:

${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$

${\ displaystyle a = b \ Rightarrow 2a ^ {2} = c ^ {2}}$

${\ displaystyle c = {\ sqrt {2}} a = 4r}$

Итак, радиус

${\ displaystyle r = {\ frac {{\ sqrt {2}} a} {4}}}$

Плотность упаковки составляет примерно 74,05%.

${\ displaystyle P = {\ frac {N \ cdot {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}} {a ^ {3}}} = {\ frac {4 \ cdot {\ frac { 4} {3}} \ pi r ^ {3}} {a ^ {3}}} = {\ frac {4 \ cdot {\ frac {4} {3}} \ pi ({\ frac {{\ sqrt {2}} a} {4}}) ^ {3}} {a ^ {3}}} = {\ frac {{\ sqrt {2}} \ pi} {6}} \ приблизительно 0 {,} 7405 }$

Объемно-центрированная кубическая упаковка

Сечение элементарной ячейки объемноцентрированной (объемноцентрированной) кубической упаковки.

В объемно-центрированной кубической (также: объемно-центрированной ) пачке (англ. Bcc , body-center cubic) в углах элементарной кубической ячейки располагаются 8 сфер. Шарики не касаются углов. В середине элементарной ячейки находится сфера, весь объем которой заключен в элементарной ячейке. Итак, здесь в элементарной ячейке 8 · 1/8 + 1 = 2 сферы . Этот тип обозначается общим названием Wolfram-Typ .

Верхний и нижний слои выглядят так:

В среднем слое находится полный шар:

В этом типе также все шары имеют одинаковый радиус. Сферы касаются друг друга по диагонали пространства через элементарную ячейку.

Для того, чтобы рассчитать диагональ комнаты, вам понадобится диагональ площади. Итак, теорема Пифагора применяется дважды:

${\ displaystyle 2a ^ {2} = b ^ {2}}$

${\ displaystyle b = {\ sqrt {2}} a}$

и

${\ displaystyle a ^ {2} + ({\ sqrt {2}} a) ^ {2} = d ^ {2} = 3a ^ {2}}$

${\ displaystyle d = {\ sqrt {3}} a}$

Радиус соответствует:

${\ displaystyle 4r = {\ sqrt {3}} а}$

${\ displaystyle r = {\ frac {{\ sqrt {3}} a} {4}}}$

Плотность упаковки примерно 68%.

${\ displaystyle P = {\ frac {N \ cdot {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}} {a ^ {3}}} = {\ frac {2 \ cdot {\ frac { 4} {3}} \ pi r ^ {3}} {a ^ {3}}} = {\ frac {2 \ cdot {\ frac {4} {3}} \ pi ({\ frac {{\ sqrt {3}} a} {4}}) ^ {3}} {a ^ {3}}} = {\ frac {{\ sqrt {3}} \ pi} {8}} \ приблизительно 0 {,} 6802 }$

Приложения

Зная упаковку, например плотность, молярную массу и многое другое. рассчитываться.

пример

Плотность является интенсивной величиной , которая не зависит от размера рассматриваемой системы. Плотность одного кубического метра металла идентична плотности элементарной ячейки структуры металла. Зная параметр решетки , молярную массу и количество атомов в элементарной ячейке, плотность может, например, Б. металла можно рассчитать следующим образом:

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {m} {V}}}$

${\ displaystyle \ Leftrightarrow \ rho = {\ frac {M \ cdot n} {V}} = {\ frac {M \ cdot N} {N_ {A} \ cdot V}}}$

Медь кристаллизуется в виде кубической плотноупакованной решетки. Итак, в элементарной ячейке есть атомы. Радиус атома меди Å , что соответствует . ${\ displaystyle 4}$${\ displaystyle 1 {,} 28}$ ${\ Displaystyle 1 {,} 28 \ cdot 10 ^ {- 10} \, \ mathrm {m}}$

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {63 {,} 456 \, \ mathrm {\ frac {g} {mol}} \ cdot 4} {6 {,} 022140 \ cdot 10 ^ {23} {\ frac { 1} {\ mathrm {mol}}} \ cdot a ^ {3}}}}$

Параметр сетки для этого типа рассчитывается следующим образом: ${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle a = {\ frac {4r} {\ sqrt {2}}} = {\ frac {4 \ cdot 1 {,} 28 \ cdot 10 ^ {- 10} \, \ mathrm {m}} {\ sqrt {2}}} = 3 {,} 62 \ cdot 10 ^ {- 10} \, \ mathrm {m}}$

Плотность меди составляет:

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {63 {,} 456 \ mathrm {\ frac {g} {mol}} \ cdot 4} {6 {,} 022140 \ cdot 10 ^ {23} {\ frac {1} {\ mathrm {mol}}} \ cdot (3 {,} 62 \ cdot 10 ^ {- 10} \, \ mathrm {m}) ^ {3}}} = 8897574 {,} 9 \, \ mathrm {\ гидроразрыв {g} {m ^ {3}}} = 8 {,} 9 \, \ mathrm {\ frac {g} {cm ^ {3}}}}$

веб ссылки

• Расчеты плотности упаковки , Fachinformationszentrum Chemie Berlin (ChemgaPedia)
• Расчет плотности упаковки различных кубических кристаллических структур