Набор мощности

Степень { x , y , z }, представленная в виде диаграммы Хассе .

В теории множеств набор мощности - это набор всех подмножеств данного базового набора .

Мощность набора обычно обозначается как . Природу набора власти уже исследовал Эрнст Цермело . С другой стороны, компактный термин «степенной набор», который полезен в связи с арифметической степенью, также не использовался Герхардом Хессенбергом в его учебнике 1906 года; он использует для этого фразу «множество подмножеств». ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$

определение

Набор мощности в наборе представляет собой новый набор , который состоит из всех подмножеств из . Следовательно, набор мощности - это система наборов , то есть набор, элементы которого сами являются наборами. В обозначениях формул определение мощности: ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X): = \ {U \ mid U \ substeq X \}}$.

Следует отметить, что пустой набор и набор также являются подмножествами , то есть элементами набора мощности . Другие общие обозначения для набора мощности - и . ${\ displaystyle \ emptyset}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} (X), \ 2 ^ {X}, \ \ mathrm {Pot} (X), \ \ Pi (X), \ \ wp (X)}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {P}} (X)}$

Примеры

• ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (\ emptyset) = \ {\ emptyset \}}$
• ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (\ {а \}) = {\ bigl \ {} \ emptyset, \ {а \} {\ bigr \}}}$
• ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (\ {a, b \}) = {\ bigl \ {} \ emptyset, \ {a \}, \ {b \}, \ {a, b \} {\ bigr \}}}$
• ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (\ {a, b, c \}) = {\ bigl \ {} \ emptyset, \ {a \}, \ {b \}, \ {c \}, \ {a, b \}, \ {a, c \}, \ {b, c \}, \ {a, b, c \} {\ bigr \}}}$
• ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (\ emptyset)) = {\ bigl \ {} \ emptyset, \ {\ emptyset \} {\ bigr \}}}$
• ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (\ {a \})) = {\ bigl \ {} \ emptyset, \ {\ emptyset \}, \ {\ {a \} \}, \ {\ emptyset, \ {а \} \} {\ bigr \}}}$

Конструкции на силовой установке

Частичный заказ

Отношение включения - это частичный порядок на (а не полный порядок , если не менее двух элементов). Наименьший элемент порядка является , то наибольший элемент находится . ${\ displaystyle \ substeq}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ emptyset}$${\ displaystyle X}$

Полная ассоциация

Частичный порядок - это полная ассоциация . Это означает , что для каждого подмножества существует нижняя грань и грань (в ). Конкретно, для набора точная нижняя грань равна пересечению элементов , а верхняя грань равна объединению элементов , таким образом ${\ Displaystyle ({\ mathcal {P}} (X), \ substeq)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$${\ Displaystyle Т \ substeq {\ mathcal {P}} (X)}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

${\ Displaystyle \ Inf (T) = \ bigcap _ {M \ in T} M \ quad {\ text {and}} \ quad \ mathrm {sup} (T) = \ bigcup _ {M \ in T} M. }$

Наибольший и наименьший элементы получаются как нижняя грань или верхняя грань пустого множества, т. Е.

${\ Displaystyle \ Inf (\ emptyset) = X \ quad {\ text {и}} \ quad \ sup (\ emptyset) = \ emptyset.}$

Логическая ассоциация

Если вы также может использовать комплемент карту, то булева решетка , т.е. дистрибутивные и взаимодополняющие решетки. ${\ displaystyle {} ^ {\ mathrm {c}}: {\ mathcal {P}} (X) \ rightarrow {\ mathcal {P}} (X)}$${\ displaystyle ({\ mathcal {P}} (X), \ cap, \ cup, ^ {\ mathrm {c}}, \ emptyset, X)}$

Коммутативное кольцо

Каждая булева решетка явно индуцирует коммутативную кольцевую структуру, так называемое булево кольцо . Здесь сложение колец задается симметричной разностью величин, умножение колец - средним. Пустое множество нейтрально для сложения и нейтрально для умножения. ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$${\ displaystyle X}$

Характерные функции

Каждому подмножеству может быть присвоена характеристическая функция , где применяется ${\ Displaystyle Т \ Subteq X}$ ${\ displaystyle \ chi _ {T} \ двоеточие X \ to \ {0,1 \}}$

${\ displaystyle \ chi _ {T} (x): = {\ begin {cases} 1, & x \ in T \\ 0, & x \ not \ in T \ end {cases}}}$

Это присвоение является взаимно однозначным соответствием между и (с использованием обозначения для набора всех функций от до ). Это также мотивирует обозначения , потому что в модели фон Неймана натуральные числа есть (в общем :) . ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$${\ displaystyle \ {0,1 \} ^ {X}}$${\ displaystyle B ^ {A}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$${\ displaystyle 2 ^ {X}}$${\ displaystyle 2 = \ {0,1 \}}$${\ Displaystyle п = \ {0, ..., п-1 \}}$

Соответствие изначально является чистой биекцией, но может быть легко продемонстрировано как изоморфизм по отношению к каждой из структур, рассмотренных выше на множестве степеней. ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X) \ cong \ {0.1 \} ^ {X}}$

Размер набора мощности (мощность)

${\ displaystyle | M |}$обозначает силу толпы . ${\ displaystyle M}$

• Для конечных множеств применяется: .${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle | {\ mathcal {P}} (X) | = 2 ^ {| X |}}$
• Всегда применима теорема Кантора : .${\ displaystyle | X | <| {\ mathcal {P}} (X) |}$

Переход на набор мощности всегда дает большую мощность. Аналогично конечные множества, один также пишет для мощности множества мощности бесконечного множества . Обобщенная гипотеза континуума (ОСИ) говорит , что для бесконечных множеств , что следующая толщина больше является:${\ displaystyle 2 ^ {| X |}}$${\ Displaystyle | {\ mathcal {P}} (X) | = \ left | 2 ^ {X} \ right |}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle | {\ mathcal {P}} (X) |}$${\ displaystyle | X |}$${\ displaystyle \ mathrm {GCH} \ подразумевает (| X | <| Y | \ подразумевает | {\ mathcal {P}} (X) | \ leq | Y |).}$

Ограничение меньшими подмножествами

С набором тех подмножеств, в которых меньше элементов. Например : Сам набор отсутствует, потому что в нем не меньше элементов. ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} _ {\ kappa} (X) = \ {U \ substeq X: | U | <\ kappa \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ kappa}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {3} (\ {a, b, c \}) = \ {\ emptyset, \ {a \}, \ {b \}, \ {c \}, \ {a, b \}, \ {a, c \}, \ {b, c \} \}}$${\ Displaystyle \ {а, б, в \}}$${\ displaystyle 3}$

Класс эффективности

Концепция набора мощности может быть расширена на классы , при этом следует отметить, что реальные классы не могут быть слева от отношения принадлежности . Мощность (класс мощности) класса K задается классом всех множеств , все элементы которых содержатся в K. Элементы степенного класса K, следовательно, являются подмножествами K. Мощность реального класса K снова является реальным классом, потому что он содержит единицы {x} для всех элементов x из K. Он всегда содержит пустое множество ∅, но не сам реальный класс K. ${\ displaystyle \ in}$

Другие

• Существование набора мощности для каждого набора требуется в теории множеств Цермело-Френкеля как отдельная аксиома, а именно аксиома набора мощности .
• Система множеств , такие как топология или а-алгебра над базовым набором является подмножеством множества мощности , т.е. элемент .${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (X))}$

литература

• Оливер Дайзер: Введение в теорию множеств. Теория множеств Георга Кантора и ее аксиоматизация Эрнстом Цермело. 2-е, улучшенное и дополненное издание. Springer, Берлин а. а. 2004 г., ISBN 3-540-20401-6 .

веб ссылки

Викисловарь: power set  - объяснение значений, происхождение слов, синонимы, переводы