процентов

Вспомогательная единица измерения
Название объекта	процентов
Символ единицы	${\ displaystyle \%}$
Обозначение формулы	${\ displaystyle {\ mathit {p}}}$
Тип	частное
определение	${\ Displaystyle \ mathrm {1 \, \% = 1 \ cdot 10 ^ {- 2} = 0 {,} 01}}$
Названный в честь	Итальянский per cento , "за сотню, из ста".
См. Также: промилле , ppm , ppb

Цифры в процентах (от латинского - итальянский per cento «от сотни, сотые») предназначены для иллюстрации пропорций и их сопоставимости путем соотнесения размеров с единым базовым значением (сотнями). Процента, таким образом , также используется в качестве вспомогательного блока из измерения для пропорций . В более старых юридических текстах, в частности, используется выражение «из сотни» (сокращенно: «vH» или «v. H.»); Однако DIN рекомендует избегать этого выражения.

Проценты обозначаются символом процента  % (например, 63,7%). Согласно DIN 5008 между числом и знаком процента ставится пробел . Затем процентное вычисление может быть выполнено как дробное (19% = 19/100) или в десятичной системе (19% = 0,19).

определение

Знак процента может быть математически выражен как цифра. Постфикс - оператор, определяющий положение перед Prozentfuß (также известный как процент), делит на 100 и, таким образом, присваивает ему соответствующий процент. Она определяется линейной функцией , которая отображает на действительные числа в действительные числа : ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} \% \ двоеточие & \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} \\ & p \ mapsto {\ frac {p} {100}} \ end {matrix}}}$

Примеры:

Один процент площади, состоящей из блоков 10 × 10 одинакового размера, соответствует ровно одному из этих блоков.

• Один процент - сотая:
  ${\ displaystyle 1 \, \% = {\ frac {1} {100}} = 0 {,} 01}$
• Сто процентов - это целое:
  ${\ displaystyle 100 \, \% = {\ frac {100} {100}} = 1}$
• 75 процентов - это три четверти:
  ${\ displaystyle 75 \, \% = {\ frac {75} {100}} = {\ frac {3} {4}} = 0 {,} 75}$
• 50 процентов составляют половину:
  ${\ displaystyle 50 \, \% = {\ frac {50} {100}} = {\ frac {1} {2}} = 0 {,} 5}$

Условия

Проценты описывают пропорции и относятся к базовому значению . Базовое значение - это выходная переменная, к которой относится процент . Фут в процентах указывает, сколько сотых от базового значения составляет процент, и, таким образом, обозначает соотношение размеров относительно базового значения. Абсолютное определение этого количества называется «процентным значением» . Процентное значение имеет ту же единицу, что и базовое значение.${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p \, \%}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle W}$

Применяется основная формула

${\ displaystyle {\ frac {процентное значение} {базовое значение}} = {\ frac {процент} {100 \%}}}$, так ${\ displaystyle {\ frac {W} {G}} = {\ frac {p} {100}}}$

(1)

В результате получается:

${\ Displaystyle W = {\ гидроразрыва {G \ cdot p} {100}} \ qquad}$	(2)
${\ Displaystyle р = {\ гидроразрыва {W \ cdot 100} {G}} \ qquad}$	(3)
${\ Displaystyle G = {\ гидроразрыва {W \ cdot 100} {p}} \ qquad}$	(4)
${\ displaystyle {\ frac {G \ cdot p} {W}} = 100 \ qquad}$	(5; тестовая формула)

Пример:

${\ displaystyle \ underbrace {7 {.} 350 \, \ overbrace {\ text {members}} ^ {\ text {unit}}} _ {\ text {percent}} {\ text {are}} \ underbrace {\ overbrace {\ underbrace {49} _ {\ text {percent feet}} \, {\ text {percent}}} ^ {{\ frac {49} {100}} = 0 {,} 49}} _ {\ text {Percentage}} {\ text {}} \ underbrace {\ text {von}} _ {\ text {times}} {\ text {}} \ underbrace {15 {.} 000 \, \ overbrace {\ text {жителей }} ^ {\ text {unit}}} _ {\ text {базовое значение}}.}$

Термин «процент» используется в литературе по-разному. Некоторые авторы используют его для выражения , другие - для выражения . Для лучшего различия некоторые авторы используют термин процент футов для термина и процент для термина .${\ displaystyle p \, \%}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p \, \%}$

понимание

Для перевода текстов в расчетах требуется точное понимание.

Проценты выполняют ту же функцию, что и формулировки «половина» или «четверть». «Половина» означает то же, что и «50 процентов», а «четверть» означает то же, что и «25 процентов». Проценты также могут выражать более тонкие пропорции, чем выражения, обычно используемые в повседневном языке , например «23 процента», что соответствует 23 сотым базового значения.

Так же, как «половина» или «четверть», процент выражает отношение к базовому значению : половина какого базового значения?  =  50 процентов от какой базовой стоимости?

Увеличение и уменьшение

Здесь необходимо проводить различие между терминами «вокруг» и «на»:

Указание на то, что размер увеличился на p процентов, соответствует умножению на коэффициент, который, в свою очередь, может быть выражен в процентах: ${\ Displaystyle St = 1 + {\ tfrac {p} {100}} \ ,,}$

${\ displaystyle 1 + {\ tfrac {p} {100}} = 100 \% + p \% \,.}$

Увеличение на пять процентов, например, означает умножение на коэффициент. Знак того, что переменная увеличилась до р процентов, с другой стороны, относится непосредственно к фактору, при , т.е. увеличение на${\ displaystyle 1 {,} 05 \,.}$${\ displaystyle 1 {,} 05}$ ${\ displaystyle 105 \% \,.}$

То же самое и с редукцией. Уменьшение на p процентов соответствует умножению на коэффициент: другими словами, выражается в процентах. ${\ Displaystyle F = 1 - {\ tfrac {p} {100}} \ ,,}$

${\ displaystyle 1 + {\ tfrac {p} {100}} = 100 \% - p \% \,.}$

Снижение до пяти процентов - это умножение на коэффициент , то есть уменьшение на 95 процентов. ${\ displaystyle 0 {,} 95 \,.}$

Если вы сравните процентные значения, вы можете выразить это в процентных пунктах или в процентах от начального процента . Пример: результат выборов партии увеличивается с 4% до 5%. Партия улучшается на 1 процентный пункт или 25% (до 125% от начального процента). Процентные точки - это простая разница между двумя процентами. Однако, если разница выражена в процентах (от начального процента), тогда начальный процент должен быть установлен на 100%. В приведенном выше примере 5% равно 125% от 4%.

Изменение базовых значений последовательностей

Особая осторожность требуется при объединении нескольких увеличений или уменьшений. Если выходное значение последовательно увеличивается на тот же процент (не равное нулю), а затем уменьшается, выходное значение ни в коем случае не является снова результатом , а является более низким значением, потому что вторая операция относится к результату первой и, следовательно, к другое базовое значение. Это становится понятным при расчете с использованием коэффициентов: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle E}$

${\ displaystyle E = A \ cdot \ left (1 + {\ tfrac {p} {100}} \ right) \ cdot \ left (1 - {\ tfrac {p} {100}} \ right) = A \ cdot \ left (1 - {\ tfrac {p ^ {2}} {10000}} \ right)}$

Пример: «Если 100 евро сначала увеличить на 10%, а затем уменьшить на 10%, результат будет следующим:

${\ displaystyle E = 100 \ cdot \ left (1 + {\ tfrac {10} {100}} \ right) \ cdot \ left (1 - {\ tfrac {10} {100}} \ right) = 100 \ cdot 1 {,} 1 \ cdot 0 {,} 9 = 100 \ cdot 0 {,} 99 = 99}$

Так что всего 99 евро. Из-за коммутативности умножения это также относится к обратному порядку.

Варианты процентного расчета

Расчет процентов осуществляется и преподается по-разному в зависимости от требований и требований. Таким образом можно получить обычные формулы с пропорциями, что избавляет их от необходимости запоминать. В так называемой ментальной арифметике вопрос-посредник обычно состоит в том, что такое 100% или 1% (соответствует).

Пример:

42 кг - это 7%. Сколько (соответствует) 100%?
Даны W (процент) и p  % (процент).
Ищем G (базовое значение).

С общей формулой	Со своим собственным уравнением связи ( пропорция )	С помощью «Что такое 1%?» ( Правило трех )${\ displaystyle {\ frac {p \, \%} {42 \, {\ text {kg}}}} = {\ frac {100 \, \%} {7 \, \%}}}$
${\ displaystyle {\ frac {p \, \%} {100 \, \%}} = {\ frac {W} {G}}}$ многократное перемещение приводит к: ${\ Displaystyle G = {\ гидроразрыва {W} {p \, \%}} \ cdot {100 \, \%}}$ ${\ displaystyle G = {\ frac {42 \, {\ text {kg}}} {7 \, \%}} \ cdot {100 \, \%} = 600 \, {\ text {kg}}}$	${\ displaystyle {\ frac {G} {42 \, {\ text {kg}}}} = {\ frac {100 \, \%} {7 \, \%}}}$ простая репозиция приводит к: ${\ displaystyle G = {\ frac {42 \, {\ text {kg}}} {7 \, \%}} \ cdot {100 \, \%} = 600 \, {\ text {kg}}}$	${\ displaystyle {\ frac {42 \, {\ text {kg}}: {\ color {red} 7}} {7 \, \%: {\ color {red} 7}}} = {\ frac {6 \, {\ text {kg}}} {1 \, \%}} = {\ frac {6 \, {\ text {kg}} \ cdot {\ color {red} 100}} {1 \, \% \ cdot {\ color {красный} 100}}}}$ без изменения последнего счетчика дает: ${\ displaystyle G = 6 \, {\ text {kg}} \ cdot 100 = 600 \, {\ text {kg}}}$
Преимущество: • Единая формула для всех задач.	Преимущества: • Без формулы • Легко изменить, если требуемая переменная - здесь G  - находится в счетчике вверху слева.	Преимущества: • Без формулы • Простое правило трех - здесь в виде цепочки уравнений • Использование в ментальной арифметике

Примеры

Расчет пропорции

Мы используем введенные выше сокращения:

• Базовое значение G : выходная переменная (соответствует 100%).
• Процент W : пропорциональное значение, полученное из базового значения в процентах.
• Процент p% : доля W в G , выраженная в процентах.
• Процент p : число перед знаком процента.

Основная формула для процента как отношения процентного значения к базовому значению, таким образом:

${\ displaystyle p \, \% = {\ frac {W} {G}}}$.

Для процентного фута вместо процента формула принимает следующий вид:

${\ displaystyle p = 100 \ cdot {\ frac {W} {G}}}$.

В зависимости от предполагаемого использования базовая формула также может быть разрешена в соответствии с базовым значением G или процентным значением W :

${\ Displaystyle G = {\ гидроразрыва {W} {p \, \%}}}$

и

${\ Displaystyle W = {p \, \%} \ cdot G}$.

пример

Если 42 кг составляют ровно 7%, какой вес являются полными 100%?

Здесь известны следующие размеры:

• Процент W : 42 кг
• Процент p% : 7%.

Основное значение ищется G .

Решение получается из основной процентной формулы, разрешенной согласно G как

${\ displaystyle G = {\ frac {W} {p \, \%}} = {\ frac {42 \, {\ text {kg}}} {7 \, \%}} = {\ frac {42} {\ frac {7} {100}}} \, {\ text {kg}} = {\ frac {42 \ cdot 100} {7}} \, {\ text {kg}} = 600 \, {\ text {кг}}}$.

налог на добавленную стоимость

Типичный пример - расчет налога с продаж . Это определяется как стоимость продукта ( чистая сумма ), умноженная на ставку налога с продаж , которая дается в процентах. Таким образом, основным значением этого процента является чистая сумма. Сумма брутто - это сумма чистой суммы и налога с продаж:

Налог с продаж = чистая сумма · ставка налога с продаж

Сумма брутто = сумма нетто + налог с продаж

Если сумма нетто составляет 100 евро, а ставка налога с продаж составляет 19%, налог с продаж рассчитывается следующим образом:

100 евро 19% = 100 евро 0,19 = 19 евро

Соответственно, сумма брутто рассчитывается следующим образом:

100 евро + 19 евро = 119 евро

Подставляя его в формулу, получаем:

Сумма брутто = сумма нетто + налог с продаж

Сумма брутто = сумма нетто + (сумма нетто · ставка налога с продаж)

Сумма брутто = чистая сумма (1 + ставка налога с продаж)

В приведенном примере со ставкой налога с продаж 19% вы получите

Валовая сумма = чистая сумма (1 + 19%) = чистая сумма (1 + 0,19) = чистая сумма 1,19

Изменив эту формулу, можно легко рассчитать чистую сумму из общей суммы.

${\ displaystyle {\ text {чистая сумма}} = {\ frac {\ text {валовая сумма}} {1 + {\ text {ставка налога с продаж}}}}}$.

Налог с продаж, включенный в общую сумму, составляет

${\ displaystyle {{\ text {налог с продаж}} = {\ text {валовая сумма}} - {\ text {чистая сумма}} = {\ text {валовая сумма}} - {\ frac {\ text {валовая сумма} } {1+ {\ text {Ставка НДС}}}}}}$.

Использование языка

В просторечии, при указании процентов математическое определение часто игнорируется, что является причиной неточностей и ошибок. Примеры:

• «Сумма счета включает налог с продаж 19%»

означает, что ставка налога с продаж составляет 19%, а сумма счета - это сумма брутто, то есть сумма нетто плюс налог с продаж. Следовательно, он должен читаться правильно: «Сумма счета включает налог с продаж по ставке налога с продаж 19%».

• «Налог с продаж составляет 19%»

Неправильно, это фактически должно означать « ставка налога с продаж составляет 19%».

• «19% от суммы счета - налог с продаж»

Неправильно, потому что сумма счета - это чистая стоимость плюс налог с продаж. Например, 19% от суммы в 119 евро соответствует 22,61 евро. Фактически, включенный налог с продаж составляет 19 евро и составляет около 15,97% от суммы счета.

Поскольку 19% и 15,97% находятся недалеко друг от друга, неправильная формулировка может привести к незаметным ошибкам. Поэтому следующие примеры:

• «Мои карманные деньги увеличились на 50%».

Если карманные деньги после увеличения составляют в общей сложности 15 евро, 50% здесь соответствует 5 евро. «50%» означает базовую стоимость 10 евро. Это сумма карманных денег до повышения.

• «50% моих карманных денег - это стипендия от бабушки».

Если сумма карманных денег составляет 15 евро, 50% здесь соответствуют 7,50 евро. «50%» относится к базовой стоимости 15 евро. Хотя процентное соотношение «50%» одинаково в обоих заявлениях, процентные значения «5 евро» и «7,50 евро» различаются, поскольку заявления относятся к разным базовым значениям.

Наклон в процентах

10% уклон - это разница высот 10 м на горизонтальном расстоянии 100 м, что соответствует уклону примерно 5,7 °.

В технологиях (например, в трубопроводах) градиент (или градиент) также указывается в процентах. Этот процент выражает соотношение между разницей в высоте и горизонтальным расстоянием. Таким образом, уклон 100% означает угол наклона 45 °. Уклон в 10% означает, что перепад высот в 10 м преодолевается на 100 м по горизонтали.

В дорожном движении значение, указанное на дорожном знаке, указывает не средний уклон всего маршрута, а, скорее, максимальный уклон, который действует на колесную базу автомобиля, проходящего по маршруту.

Математически вы можете преобразовать наклон в процентах с помощью функции арктангенса в угол (в зависимости от настройки DRG карманного калькулятора в градусах , радах или гонах ):

${\ displaystyle \ alpha = \ arctan \ left ({\ frac {p} {100}} \ right)}$

В следующей таблице приведены некоторые типичные значения для железнодорожных линий (диапазон около 1%), горных дорог (диапазон от 10% до 30%), горнолыжных склонов (диапазон до 100%) и некоторые экстремальные значения для иллюстрации.

Типичные склоны

подача ${\ displaystyle p}$ Угол (прибл.) ${\ displaystyle \ alpha}$ 0,0% 0,0 ° 0,1% 0,057 ° 0,3% 0,17 ° 1% 0,57 ° 3% 1,72 ° 8% 4,57 ° 10% 5,71 °

подача ${\ displaystyle p}$ Угол (прибл.) ${\ displaystyle \ alpha}$ 12% 6,84 ° 15% 8,53 ° 20% 11.31 ° 25% 14,04 ° 30% 16,70 ° 40% 21,80 ° 50% 26,57 °

подача ${\ displaystyle p}$ Угол (прибл.) ${\ displaystyle \ alpha}$ 70% 35,00 ° 100% 45,00 ° 200% 63,43 ° 500% 78,69 ° 1000% 84,29 ° 10000% 89,43 ° ∞ (бесконечно)% 90,00 °

Смеси веществ

Следует также отметить, что процентное содержание вещества может быть выражено как соотношение граммов на 100 граммов, при этом необходимо указать и дифференцировать, подразумеваются ли (как и в случае данных о растворимости ) граммы вещества на 100 г растворителя. или граммов вещества на 100 граммов готового раствора (в смысле спецификации концентрации ) (подробнее см. информацию о содержании ).

В случае процентного содержания смесей веществ необходимо указать, относится ли это к массовой доле или к объемной доле . Если вещества имеют разную плотность , эти два утверждения различны. Например, содержание алкоголя в напитках указывается в объемных процентах ( % об. ).

Поскольку спирт имеет более низкую плотность (около 0,8 г / см3), чем вода (около 1 г / см3), доля спирта в процентах по массе ниже, чем в процентах по объему. Например, для напитка с содержанием алкоголя 50% по объему массовая доля алкоголя составляет всего 44,4% (по массе).

Ввод на калькуляторе

Карманные калькуляторы разных конструкций и производителей по- разному трактуют ввод с клавиатуры процентного расчета . Это может привести к путанице или к тому, что пользователи карманных калькуляторов обходятся без процентного ключа для вычисления процентов и вместо этого используют правило трех или приведенную выше формулу.

этимология

Термин « процент» происходит от купеческого языка и впервые появляется на немецком языке в 15 веке в коммерческих документах из южной Германии. Там, однако, нынешнее слово еще не употребляется, а только per cento ( немецкий на сотню), взятый из итальянского . Итальянское cento, в свою очередь, происходит от латинского centum (немецкая сотня ). В XVI веке в высокогерманоязычном регионе преобладал переход на проценты, которые затем стали сегодняшними процентами, а ныне устаревшей релатинизированной формой процентов . В Австрии, однако, оригинальная итальянская форма была сохранена и стала текущим (но теперь также устаревшим) процентом .

Обозначение

• Типографически правильное написание - это пробел между числом и знаком процента. Здесь в предложении компьютера следует использовать неразрывный пробел, чтобы предотвратить разрыв между числом и знаком процента.
  • Это правило применяется в дополнение к немецкому на многих других языках, таких как французский, норвежский, русский и шведский. С другой стороны, в английском языке между числом и знаком процента нет пробела.
• При использовании с суффиксом они пишутся вместе. Пример: «15% градиент». Однако более элегантно сформулировать наполовину или полностью: «15-процентный градиент» или «15-процентный градиент».
• Единственное / множественное число: 1% записывается в единственном числе, предпочтительно с буквой «a» вместо числа: «Это только один процент всех голосов». Другие значения во множественном числе: «Это 7,5% голосов» или «Это только три процента голосов».

Больше терминов

• Процентные ранги или процентили обозначают интервалы, которые разбивают статистическое распределение на 100 пропорционально равных частей.
• В качестве справочного значения в промилле используется 1000, а не 100.
• Сотни процента называют в качестве базисных пунктов для процентных ставок.
• Термин « процент торможения» используется на железных дорогах для обозначения тормозной способности рельсовых транспортных средств.

веб ссылки

Викисловарь: проценты  - объяснение значений, происхождение слов, синонимы, переводы

Викиучебники: математика для школы${\ displaystyle {\ color {BlueViolet} {\ begin {smallmatrix} {\ mathbf {MATHE} \ mu \ alpha T \ mathbb {R} ix} \ end {smallmatrix}}}}$  - расчет в процентах

• Математика сбора формул: расчет процентов - четкое представление наиболее важных формул для расчета процентов
• Расчет процентов по формулам . В: Серло .

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Большой карманный словарь Мейера в 24 томах . BI-Taschenbuchverlag, 1992, Том 17, с. 308.
2. ↑ Встречаемость X процентов . Общество немецкого языка; Проверено 21 ноября 2012 года.
3. ↑ Пункт 3.1.5, таблица 2 в стандарте DIN 1333 - издание от сентября 1992 г.
4. ↑ ^{a b} Юрген Титце: Введение в финансовую математику . 10-е издание. Vieweg + Teubner Verlag 2010, ISBN 978-3-8348-9643-8 , стр. 1-2 ( отрывок (Google) ).
5. ^ Маленькая энциклопедия математики Мейера . 14., переделка. и эксп. Версия. Под редакцией Зигфрида Готвальда… Meyers Lexikonverlag, Mannheim 1995, ISBN 3-411-07771-9 , стр. 149.
6. ^ Фриц Рейнхардт: dtv-Atlas Schulmathematik . Deutscher Taschenbuch Verlag, 2002, ISBN 3-423-03099-2 , стр. 90–91.
7. ↑ ^{а б в} Этимология. Словарь происхождения немецкого языка . Дуден Том 7, Bibliographisches Institut Mannheim 1963, ISBN 3-411-00907-1 , стр. 535.
8. ↑ duden.de
9. ↑ Борис Парашкёв: Слова и имена одного происхождения и структуры: Лексика этимологических дубликатов на немецком языке . Walter de Gruyter 2004, ISBN 978-3-11-017470-0 , p. 54 ( отрывок из результатов поиска книг Google).
10. ↑ duden.de, дата обращения 5 декабря 2009 г.