Теорема Милнора-Тома

В математической ветви алгебраической геометрии , теорема Милнором-Тома дает в оценку для числа связных компонент из множества нулей в виде полинома , а в более общем смысле для суммы чисел Бетти множества нулей.

Наборы нулей многочленов

Пусть это будет многочлен в переменных степени . Теорема Милнора-Тома дает оценки топологии корневого множества ${\ Displaystyle P \ in \ mathbb {R} \ left [x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ right]}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle A = \ left \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: P (x) = 0 \ right \} \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$,

точнее для суммы чисел Бетти . ${\ displaystyle b_ {i} (А)}$

Поскольку число связных компонент из я 0 равно число Бетти есть и все числа Бетти не отрицательно , очевидно , относится ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle b_ {0} (А)}$

${\ Displaystyle \ sharp \ left \ {{\ text {Связанные компоненты}} A \ right \} = b_ {0} (A) \ leq b_ {0} (A) + b_ {1} (A) + \ ldots + b_ {n} (A)}$

и, в частности, оценка числа компонент связности получается из теоремы Милнора-Тома.

Неравенства

Джон Милнор в своей статье 1964 года в более общем плане рассмотрел алгебраические многообразия, определяемые многочленами , каждый из степеней, и доказал, что сумма их чисел Бетти является неравенством ${\ Displaystyle V \ подмножество \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle f_ {i} = 0, i = 1, \ ldots, p,}$${\ displaystyle \ leq k}$

${\ Displaystyle b_ {0} (V) + b_ {1} (V) + \ ldots + b_ {n} (V) \ leq k (2k-1) ^ {n-1}}$

Выполняет. Для случая, определяемого полиномиальными неравенствами , он доказал ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle f_ {i} \ geq 0, i = 1, \ ldots, p}$

${\ displaystyle b_ {0} (V) + b_ {1} (V) + \ ldots + b_ {n} (V) \ leq {\ frac {1} {2}} (2 + d) (1 + d ) ^ {n-1}}$

с . Он также доказал неравенства для комплексных алгебраических многообразий и для проективных многообразий . ${\ displaystyle d = deg (f_ {1}) + \ ldots + deg (f_ {p})}$${\ Displaystyle V \ подмножество \ mathbb {C} ^ {n}}$

В своей работе, опубликованной в 1965 году, но уже написанной ранее, Рене Том доказал оценку множества нулей многочлена степени . Оба доказательства Милнора и Тома использовали теорию Морса . ${\ Displaystyle А \ подмножество \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle b_ {0} (A) + b_ {1} (A) + \ ldots + b_ {n} (A) \ leq (2k) ^ {n}}$

В 1996 году Нолан Уоллах дал улучшенную оценку для случая невырожденных гиперповерхностей: если многочлен имеет степень и в обыкновенное значение из , то неравенство имеет место для суммы чисел Бетти${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle А = е ^ {- 1} (0)}$

${\ displaystyle b_ {0} (A) + b_ {1} (A) + \ ldots + b_ {n} (A) \ leq k ^ {n}}$.

литература

• Том: Sur l'homologie des varétés algébriques réelles. Дифференциальная и комбинаторная топология (Симпозиум в честь Марстона Морса) стр. 255–265 Princeton Univ. Press, Princeton, NJ (1965) Интернет
• Милнор: О числах Бетти реальных разновидностей. Proc. Амер. Math. Soc. 15: 275-280 (1964), JSTOR 2034050 .
• Валлах: Об одной теореме Милнора и Тома в: Topics in Geometry (Simon Gindikin, editor), 331-348, Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., 20, Birkhauser Boston, Boston, MA, 1996. Online MR1390322
• Яцек Бочнак, Мишель Кост, Мари-Франсуаза Руа : Реальная алгебраическая геометрия, Springer 1998, глава 11.5 (предложение на стр. 284)