Спектральная плотность мощности

Спектральная плотность мощности излучения или сигнал определяется как мощность , которая выделяется в определенной ширины полосы частот или длин волн , деленной на этой полосе пропускания, причем ширина полосы выбирают так, чтобы всегда быть более узким, т.е. ничтожно мала. Таким образом, спектральная плотность мощности является математической функцией частоты или длины волны. В частотном представлении он имеет размерность мощность · время (например, в единицах ватт / герц или дБм / Гц). На индикаторе длины волны он имеет размерность мощность / длина . Интеграл от спектральной плотности мощности по всем частотам или длинам волн дает суммарную мощность излучения или сигнал.

Спектр плотности мощности сигнала

Спектральная плотность мощности часто упоминается просто как спектр , в представлении над частотной осью также как спектр плотности мощности  ( LDS ) или спектр мощности автомобиля (на английском языке : Power Spectral Density  ( PSD ), также спектр активной мощности ).

Имеющиеся в продаже анализаторы спектра электрических сигналов не демонстрируют точно математически определенный спектр плотности мощности, а скорее представляют собой усредненный спектр плотности мощности (выше предварительно выбранной ширины полосы частот англ . : Resolution bandwidth  ( RBW )).

Общие и определение

Поскольку в общем случае для стационарных процессов в классическом смысле не существует ни энергии, ни преобразования Фурье , имеет смысл рассматривать ограниченные по времени компоненты для и в противном случае. ${\ displaystyle f (t)}$${\ Displaystyle \ | е \ | _ {2} ^ {2}}$${\ Displaystyle F {\ big (} е {\ big)} (\ omega)}$${\ displaystyle f_ {T} (t) = f (t)}$${\ Displaystyle | т | \ leq T}$${\ displaystyle 0}$

Согласно формуле Планшереля применимо следующее:

${\ displaystyle {\ frac {1} {2T}} \ int \ limits _ {\ mathbb {R}} | f_ {T} (t) | ^ {2} \ mathrm {d} t = {\ frac {1 } {2T}} \ int \ limits _ {\ mathbb {R}} | F (f_ {T}) (\ omega) | ^ {2} \ mathrm {d} \ omega}$

Если средняя мощность сигнала

${\ displaystyle r_ {XX} (0): = \ lim \ limits _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {2T}} \ int \ limits _ {- T} ^ {T} | f ( t) | ^ {2} \ mathrm {d} t}$

существует правая часть приведенной выше формулы, и в качестве спектрального описания мощности можно определить спектральную плотность мощности (если существует предельное значение ) как

${\ Displaystyle S_ {XX} (\ omega): = \ lim \ limits _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {2T}} | F (f_ {T}) (\ omega) | ^ { 2}}$

Для каждого конечного размера, размер называется в периодограммах из . Он представляет собой оценочное значение спектральной плотности мощности, ожидаемое значение которой не соответствует (не соответствует ожиданиям ) и дисперсия которого не исчезает даже для произвольно больших ( несовместимых ).${\ displaystyle T}$${\ displaystyle {\ text {Per}} _ {T} (\ omega): = {\ frac {1} {2T}} | F (f_ {T}) (\ omega) | ^ {2}}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle S_ {XX} (\ omega)}$${\ displaystyle T}$

Свойства и расчет

Согласно теореме Винера-Чинчина , спектральная плотность мощности часто задается как преобразование Фурье временной автокорреляционной функции сигнала: ${\ Displaystyle r_ {хх} (т)}$

${\ Displaystyle S_ {XX} (\ omega) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \, F (r_ {xx}) (\ omega) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} r_ {xx} (t) e ^ {- i \ omega t} \ mathrm {d} t}$

это

${\ displaystyle r_ {xx} (t) = \ lim _ {T \ to \ infty} {\ frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} f (\ tau) \; { \ overline {f (t + \ tau)}} \ mathrm {d} \ tau}$

автокорреляционная функция временного сигнала . ${\ displaystyle f (t)}$

Для шумовых сигналов, как правило, для процессов, должна приниматься эргодичность , что позволяет определять свойства случайных величин, такие как ожидаемое значение , из функции модели. На практике можно рассматривать только конечное временное окно, поэтому пределы интегрирования должны быть ограничены. Только для стационарного распределения корреляционная функция больше не зависит от времени . ${\ displaystyle t}$

Спектр плотности мощности автомобиля ровный, реальный и положительный. Это означает потерю информации, которая не позволяет отменить эту процедуру ( необратимость ).

Если (шумовой) процесс со спектром плотности мощности передается через линейную, не зависящую от времени систему с передаточной функцией , спектр плотности мощности равен${\ Displaystyle S_ {XX} (\ omega)}$ ${\ Displaystyle H (\ omega)}$

${\ displaystyle S_ {YY} (\ omega) = | H (\ omega) | ^ {2} \ cdot S_ {XX} (\ omega).}$

Передаточная функция включена в формулу в виде квадрата, поскольку спектр является величиной мощности . Это означает, что z. B. P = ток, умноженный на напряжение, и ток и напряжение, умноженные на: Таким образом, * ток * * напряжение = * ток * напряжение. ${\ Displaystyle | ЧАС (\ омега) |}$${\ Displaystyle | ЧАС (\ омега) |}$${\ Displaystyle | ЧАС (\ омега) |}$${\ Displaystyle | ЧАС (\ омега) | ^ {2}}$

Спектр характеристик автомобилей можно представить как односторонний спектр с . Тогда применяется следующее: ${\ displaystyle G_ {XX} (е)}$${\ displaystyle f \ geq 0}$

${\ displaystyle G_ {XX} = S_ {XX} (f) \ quad \ mathrm {f {\ ddot {u}} r} \ quad f = 0}$

а также

${\ displaystyle G_ {XX} = 2S_ {XX} (f) \ quad \ mathrm {f {\ ddot {u}} r} \ quad f> 0 \,.}$

Методы расчета обычно ограничиваются сигналами с ограниченной полосой пропускания (сигналы, LDS которых исчезает для высоких частот), которые допускают дискретное представление ( теорема выборки Найквиста-Шеннона ). Ожидаемые согласованные оценки сигналов с ограниченной полосой частот, основанные на модификации периодограммы, например: Б. метод Уэлча или метод Бартлетта . Оценки, основанные на функции автокорреляции, называются методами коррелограммы , например оценкой Блэкмана-Тьюки .

Приложение и единицы

Знание и анализ спектральной плотности мощности полезного сигнала и шума необходимы для определения отношения сигнал / шум и для оптимизации соответствующих фильтров для подавления шума , например шума изображения . Спектр мощности автомобиля можно использовать для утверждений о частотном составе анализируемых сигналов.

Анализаторы спектра исследуют напряжение сигналов. Для отображения питания требуется спецификация оконечного резистора . Однако с помощью анализаторов спектра спектральная мощность не может быть определена в бесконечно малой полосе частот, а только в частотном интервале конечной длины. Полученное таким образом спектральное представление называется среднеквадратичным спектром (MSS), а его корень - спектром RMS (англ. Root-Mean-Square).

Длина частотного интервала всегда указывается и называется шириной полосы разрешения (англ. Resolution Bandwidth , RBW short или BW) в единицах  Гц . Преобразование в децибелы стандартизировано для данных производительности:

${\ displaystyle {\ text {MSS}} _ {дБ} = 10 \ log _ {10} ({\ text {MSS}})}$,

в то время как преобразование для RMS:

${\ displaystyle {\ text {RMS}} _ {dB} = 20 \ log _ {10} ({\ text {RMS}})}$

Это означает, что два дисплея в децибелах численно идентичны.

Используемые единицы включают использовал:

• дБм
• дБВ
• RMS- [V]
• ПК- [В] (от англ. Пика ).

Информация всегда относится к полосе разрешения, используемой в Герцах. Например, синусоидальный сигнал с профилем напряжения V на согласующем резисторе 50  Ом генерирует эффективное напряжение 30 дБмВт, или 16,9897 дБВ, или 7,0711 В (среднеквадратичное значение), или 10 В (PK) для каждой полосы разрешения. ${\ Displaystyle е (т) = 10 \ грех (\ омега т)}$

Примеры

ЛДС моночастотного сигнала с шумом квантования

• Если корреляционная функция представляет собой дельта-распределение , это называется белым шумом , в данном случае он постоянный.${\ Displaystyle S_ {XX} (\ omega)}$
• Для теплового шума , более точным для мощности шума спектральной плотности, где: N ₀  =  K _В  ·  Т . При 27 ° C это 4 · 10 ⁻²¹  Дж = 4 · 10 ⁻²¹  Вт / Гц = −204 дБВт / Гц = −174 дБм / Гц.
• На рисунке справа показана MSS функции с равномерно распределенным шумовым процессом ( шум квантования ) с частотой дискретизации 44 100 Гц и полосой разрешения BW = 43,1 Гц (в результате 44100 Гц / 1024  точек БПФ ), так как это это, например, с  компакт-диска могло прийти. Пик около –3 дБ представляет синусоидальный сигнал на уровне шума около –128 дБ. Поскольку данные о производительности относятся к полосе пропускания разрешения, можно считать SNR (обратите внимание на логарифмический закон , который преобразует умножение в сложение). Таким образом, отношение сигнал / шум, полученное на картинке, очень близко к теоретически ожидаемому .${\ displaystyle f (t) = \ sin (2 \ pi 3500t) +2 ^ {- 16} R (t)}$${\ Displaystyle | R (T) | \ Leq 1}$${\ displaystyle -3 - (- 128 + 10 \ log _ {10} (22050 / {\ text {BW}})) = 97 {,} 9 \, \ mathrm {дБ}}$${\ displaystyle 10 \ log _ {10} (1 ^ {2} / 2) -10 \ log _ {10} ((2 ^ {- 16}) ^ {2} / 3) = 98 {,} 0905 \ , \ mathrm {дБ}}$

Смотри тоже

• Уравнение Парсеваля
• Теорема Парсеваля
• Плотность спектрального ускорения
• Спектральное представление стационарных случайных процессов.
• Оценка спектральной плотности

литература

• Ханс Дитер Люке: Передача сигналов. Основы цифровых и аналоговых систем связи . Издание 6-е исправленное и дополненное. Springer, Berlin et al. 1995, ISBN 3-540-58753-5 . 

Индивидуальные доказательства

1. ^ Карл-Дирк Каммейер , Кристиан Крошель: Цифровая обработка сигналов. Фильтрация и спектральный анализ. С упражнениями MATLAB. 6-е исправленное и дополненное издание. Teubner, Stuttgart et al.2006 , ISBN 3-8351-0072-6 , гл. 8.3, стр. 315 и далее.
2. ^ Карл-Дирк Каммейер , Кристиан Крошель: Цифровая обработка сигналов. Фильтрация и спектральный анализ. С упражнениями MATLAB. 6-е исправленное и дополненное издание. Teubner, Stuttgart et al.2006 , ISBN 3-8351-0072-6 , гл. 8.4, стр. 326 и далее.