срок

В математике , термин значимого сочетание чисел , переменные , символы для математических соединений и кронштейнов . Отправной точкой являются атомарные термины, которым принадлежат все числа (константы) и переменные. Термины можно рассматривать как синтаксически правильно сформированные слова или группы слов на формальном языке математики.

На практике этот термин часто используется для обозначения отдельных компонентов формулы или более крупного термина. Например, можно говорить о линейном члене и постоянном члене для линейной функции . ${\ displaystyle f (x) = mx + b}$${\ displaystyle mx}$${\ displaystyle b}$

Разговорное объяснение

Термин «термин» в просторечии используется для обозначения всего, что имеет значение. В более узком смысле подразумеваются математические структуры, которые могут быть вычислены в принципе, по крайней мере, если переменным, содержащимся в них, были присвоены значения. Например, это термин, потому что он содержит содержащиеся в нем переменные и значение, поэтому этому термину присваивается значение. Вместо чисел, другие математические объекты также могут прийти во внимание здесь, например , термин , который принимает значение , когда значение истины назначенную для булевых переменных . Однако в обычном случае (однорядная логика) точное математическое определение не ссылается на возможные присвоения значений, как объясняется ниже. ${\ Displaystyle (х + у) ^ {2}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (p_ {1} \ vee \ neg p_ {2}) \ клин p_ {3}}$ ${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, p_ {3}}$

Примерно можно сказать, что член является одной из сторон уравнения или отношения, например Б. неравенство есть. Само уравнение или отношение не является термином, оно состоит из терминов.

Обычно термины могут использоваться для выполнения следующих операций:

• вычислить (для этого вы сначала вычисляете "внутренние" функции, а затем внешние):${\ Displaystyle (2 + 3) ^ {2} = 5 ^ {2} = 25}$
• по определенным правилам расчета трансформируют : применяя распределительный закон и некоторые другие «разрешенные» правила.${\ displaystyle (x + y) ^ {2} = x ^ {2} + 2xy + y ^ {2}}$
• сравнивать друг с другом, если отношения определены для соответствующих типов: ${\ displaystyle 2xy \ leq x ^ {2} + y ^ {2}}$
• вставлять друг в друга (один термин часто используется вместо переменной другого термина). Особой формой подстановки является подстановка , при которой термин с переменными заменяется другим термином с переменными (обычно одной переменной): возникает из путем замены на .${\ Displaystyle (х + у) ^ {2}}$${\ displaystyle z ^ {2}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x + y}$

Часто термины или частичные термины именуются в соответствии с их значением с точки зрения содержания. В термине , описывающем полную энергию материальной точки в физике , первый член называется «термином кинетической энергии », а второй - «термином потенциальной энергии ». Часто для наименования также используются характерные свойства. Это подразумевается под «квадратичным членом» в суб-термине, потому что это суб-термин, который содержит переменную в квадратичной форме. ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} mv ^ {2} + mgh}$${\ displaystyle x ^ {3} + 7x ^ {2} -2x + 1}$${\ displaystyle 7x ^ {2}}$${\ displaystyle x}$

Формальное определение

Точное математическое определение термина, данное в математической логике , называет правила, в соответствии с которыми строятся термины. Термин - это любое выражение, являющееся результатом применения таких правил:

• Каждый переменный символ - это термин.${\ displaystyle v}$
• Каждый постоянный символ - это термин.${\ displaystyle c}$
• Если есть -значное символ функции и термины, то есть термин.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle t_ {1}, \ dotsc, t_ {k}}$${\ displaystyle f (t_ {1}, \ dotsc, t_ {k})}$

Пусть набор всех терминов для данной сигнатуры и набора переменных будет простым для терминов без переменных ( ) . Функциональные символы создают связи различной арности между элементами или , с помощью которых эти наборы символьных строк сами становятся алгебраической структурой , термалгеброй или базовой термгеброй . См. Также элементарный язык: §Термины , логические формулы . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {T}}} _ {{\ boldsymbol {S}}, {\ mathcal {V}}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} = \ emptyset}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {T}}} _ {\ boldsymbol {S}}}$
${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {T}}} _ {{\ boldsymbol {S}}, {\ mathcal {V}}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathcal {T}}} _ {\ boldsymbol {S}}}$

Замечания

• Если вы рассматриваете добавление, отмеченное знаком +, согласно приведенному выше формальному определению это термин, однако это не так. Тем не менее, более удобочитаемая форма предпочтительна; последняя является альтернативным, выгодным обозначением правильного термина . Соответственно, символьная строка - это имя для термина, то есть металингвистическое выражение для термина. Пока ясно, что такие символьные строки могут быть переведены обратно в формально правильное написание в любое время, если захотят, там здесь не было бы трудностей.${\ Displaystyle + (х, у)}$${\ displaystyle x + y}$${\ displaystyle x + y}$${\ Displaystyle + (х, у)}$${\ displaystyle x + y}$
• Некоторые функции (например, степенная функция, умножение с переменными) представлены путем размещения членов относительно друг друга вместо отдельного символа функции (например, или )${\ Displaystyle х ^ {у}}$${\ displaystyle xy}$
• В случае вложенных скобок, [] и {} иногда используются, чтобы было понятнее, что скобки принадлежат друг другу, например Б.${\ Displaystyle [2 (х + Y)] ^ {2}}$
• Есть также обозначения без скобок, такие как польские обозначения , но их обычно не так легко читать. Третья строка определения выше находится в этой нотации (сравните: логика предикатов первого порядка §Term ):

о   Если к символ функции -местной и термины, то есть термин.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle t_ {1}, \ dotsc, t_ {k}}$${\ Displaystyle ft_ {1}, \ dotsc, t_ {k}}$

• Иногда константы относят к функциям с нулевой цифрой, что особенно заметно в обозначениях без скобок.
• Нет никакого упоминания о возможной вставке значений в переменные, как это было указано в приведенном выше описании сленга. «Термин» здесь является чисто синтаксическим термином, потому что он должен соответствовать только определенным правилам структуры. В ретроспективе терминам придается семантическое значение за счет ограничения возможных значений переменных в так называемых моделях . Термины и изначально отличаются как строки символов. Однако, если рассматривать эти члены в модели действительных чисел, становится очевидным, что они всегда принимают одни и те же значения. Равенство членов следует понимать так, что равенство существует для всех . Это может быть неправильно для других моделей, таких как набор - матрицы .${\ Displaystyle (х + у) ^ {2}}$${\ displaystyle x ^ {2} + 2xy + y ^ {2}}$${\ displaystyle (x + y) ^ {2} = x ^ {2} + 2xy + y ^ {2}}$${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 2 {\ times} 2}$
• Приведенное здесь определение не включает термины со связанными переменными, такие как суммы , состоящие из нескольких частей , интегралы или предельные значения . Поскольку связанные переменные также возникают при включении кванторов в выражения (см. Ниже), это дает пример того, как это можно сделать. Как и в случае с выражениями, термы без свободных переменных будут называться закрытыми . Тогда ваше присвоение значения не зависит от присвоения переменной (см. Ниже § Оценка срока ).${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {п} я ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} \ sin (k \ cdot t) dt}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {п \ к \ infty} (2 \ CDOT п + 3) / п}$
• В последнее время все большее значение приобретает древовидное представление терминов. Подробное описание можно найти в Kleine Büning (2015).

пример

${\ displaystyle {\ tfrac {xy} {4}}}$ это термин, потому что

• ${\ displaystyle x}$и являются термами (как переменные),${\ displaystyle y}$
• ${\ displaystyle 4}$ - член (как константа),
• ${\ displaystyle xy}$это термин (" "),${\ displaystyle \ operatorname {multiply} (x, y)}$
• ${\ displaystyle {\ tfrac {xy} {4}}}$- это термин (символ деления - это дробная черта ( ), то же, что и " ")${\ displaystyle -}$${\ displaystyle xy: 4}$${\ displaystyle \ operatorname {div} (\ operatorname {multiply} (x, y), 4)}$

Приложения

Если кто-то формирует термин с переменными, он часто намеревается в приложениях заменить эти переменные определенными значениями, которые поступают из определенного базового набора или набора определений . Для концепции самого термина нет необходимости указывать такой набор в соответствии с приведенным выше формальным определением. Тогда человека больше не интересует абстрактный термин, а функция, определяемая этим термином в определенной модели.

Это практическое правило расчета тормозного пути (тормозной путь плюс расстояние реакции) автомобиля в метрах . Эта строка является термином.Мы намерены заменить скорость автомобиля в км в час, чтобы использовать значение, которое этот термин затем принимает в качестве тормозного пути в метрах. Например, если автомобиль движется со скоростью 160 км / ч, формула дает тормозной путь 304 м. ${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {x} {10}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {x} {10}} \ cdot 3 \ right)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {160} {10}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {160} {10}} \ cdot 3 \ right)}$

Мы используем термин здесь , чтобы определить правила распределения из функции , . ${\ displaystyle f \ двоеточие \ mathbb {R} _ {0} ^ {+} \ to \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$${\ Displaystyle х \ mapsto \ left ({\ tfrac {x} {10}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ tfrac {x} {10}} \ cdot 3 \ right)}$

Сами по себе термины не являются ни истинными, ни ложными и не имеют значения. Термины могут принимать значения только в модели, то есть если для возникающих переменных указан базовый набор.

Алгебраические преобразования

Длинные и сложные термины часто можно упростить, применив к ним арифметические правила, которые оставляют значение термина неизменным, например закон коммутативности , ассоциативный закон или закон распределения :

${\ Displaystyle (х + у) (ху)}$    Умножить

${\ displaystyle = x ^ {2} -xy + yx-y ^ {2}}$     Применить коммутативный закон

${\ displaystyle = x ^ {2} -y ^ {2}}$

Согласно приведенному выше определению, понятие термина не предусматривает таких преобразований, это вопрос других терминов. Под этими алгебраическими преобразованиями всегда подразумевается, что значения, которые член может принимать при выборе определенного базового набора, не изменяются в результате этих преобразований. Это зависит от базовой суммы! Вышеупомянутые преобразования верны только в тех базовых наборах, в которых применяются используемые законы, такие как закон коммутативности.

Такие алгебраические преобразования по-прежнему называются преобразованиями терминов , потому что в соответствии с правилами, которые применяются в согласованном базовом наборе, можно переходить от одного термина к другому, не меняя его возможных значений. Преследуются следующие цели:

• Упрощение терминов
• Расширение сроков для создания желаемых структур, таких как квадратная пристройка
• Подготовка желаемых частичных условий, например, в формуле Кардана :${\ displaystyle (u + v) ^ {3} = u ^ {3} + v ^ {3} + 3uv (u + v)}$

Делимитация на выражение

Выражения

Выражение , как термин формальный характер; их структура определяется в соответствии с логикой, например Б. логика предикатов. В логике предикатов первого порядка с равенством определяется:

1. Существуют точки зрения , то это выражение.${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2}}$${\ displaystyle t_ {1} = t_ {2}}$
2. Есть термины и символ -местная отношение, то это выражение.${\ displaystyle t_ {1}, \ dotsc, t_ {k}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle Rt_ {1} \ dotso t_ {k}}$
3. Существуют и выражения, поэтому они , , , , и выражения.${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle (\ varphi \ land \ psi)}$${\ Displaystyle (\ varphi \ lor \ psi)}$${\ Displaystyle (\ varphi \ rightarrow \ psi)}$${\ displaystyle (\ varphi \ leftrightarrow \ psi)}$${\ Displaystyle (\ существует х \ varphi)}$${\ displaystyle (\ forall x \ varphi)}$

Это означает, что любое количество сложных выражений можно создать, многократно применяя эти образовательные законы. Согласно этому определению, термины можно грубо описать как то, что может быть по одну сторону уравнения или помещено в отношение; Термины являются именно этими компонентами выражений.

Точное определение выражения зависит от рассматриваемой логики; в логике предикатов второго уровня , например, также добавляется вставка терминов в переменные отношения и количественное определение через отношения.

пример

Для описания действительных чисел используется символ связи для умножения и символ отношения для неравенства , а также такие константы, как 0, 1, 2, ... Если переменные равны, то по определению также ${\ displaystyle \ cdot}$${\ displaystyle \ leq}$${\ displaystyle x, y}$

${\ displaystyle x \ cdot x}$, константа 0 и члены.${\ displaystyle y}$

По определению термина

${\ Displaystyle х \ cdot х = у}$ а также ${\ displaystyle 0 \ leq y}$

Выражения, потому что первая строка - это равенство двух членов; второй - отношение, в которое были вставлены два термина. Так это тоже

${\ Displaystyle 0 \ Leq Y \ rightarrow (\ существует х (х \ CDOT х = у))}$

выражение и наконец

${\ Displaystyle \ forall у (0 \ Leq у \ rightarrow (\ существует х (х \ CDOT х = у)))}$

Это выражение верно в модели действительных чисел. Важно понимать, что приведенная выше структура выражения не является доказательством; это просто вопрос формирования символьной строки в соответствии с определенными правилами. Сопровождающее утверждение может быть истинным или ложным только в модели, где оно может быть доказано при необходимости. Известно, что приведенное выше утверждение неверно в модели рациональных чисел, потому что рациональное число есть , но не существует рационального числа, которое удовлетворяет. ${\ displaystyle y = 2}$${\ displaystyle \ geq 0}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle х \ cdot х = у}$

Термины в многогранной логике

При рассмотрении разнородных структур, таких как векторные пространства , хочется разделить объекты на разные типы , в случае векторных пространств, например, на векторы и скаляры. Затем встречающиеся термины следует дифференцировать в соответствии с этими типами. В качестве дополнительного компонента теории существует ряд обозначений разновидностей. ${\ displaystyle T}$

Благодаря универсальной сигнатуре символам не только присваивается простой арифметический номер, но (для отношений и функций) последовательность (кортеж) типов аргументов и (для констант и функций) тип значения. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$

Что касается типов переменных, в литературе существует два основных подхода:

1. Предоставляется единый набор переменных . Отображение (возможно, только частичное), которое присваивает разнообразие идентификаторам переменных, называется объявлением переменной ; переменная из домена объявления переменной называется объявленной . Во время интерпретации это может быть заменено в области действия (области действия) соответствующего квантификатора локальным вариантом (локально измененное объявление переменной).${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$${\ displaystyle \ nu: {\ mathcal {V}} \ not \ to T}$
2. Другие авторы, напротив, строго разграничивают наборы символов для переменных разных типов и используют отдельный набор символов переменных для каждого типа. Переменные z. Б. характеризуется индексом разнообразия. Присвоение разновидности переменной фиксировано и не изменяется локально.${\ displaystyle \ nu}$

Тип значений логической истинности имеет особое значение - если доступно - и обозначается здесь значком . Отношения можно понимать как предикаты в соответствии с их характеристической функцией . В частности, отношения с нулевой цифрой соответствуют логическим константам, так же как функции с нулевой цифрой типа изображения соответствуют константам этого типа.${\ displaystyle \ {\ operatorname {false}, \ operatorname {true} \}}$${\ displaystyle \ operatorname {логический}}$

В рекурсивном определении терминов делается ссылка на их сортировку для достижения синтаксических свойств, упомянутых во введении: неправильные отношения сортировки проявляются как синтаксические ошибки.

Выражения в поливалентной логике

Подобно многосайтовым терминам, учитывая многосайтовую подпись, во внимание принимаются типы аргументов и значения изображений. Рекурсивное определение сначала атомарных, а затем общих формул (выражений) происходит в соответствии с этим условием. Поэтому неправильное присвоение типов отображается как синтаксические ошибки.

В случае гибких объявлений переменных следует отметить, что локально измененные объявления переменных используются в области действия (области) квантификаторов. Таким образом, в этом случае одни и те же переменные могут использоваться для разных разновидностей. В случае, если переменная уже объявлена ​​вне квантификаторов, i. ЧАС. если объявление уже находится в области исходного определения , оно будет перезаписано локально.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ nu}$

Срок оценки

Учитывая структуру с функцией интерпретации , запас имен переменных. В многогранном случае также существует объявление переменной посредством отображения (возможно, только частичного) . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle {\ mathcal {V}}}$${\ displaystyle \ nu {:} \ {\ mathcal {V}} \ not \ to T}$

Пусть будет присвоение переменной (также присвоение переменной ) . В один отсортированном случае, это (возможно только частично) фигура , в vielsortigen случай был для каждого переменного (назначенного) любого элемента из диапазона значений заявленного сорта изображения: . ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ beta {:} \ {\ mathcal {V}} \ not \ to A}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ бета (х) \ в А _ {\ ню (х)}}$

Присваивание переменной присваивает значение терминам следующим образом:${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle [\! [т] \!]}$

• ${\ Displaystyle [\! [\ цвет {синий} х \ цвет {черный}] \!] = \ бета (\ цвет {синий} х \ цвет {черный})}$для переменных ,${\ displaystyle \ color {синий} x \ color {черный} \ in {\ mathcal {V}}}$
• ${\ displaystyle [\! [\ color {blue} f (t_ {1}, \ dots t_ {n}) \ color {black}] \!] = \ alpha (\ color {blue} f \ color {black}) ) ([\! [\ color {blue} t_ {1} \ color {black}] \!], \ dots [\! [\ color {blue} t_ {n} \ color {black}] \!]) }$для функционального символа арности .${\ displaystyle \ color {синий} f \ color {черный}}$${\ Displaystyle п = \ сигма (\ цвет {синий} е \ цвет {черный})}$

Символы и строки над общим алфавитом для ясности выделены синим цветом:

• Слева находится оценка термина, то есть символьной строки (конечной последовательности символов).
• Справа к его аргументам применяется функция (ссылка) .${\ Displaystyle \ альфа (е)}$${\ Displaystyle [\! [t_ {1}] \!], [\! [t_ {2}] \!], \ точки}$

Константы можно понимать как функции с нулевой цифрой, явно

• ${\ Displaystyle [\! [с] \!] = \ альфа (с)}$для констант .${\ displaystyle c}$

Отображение называется оценкой срока или назначением срока . ${\ Displaystyle [\! [\] \!]}$

В случае с несколькими сайтами оценка термина из (нелогичного) разнообразия приводит к объекту (элементу) диапазона значений . ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle A_ {s} = \ alpha (s)}$

Термин оценка является продолжением присвоения переменной и постоянной интерпретации, которая совместима с интерпретацией функции . Срок оценки определяется двумя параметрами: ${\ Displaystyle \ альфа | _ {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle \ альфа | _ {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle [\! [\] \!]}$

1. функция интерпретации (обозначает структуру) и${\ displaystyle \ alpha}$
2. присвоение переменной ${\ displaystyle \ beta}$

При условии, что диапазоны значений разделены попарно, типы присвоенных переменных однозначно определяются их значением , так что в этом случае дополнительная спецификация объявления переменной не требуется. Поэтому   вместо этого есть также обозначения .${\ displaystyle A_ {s}}$${\ displaystyle s = \ nu (x)}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ бета (х) \ в A_ {s}}$${\ Displaystyle [\! [\] \!] _ {\ альфа, \ бета}}$${\ Displaystyle [\! [\] \!]}$

Действительность выражений

Точно так же, как термины с заданной структурой (выраженной посредством ) и присваиванием переменной ( ) могут оцениваться на предмет их значения (нелогического) разнообразия , выражения могут оцениваться на предмет их логического значения. Вместо этого используется обозначение для этой достоверности выражений (также называемое значением истинности или присвоением формулы ) . Эта действительность неявно определяется следующими правилами:${\ displaystyle t}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle [\! [\ varphi] \!] _ {\ альфа, \ бета}}$${\ Displaystyle (\ альфа, \ бета) \ модели \ varphi}$

• ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) \ models \ color {blue} x \ color {black} \ Leftrightarrow \ beta (\ color {blue} x \ color {black})}$   возможно для логических переменных ${\ displaystyle \ color {синий} x \ color {черный} \ in {\ mathcal {V}}}$
• ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) \ models \ color {blue} t_ {1} = t_ {2} \ color {black} \ Leftrightarrow [\! [\ color {blue} t_ {1} \ color {black }] \!] _ {\ alpha, \ beta} \ color {red} = \ color {black} [\! [\ color {blue} t_ {2} \ color {black}] \!] _ {\ alpha , \ beta}}$ для сроков ${\ displaystyle \ color {синий} t_ {1} \ color {черный}, \ color {синий} t_ {2} \ color {черный}}$
• ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) \ models \ color {blue} R (t_ {1}, \ dots t_ {k}) \ color {black} \ Leftrightarrow ([\! [\ color {blue} t_ { 1} \ color {black}] \!] _ {\ Alpha, \ beta}, \ dots [\! [\ Color {blue} t_ {k} \ color {black}] \!] _ {\ Alpha, \ beta}) \ in \ alpha (\ color {blue} R \ color {black})}$   для символа отношения арности и терминов , в частности${\ displaystyle \ color {синий} R \ color {черный}}$${\ Displaystyle к = \ сигма (\ цвет {синий} R \ цвет {черный})}$${\ displaystyle \ color {синий} t_ {1} \ color {черный}, \ dots \ color {синий} t_ {k} \ color {черный}}$

${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) \ models \ color {blue} R \ color {black} \ Leftrightarrow \ epsilon \ in \ alpha (\ color {blue} R \ color {black}) \ Leftrightarrow \ alpha (\ цвет {синий} R \ color {черный}) \ neq \ emptyset \ Leftrightarrow \ alpha (\ color {blue} R \ color {черный})}$   возможно для логических констант, d. ЧАС. отношения с нулевой цифрой

• ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) \ models \ color {blue} \ neg \ varphi \ color {black} \ \ \ Leftrightarrow \ \ \ color {red} \ neg \ color {black} (\ alpha, \ beta ) \ models \ color {синий} \ varphi \ color {черный}}$ для выражений ${\ displaystyle \ varphi}$
• ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) \ models \ color {blue} \ varphi \ lor \ psi \ color {black} \ \ Leftrightarrow \ \ ((\ alpha, \ beta) \ models \ color {blue} \ varphi \ color {black}) \ \; \ color {red} \ lor \ color {black} \ \; ((\ alpha, \ beta) \ models \ color {blue} \ psi \ color {black})}$ для выражений ${\ displaystyle \ color {синий} \ varphi \ color {черный}, \ color {синий} \ psi \ color {черный}}$
• ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) \ models \ color {blue} \ varphi \ land \ psi \ color {black} \ \ Leftrightarrow \ \ ((\ alpha, \ beta) \ models \ color {blue} \ varphi \ color {black}) \ \; \ color {red} \ land \ color {black} \ \; ((\ alpha, \ nu) \ models \ color {blue} \ psi \ color {black})}$
• ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) \ models \ color {blue} \ varphi \ to \ psi \ color {black} \ \ Leftrightarrow \ \ ((\ alpha, \ beta) \ models \ color {blue} \ varphi \ color {black}) \ \; \ color {red} \ to \ color {black} \ \; ((\ alpha, \ beta) \ models \ color {blue} \ psi \ color {black})}$
• ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) \ models \ color {blue} \ varphi \ leftrightarrow \ psi \ color {black} \ \ Leftrightarrow \ \ ((\ alpha, \ beta) \ models \ color {blue} \ varphi \ color {black}) \ \; \ color {red} \ leftrightarrow \ color {black} \ \; ((\ alpha, \ beta) \ models \ color {blue} \ psi \ color {black})}$
• ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) \ models \ color {blue} \ forall \; x: s \ \ varphi \ color {black} \ \ \ Leftrightarrow \ \ \ color {red} \ forall \ color {black} \; a \ in A _ {\ color {blue} s \ color {black}} \ color {red}: \ color {black} (\ alpha, \ beta _ {\ langle x \ mapsto a \ rangle}) \ модели \ color {blue} \ varphi}$, где - разновидность, символ переменной и выражение, в котором встречается локальная переменная разновидности .${\ displaystyle \ color {синий} s \ color {черный} \ in T}$${\ displaystyle \ color {синий} x \ color {черный} \ in {\ mathcal {V}}}$${\ displaystyle \ color {синий} \ varphi \ color {черный}}$${\ displaystyle \ color {синий} x \ color {черный}}$${\ displaystyle \ color {синий} s \ color {черный}}$
• ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) \ models \ color {blue} \ exists \; x: s \ \ varphi \ color {black} \ \ Leftrightarrow \ \ \ color {red} \ exists \ color {black} \; a \ in A _ {\ color {blue} s \ color {black}} \ color {red}: \ color {black} (\ alpha, \ beta _ {\ langle x \ mapsto a \ rangle}) \ модели \ color {blue} \ varphi}$, Где , и , как и раньше.${\ displaystyle \ color {синий} s \ color {черный}}$${\ displaystyle \ color {синий} x \ color {черный}}$${\ displaystyle \ color {синий} \ varphi \ color {черный}}$

Символы и символьные строки над всем алфавитом выделены синим для ясности, в частности объединители и квантификаторы слева ( объектный язык ). Красный, отмеченный справа, - это сокращения для логических связей и т. Д. Общего языка ( метаязыка ), на котором представлены факты, то есть для «и», «или», «есть один», «для всех» «Есть то же самое »и т. д. Чтобы отличить его от символов-кванторов объектного языка, z. Б. также можно использовать. ${\ displaystyle \ color {blue} \ forall \ color {black} \ dots, \ color {blue} \ exists \ color {black} \ dots}$${\ displaystyle \ color {red} \ textstyle \ bigwedge \ limits _ {\ color {black} \ dots} \ color {black}, \ color {red} \ textstyle \ bigvee \ limits _ {\ color {black} \ dots }}$

Значение истинности предложений ( закрытых выражений, т.е.без свободных переменных) не зависит от присвоения переменной.

В логике предикатов второго уровня с переменными отношения добавляются еще два правила, в многогранном нормальном случае это:

• ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) \ models \ color {blue} \ forall \; X: t \ \ varphi \ color {black} \ \ \ Leftrightarrow \ \ \ color {red} \ forall \ color {black} \; R \ substeq \ textstyle \ prod A \ circ {\ color {blue} t \ color {black}} \ color {red}: \ color {black} (\ alpha, \ beta _ {\ langle X \ mapsto R \ rangle}) \ models \ color {синий} \ varphi}$, где - тип аргумента, символ переменной отношения и выражение, в котором встречается локальная переменная отношения данного типа .${\ displaystyle \ color {синий} t \ color {черный} \ in T ^ {*}}$${\ displaystyle \ color {синий} X \ color {черный} \ in {\ mathcal {R}}}$${\ displaystyle \ color {синий} \ varphi \ color {черный}}$${\ displaystyle \ color {синий} X \ color {черный}}$${\ displaystyle \ color {синий} t}$
• ${\ displaystyle (\ alpha, \ beta) \ models \ color {blue} \ exists \; X: t \ \ varphi \ color {black} \ \ Leftrightarrow \ \ \ color {red} \ exists \ color {black} \; R \ substeq \ textstyle \ prod A \ circ {\ color {blue} t \ color {black}} \ color {red}: \ color {black} (\ alpha, \ beta _ {\ langle X \ mapsto R \ rangle}) \ models \ color {синий} \ varphi}$, Где , и , как и раньше.${\ displaystyle \ color {синий} t \ color {черный} \ in T ^ {*}}$${\ displaystyle \ color {синий} X \ color {черный}}$${\ displaystyle \ color {синий} \ varphi \ color {черный}}$

В случае одного вида декартово произведение количеств носителей     может быть упрощено до арности . Обычно используются переменные отношения с фиксированной арностью (они часто обозначаются как индекс), в противном случае должна быть объявлена ​​арность: тогда для арности требуется символическое представление других символов , поэтому усилия такие же или примерно такие же, как в случае нескольких типов. ${\ displaystyle \ textstyle \ prod A \ circ {\ color {blue} t \ color {black}} = A _ {\ color {blue} t_ {1} \ color {black}} \ times \ dots A _ {\ цвет {синий} t_ {k} \ color {черный}}}$${\ displaystyle A ^ {k}}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle к \ ин \ mathbb {N} _ {0}}$${\ displaystyle \ color {синий} i}$${\ Displaystyle \ альфа (\ цвет {синий} я \ цвет {черный}) = к \ в \ mathbb {N} _ {0}}$

Отдельные ссылки и комментарии

1. ↑ См. Раздел §Термины в универсальной логике .
2. ↑ Здесь имеется в виду абстрактная булева алгебра как диапазон значений. Для частного случая алгебры высказываний: логические термины и выражения см. Ниже: §выражения и §выражения в многосторонней логике .
3. ↑ В. Фоглер (2007/2008) стр. 3
4. ↑ Kruse / Borgelt (2008) с. 4
5. ↑ Для этого эти термины должны быть сначала преобразованы в линейную форму (т.е. строки символов). Для кванторов это соответствует замене обозначения символами (подобными ) на  . Подробнее см. Ниже: выражения как квази «логические термины».${\ displaystyle \ bigwedge _ {\ dots}, \ bigvee _ {\ dots}}$${\ displaystyle \ sum _ {\ dots}, \ prod _ {\ dots}}$${\ Displaystyle \ forall \ точек, \ существует \ точки}$
6. ↑ См. Р. Летц (2004) с. 10.
7. ↑ Kleine Büning (2015), стр. 8–15
8. ↑ или формула
9. ↑ Выражения по пунктам 1 и 2 называются атомарными .
10. ↑ В. Фоглер (2007/2008) стр. 5 и далее
11. ↑ Переменная называется связанной в выражении, если она следует сразу за quantifier ( ), в противном случае она называется свободной переменной. Переменные могут появляться в одном и том же выражении свободно или связанными (локально в рамках квантификатора). Выражение без свободных переменных называется закрытым или предложением . См. Р. Летц (2004), стр.10.${\ displaystyle x \ in {\ mathcal {V}}}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ существует, \ forall, \ точки}$${\ displaystyle x}$
12. ↑ В логике предикатов второго уровня эти две возможности также существуют в случае единственного порядка в отношении арности переменных отношения; здесь обычно встречается второй вариант.
13. ↑ Стефан Брасс (2005) с. 54
14. ↑ Стефан Брасс (2005) с. 56
15. ↑ А. Обершельп (1990), стр. 9 и далее
16. ↑ См. Отношение §Отношения и функции
17. ↑ Эрих Грэдель (2009) с. 1
18. ↑ См. Стефан Брасс (2005), стр. 56 и стр. 66–68; и Рамхартер, Эдер (2015/16), стр.17.
19. ↑ К. Лутц (2010) с. 8
20. ↑ Kruse, Borgelt (2008) с. 9
21. ↑ R. Letz (2004) стр. 7. Автор использует обозначения для объектов (элементов диапазонов значений разновидностей), для функции интерпретации и для присвоения переменных . Вместо того , как уже отмечалось, вместо того , чтобы на срок задания, он говорит .${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ iota}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ beta _ {\ langle x \ mapsto a \ rangle}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {x} ^ {u}}$${\ Displaystyle [\! [\] \!] _ {\ альфа, \ бета}}$${\ displaystyle \ iota ^ {\ mathcal {A}}}$
22. ↑ Стефан Брасс (2005) с. 83
23. ↑ В логике сортировки по порядку диапазоны значений, присвоенные типам , не обязательно являются непересекающимися. Вместо этого набору сортировок присваивается частичный порядок, так что следующее применимо ко всем видам : если , то . Каждой константе, переменной и, наконец, каждому члену разновидности присваивается набор разновидностей ( приведенный выше набор s), который включает все разновидности с . Затем термины можно комбинировать, если пересечение диапазонов значений их типов является диапазоном значений определенного типа , то есть, в частности, не пусто. Затем вы пишете (или ). Подробнее см. A. Oberschelp (1989), стр. 11ff . Этот тип логики является основой наследования классов (иерархии классов) в объектно-ориентированном программировании .${\ displaystyle s \ in T}$${\ displaystyle A_ {s}}$${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle \ prevq}$${\ displaystyle s_ {1}, s_ {2}}$${\ displaystyle s_ {1} \ prevq s_ {2}}$${\ Displaystyle A_ {s_ {1}} \ substeq A_ {s_ {2}}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle s}$${\ Displaystyle <s> = \ {г \ в Т | s \ prevq г \}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s \ prevq r}$${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2}}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle г = s_ {1} \ sqcap s_ {2}}$${\ displaystyle r = s_ {1} \ cap s_ {2}}$
24. ↑ Kruse, Borgelt (2008) с. 9
25. ↑ Р. Летц (2004) с. 8
26. ↑ ^{а б} Стефан Брасс (2005), стр. 84-88. Автор использует таблицы истинности для логических связей, которые здесь обозначены цветом.
27. ↑ Сравните валидность в логике высказываний
28. ↑ с${\ Displaystyle \ ню (\ цвет {синий} х \ цвет {черный}) = \ OperatorName {логический}}$
29. ↑ Это часто используется вместо символа равенства в объектном языке для различения .${\ displaystyle \ color {синий} \ Equiv}$${\ displaystyle \ color {синий} =}$
30. ↑ с ,${\ displaystyle \ epsilon = \ emptyset}$${\ Displaystyle \ emptyset = \ OperatorName {false}, \ {\ emptyset \} = \ OperatorName {true}}$
31. ↑ ^{a b} - это локально измененное присвоение переменной ( вариант), соответствующее объявлению локально измененной переменной из-за .${\ displaystyle \ beta _ {\ langle x \ mapsto a \ rangle}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ nu _ {\ langle x \ mapsto s \ rangle}}$${\ displaystyle a \ in A_ {s} = \ alpha (s) = \ nu _ {\ langle x \ mapsto s \ rangle} (x)}$
32. ↑ Р. Летц (2004) с. 10
33. ↑ ^{a b} - это локально измененное присвоение переменной отношения ( вариант), соответствующее объявлению локально измененной переменной отношения , из-за .${\ displaystyle \ beta _ {\ langle X \ mapsto R \ rangle}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ nu _ {\ langle X \ mapsto \ color {синий} t \ color {черный} \ rangle}}$${\ Displaystyle R \ substeq \ textstyle \ prod A \ circ {\ color {blue} t \ color {black}} = \ textstyle \ prod A \ circ \ nu _ {\ langle X \ mapsto t \ rangle} (X) }$
34. ↑ Например (подсчет строк) или с = длиной или = символом для нуля, = символом для приращения ('+1') или более сложным двоичным или десятичным представлением .${\ displaystyle \ color {blue} i \ color {black} = \ underbrace {\ color {blue} || \ color {black} \ dots \ color {blue} | \ color {black}} _ {k {\ text {-times}}}}$${\ displaystyle \ color {blue} i \ color {black} = \ underbrace {\ color {blue} SS \ color {black} \ dots \ color {blue} S \ color {black}} _ {k {\ text { -mal}}} \ color {синий} O \ color {черный}}$${\ Displaystyle к = | \ цвет {синий} я \ цвет {черный} |}$${\ displaystyle \ color {синий} i \ color {черный}}$${\ displaystyle \ color {синий} O}$${\ displaystyle \ color {синий} S}$

литература

• Эрих Грэдель: математическая логика . Математические основы компьютерных наук, SS 2009. RWTH, Aachen, S. 129 ( cs.uni-dortmund.de [PDF]). 
• Стефан Брасс: математическая логика с приложениями баз данных . Университет Мартина Лютера, Галле-Виттенберг, Институт компьютерных наук, Галле, 2005 г., стр. 176 ( informatik.uni-halle.de [PDF]). 
• В. Фоглер: Логика для компьютерных ученых . WS 2007/2008. Univ. Аугсбург, Институт компьютерных наук, Аугсбург, стр. 49 ( informatik.uni-augsburg.de [PDF]). 
• Р. Круз, К. Боргельт: Основные понятия логики предикатов . Вычислительный интеллект. Университет Отто фон Герике, Магдебург, 2008 г., стр. 14 ( cs.ovgu.de [PDF]). 
• Райнхольд Летц: Логика предикатов . WS 2004/2005. Технический университет Мюнхена, факультет компьютерных наук, кафедра компьютерных наук IV, Мюнхен, стр. 47 ( ifi.lmu.de [PDF]). 
• Карстен Лутц: Логика . Лекция в зимнем семестре 2010. Часть 4: Логика предикатов второго уровня . Бременский университет, А.Г. Теория искусственного интеллекта, 2010 г., стр. 65 ( informatik.uni-bremen.de [PDF]). 
• Эстер Рамхартер, Гюнтер Эдер: логика предикатов второго уровня . WS 2015/2016. Модальная логика SE и другие философски релевантные логики . Венский университет, С. 22 ( univie.ac.at [PDF]). 
• Клаус Груэ: объектно-ориентированная математика . Копенгагенский университет, Департамент компьютерных наук (Институт Даталогиск), 1995 г., стр. 21 ( diku.dk [PDF] Общая нотация маплета, также нотация для локально измененного объявления и присвоения переменных). 
• Арнольд Обершельп: упорядоченная логика предикатов . Ред .: Карл Ганс Блазиус, Ульрих Хедтстюк, Клаус-Райнер Роллингер. Конспект лекций по информатике (LNCS), том 418 : Сорта и типы в искусственном интеллекте, семинар, Эрингерфельд, ФРГ, 24–26 апреля 1989 г., Материалы конференции. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1990, ISBN 3-540-52337-5 , стр. 307 , DOI : 10.1007 / 3-540-52337-6 . 
• Х. Кляйне Бюнинг: Виды и термины . Зимний семестр 2015 г. Модель 05, часть 1. Университет Падерборна, 2015 г., стр. 15 . 

веб ссылки

• Преобразование сроков для разных типов школ и классов, например Иногда с дидактическими советами. Государственный образовательный сервер Баден-Вюртемберг