Общая дисперсия

Общая дисперсию (не следует путать с общей дисперсией, что приводит от общей суммы квадратов рассчитанных) находится в многомерных статистиках являются мерой общего разлива многомерного (многомерным) набора данных (с переменными ). Другой мерой общего разброса многомерного набора данных является обобщенная дисперсия . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle X_ {j}}$

определение

Общая дисперсия определяется как

${\ displaystyle T = \ sum _ {j = 1} ^ {p} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {ij} - {\ overline {x }} _ {j}) ^ {2} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ underbrace {\ sum _ {j = 1} ^ {p} ( x_ {ij} - {\ overline {x}} _ {j}) ^ {2}} _ {= d ^ {2} (x_ {i}, {\ overline {x}})}}$,

в котором го наблюдения в переменной , среднее арифметическое из наблюдений переменных и квадрат евклидова расстояния между многофакторного наблюдения и центром данных представляет. ${\ displaystyle x_ {ij}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle X_ {j}}$${\ displaystyle {\ overline {x}} _ {j}}$${\ displaystyle X_ {j}}$${\ displaystyle d ^ {2} (x_ {i}, {\ overline {x}})}$${\ displaystyle x_ {i} = (x_ {i1}, \ ldots, x_ {ip})}$${\ displaystyle {\ overline {x}} = ({\ overline {x}} _ {1}, \ ldots, {\ overline {x}} _ {p})}$

Таким образом , расширение эмпирической дисперсии с переменной в многомерном случае: ${\ displaystyle s ^ {2}}$

${\ displaystyle s ^ {2} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ underbrace {(x_ {i} - {\ overline {x}}) ^ { 2}} _ {= d ^ {2} (x_ {i}, {\ overline {x}})}.}.$

Важным свойством полной дисперсии является ее инвариантность относительно вращения набора данных, т.е. ЧАС. общая дисперсия повернутых данных равна общей дисперсии неотвернутых данных. Это верно, потому что общая дисперсия - это среднее расстояние между наблюдением и центром набора данных.

Связь с ковариационной матрицей

Общая дисперсия тесно связана с ковариационной матрицей данных, которую также можно рассматривать как обобщение одномерной дисперсии, но она зависит от выбранной базы. Тогда общая дисперсия - это просто след этой матрицы, поэтому она также является суммой собственных значений ковариационной матрицы. Таким образом, доля заявленной общей дисперсии используется в анализе главных компонентов , факторном анализе и кластерном анализе как мера того, насколько хорошо проведенная редукция данных отражает многомерный набор данных. При использовании этой меры в кластерном анализе говорят о «внутренней проверке », поскольку она не требует дополнительной внешней информации.

литература

• Людвиг Фармейр, Вольфганг Брахингер, Альфред Хамерле, Герхард Тутц: многомерные статистические методы , Gruyter, 2-е издание, 1996 г.

Индивидуальные доказательства