Волновое уравнение

Волновое уравнение , также уравнение Даламбера в соответствии с Жаном-Батистом лем Рондом Даламбером , определяет распространение волн , такие как звук или свет . Это одно из гиперболических дифференциальных уравнений .

Если среда или вакуум только пропускают волну и не генерируют сами волны, то это, точнее, уравнение однородной волны , линейное уравнение в частных производных второго порядка

${\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} - \ sum _ {i = 1} ^ { n} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x_ {i} ^ {2}}} = 0}$

для реальной функции пространства-времени. Вот размер комнаты. Параметр - это скорость распространения волны, то есть скорость звука для звука (в однородной и изотропной среде) и скорость света для света. ${\ Displaystyle и (т, х_ {1}, \ точки, х_ {п})}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle c}$

Дифференциальный оператор волнового уравнения называется оператором Даламбера и отмечен символом . ${\ displaystyle \ Box}$

${\ displaystyle \ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {i} ^ {2}}}}$,

Решения волнового уравнения называются волнами . Поскольку уравнение является линейным, волны перекрываются, не влияя друг на друга. Поскольку коэффициенты волнового уравнения не зависят от места или времени, волны ведут себя независимо от того, где, когда и в каком направлении они возбуждаются. Смещенные, запаздывающие или повернутые волны также являются решениями волнового уравнения.

Под неоднородным волновым уравнением понимается неоднородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных

${\ Displaystyle \ Box и = v \.}$

Он описывает временное развитие волн в среде, которая сама генерирует волны. Неоднородность также называется источником волны . ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle u}$

Волновое уравнение в пространственном измерении

Оператор Даламбера в пространственном измерении

${\ displaystyle \ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - {\ frac {\ partial ^ { 2}} {\ partial x ^ {2}}}}$

распадается на произведение по теореме черного, как в биномиальной формуле${\ displaystyle (a ^ {2} -b ^ {2}) = (ab) (a + b)}$

${\ displaystyle \ Box = \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} - {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right) \ left ({\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right)}$.

Следовательно, волновое уравнение имеет общее решение в одном пространственном измерении

${\ Displaystyle и \ влево (т, х \ вправо) = е (х + CT) + г (х-CT)}$

с любыми дважды дифференцируемыми функциями и . Первое слагаемое - это волна, движущаяся влево, а второе слагаемое - это волна, движущаяся вправо с неизменной формой. Прямые линии - характеристики волнового уравнения. ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle g (x)}$${\ displaystyle f (x + ct)}$${\ displaystyle g (x-ct)}$${\ Displaystyle х \ pm ct = {\ текст {константа}}}$

Быть

${\ Displaystyle \ фи (х) = и (0, х) = е (х) + г (х)}$

начальное значение и

${\ displaystyle \ psi (x) = {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} (0, x) = f '(x) -g' (x) }$

начальная производная волны по времени. Эти функции пространства в совокупности называются начальными значениями волны.

Интегрирование последнего уравнения дает

${\ Displaystyle е (х) -g (х) = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ psi (\ xi) \, \ mathrm {d} \ xi \.}$

Растворяя, получается

${\ Displaystyle е (х) = {\ гидроразрыва {1} {2}} \ left (\ phi (x) + \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ psi (\ xi) \, \ mathrm {d} \ xi \ right) \,}$

${\ Displaystyle г (х) = {\ гидроразрыва {1} {2}} \ left (\ phi (x) - \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ psi (\ xi) \, \ mathrm {d} \ xi \ right) \.}$

Таким образом, решение волнового уравнения выражается через его начальные значения

${\ Displaystyle и (т, х) = {\ гидроразрыва {1} {2}} \ влево (\ phi (x + ct) + \ phi (x-ct) + \ int _ {x-ct} ^ {x + ct} \ psi (\ xi) \, \ mathrm {d} \ xi \ right) \.}$

Это также известно как решение Даламбера волнового уравнения ( Даламбер , 1740-е гг.).

Волновое уравнение в трех пространственных измерениях

Общее решение волнового уравнения можно выразить как линейную комбинацию плоских волн

${\ displaystyle u ({\ vec {x}}, t) = \ int \ mathrm {d} \ omega \ int \ mathrm {d} ^ {3} {\ vec {k}} \, A (\ omega, k) e ^ {\ mathrm {i} ({\ vec {k}} \ cdot {\ vec {x}} - \ omega t)} \ delta (\ omega -c | {\ vec {k}} |) }$

написать. Распределение дельта гарантирует , что является дисперсионное соотношение сохраняется. Такая плоская волна движется в направлении . Однако при наложении таких решений не очевидно, как их начальные значения связаны с более поздним решением. ${\ displaystyle \ omega = c | {\ vec {k}} |}$${\ displaystyle {\ vec {k}}}$

Общее решение однородного волнового уравнения может быть представлено в трех пространственных измерениях с помощью средних значений начальных значений. Пусть функция и ее производная по времени заданы вначале функциями и , ${\ Displaystyle и (т, {\ vec {х}})}$${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ psi}$

${\ displaystyle u (0, {\ vec {x}}) = \ phi ({\ vec {x}}), \ quad {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} u (0, {\ vec {x}}) = \ psi ({\ vec {x}}) \ ,,}$

то линейная комбинация средних

${\ displaystyle u (t, {\ vec {x}}) = ct \, M_ {t, {\ vec {x}}} [\ psi] + {\ frac {1} {c}} {\ frac { \ partial} {\ partial t}} (ct \, M_ {t, {\ vec {x}}} [\ phi])}$

соответствующее решение однородного волнового уравнения. Здесь обозначены

${\ displaystyle M_ {t, {\ vec {x}}} [\ chi] = {\ frac {1} {4 \, \ pi}} \ int _ {- 1} ^ {1} \ mathrm {d} \ cos \ theta \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ varphi \, \ chi ({\ vec {x}} + ct {\ vec {n}} (\ theta, \ varphi )) \ quad {\ text {mit}} \ quad {\ vec {n}} (\ theta, \ varphi) = {\ begin {pmatrix} \ sin \ theta \ cos \ varphi \\\ sin \ theta \ sin \ varphi \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}}}$

- среднее значение функции, усредненное по сферической оболочке вокруг точки с радиусом, в частности${\ Displaystyle \ чи \ ,,}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle c | t |.}$${\ displaystyle M_ {0, {\ vec {x}}} [\ chi] = \ chi ({\ vec {x}}).}$

Поскольку это представление решения обозначено начальными значениями, решение непрерывно зависит от начальных значений, в зависимости от времени в месте, только от начальных значений в местах из, из которых во время выполнения со скоростью может достигнуть. Таким образом, он удовлетворяет принципу Гюйгенса . ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle {\ vec {y}}}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ Displaystyle | т |}$${\ displaystyle c}$

Этот принцип не применяется к одномерным системам и прямым пространственным измерениям. Там решения в настоящее время также зависят от начальных значений в более близких точках , из которых можно добраться с меньшей скоростью. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ vec {y}}}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

Решение неоднородного волнового уравнения в трех пространственных измерениях.

${\ displaystyle u (t, {\ vec {x}}) = ct \, M_ {t, {\ vec {x}}} [\ psi] + {\ frac {1} {c}} {\ frac { \ partial} {\ partial t}} (ct \, M_ {t, {\ vec {x}}} [\ phi]) + {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {| {\ vec {z}} | \ leq c | t |} \ mathrm {d} ^ {3} {\ vec {z}} \, {\ frac {v (ct- \ operatorname {sign} (t) | {\ vec {z}} |, {\ vec {x}} + {\ vec {z}})} {| {\ vec {z}} |}}}$

в настоящее время зависит только от неоднородности на обратном световом конусе , в отрицательные моменты времени только от неоднородности на переднем световом конусе. Неоднородность и начальные значения влияют на решение со скоростью света. ${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle t> 0}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$

Запаздывающий потенциал

Запаздывающий потенциал

${\ displaystyle u _ {\ text {retarded}} (t, {\ vec {x}}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ mathrm {d} ^ {3} {\ vec {z}} \, {\ frac {v (ct- | {\ vec {z}} |, \, {\ vec {x}} + {\ vec { z}})} {| {\ vec {z}} |}}}$

является решением неоднородного волнового уравнения, в котором предполагается, что неоднородность на всех обратных световых конусах спадает быстрее, чем . Это волна, которая полностью создается средой без проходящей волны. ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle 1 / r ^ {2}}$

В электродинамике уравнение неразрывности ограничивает неоднородность. Таким образом, плотность заряда ненулевого полного заряда никогда не может исчезнуть везде. В теории возмущений возникают неоднородности, которые не уменьшаются в пространстве достаточно быстро. Тогда соответствующий запаздывающий интеграл расходится и имеет так называемую инфракрасную расходимость.

Несколько более сложное представление решения через его начальные значения за конечное время и через интегралы по конечным участкам светового конуса не содержит таких инфракрасных расходимостей.

Лоренц-инвариантность оператора Даламбера

Оператор Даламбера инвариантен относительно трансляций и преобразований Лоренца в том смысле, что при применении к конкатенированным функциям Лоренца он дает тот же результат, что и конкатенированная производная функция Лоренца.${\ displaystyle \ Box}$ ${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle f \ circ \ Lambda ^ {- 1}}$

${\ displaystyle (\ Box f) \ circ \ Lambda ^ {- 1} = \ Box \, (f \ circ \ Lambda ^ {- 1}) \.}$

Соответственно, оператор Лапласа инвариантен относительно сдвигов и вращений.

Однородное волновое уравнение инвариантно даже при конформных преобразованиях, особенно при растяжении.

Смотри тоже

• Уравнение Клейна-Гордона
• Стоячая волна

литература

• Ричард Курант , Дэвид Гильберт : методы математической физики. Том 2. Издание второе. Springer Verlag, Берлин 1968 ( Heidelberger Taschenbücher 31, ISSN  0073-1684 ).
• Фриц Джон : уравнения в частных производных, 4-е издание, Springer, 1982 г.

веб ссылки

• Гернот Пфаннер, Волновое уравнение (PDF)
• Норберт Дракон, Геометрия относительности (PDF; 2,5 МБ) Глава 5.5

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Эрик Вайсштейн, решение Даламбера, Mathworld