Поворотный момент

Точка поворота с касательной

Кривизна функции sin (2x). Касательная окрашена синим цветом в выпуклых областях, зеленым цветом в вогнутых областях и красным цветом в точках поворота.

В математике , А поворотная точка является точкой на функции графа , при котором график меняет свою кривизну поведение: Здесь график либо изменяется от права на левой кривой или наоборот. Это изменение также называется сменой дуги . Определение поворотных точек является частью обсуждения кривой .

Точка поворота на поворотной точке , когда кривизна графика функции изменяет свой знак в точке . Отсюда можно вывести различные достаточные критерии для определения точек поворота. Одним из критериев требуют, чтобы вторая производная от дифференцируемой функции меняет знак в этой точке . Другие критерии требуют только, чтобы вторая производная функции была равна нулю, а некоторые высшие производные были ненулевыми. ${\ Displaystyle W \ left (x_ {W} | f (x_ {W}) \ right)}$ ${\ Displaystyle \ x_ {W}}$${\ displaystyle x_ {W}}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ x_ {W}}$

Если вторая производная функции рассматривается как «наклон ее наклона», ее точки поворота также можно интерпретировать как [локальные] крайние точки , то есть [локальные] максимумы или минимумы ее наклона. ${\ displaystyle f}$

Касательные, проходящие через точку поворота (показаны красным на рисунке), называются касательными поворота . Поворотные точки, в которых эти поворотные касательные проходят горизонтально, называются седловыми, террасными или горизонтальными поворотными точками .

Аналогично термину « экстремальное значение» термин « значение разворота» для соответствующего значения функции кажется интуитивно правдоподобным и также используется в некоторых источниках. Однако прямо или косвенно указывается (например, с помощью кавычек ), что это довольно необычный термин.${\ displaystyle f (x_ {W})}$

определение

Будьте открытым интервал и непрерывная функция . Говорят, что наступил поворотный момент, когда есть интервалы, и поэтому либо ${\ Displaystyle {] а, б [} \ подмножество \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f \ двоеточие {] a, b [} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ Displaystyle] \ альфа, x_ {0} [}$${\ displaystyle] x_ {0}, \ beta [}$

• ${\ displaystyle f}$в выпуклой и вогнутой , или что${\ Displaystyle] \ альфа, x_ {0} [}$ ${\ displaystyle] x_ {0}, \ beta [}$
• ${\ displaystyle f}$бывает вогнутым и выпуклым.${\ Displaystyle] \ альфа, x_ {0} [}$${\ displaystyle] x_ {0}, \ beta [}$

Это ясно означает , что график функции изменяется на знак его кривизны в точке . Кривизна дважды непрерывно дифференцируемой функции описывается ее второй производной. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0}}$

Критерии определения поворотных моментов

В дальнейшем предполагается, что функцию можно дифференцировать достаточно часто. Если это не так, следующие критерии не применимы к поиску поворотных точек. Сначала представлен необходимый критерий, то есть каждая дважды непрерывно дифференцируемая функция должна удовлетворять этому критерию в одной точке , так что в этой точке может быть поворотный момент. Затем приводятся некоторые достаточные критерии. Если эти критерии соблюдены, безусловно, наступит поворотный момент, но есть также поворотные моменты, которые не соответствуют этим достаточным критериям. ${\ displaystyle f \ двоеточие {] a, b [} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x_ {W}}$

Необходимый критерий

Пусть - дважды непрерывно дифференцируемая функция, тогда, как уже отмечалось в определении, вторая производная описывает кривизну графика функции. Поскольку точка перегиба - это точка, в которой изменяется знак кривизны, вторая производная функции должна быть равна нулю в этой точке. Применимо следующее: ${\ displaystyle f \ двоеточие {] a, b [} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$

Если есть поворотный момент, то он есть .${\ displaystyle x_ {W}}$${\ displaystyle f \, '' (x_ {W}) = 0}$

Достаточный критерий без использования третьей производной

При обсуждении кривых обычно используется одно из следующих двух достаточных условий. В первом условии встречается только вторая производная; для этого должен быть исследован знак « за» и «за» . ${\ displaystyle f \, '' (х)}$${\ Displaystyle х <х_ {W}}$${\ displaystyle x> x_ {W}}$

${\ displaystyle \ left. {\ begin {array} {ll} f {\ text {двукратно дифференцируемо в окрестности}} x_ {W} {\ text {.}} \\ f \, '' (x) {\ text {изменяется в позиции}} x_ {W} {\ text {знак.}} \ end {array}} \ right \} \ Rightarrow x_ {W} {\ text {- поворотный момент.}}}$

Если есть изменение с отрицательного на положительное, то есть поворот вправо-влево. Когда значение меняется с положительного на отрицательное, происходит поворот влево-вправо. ${\ displaystyle \, f '' (x_ {W})}$${\ displaystyle x_ {W}}$${\ displaystyle \, f '' (x_ {W})}$${\ displaystyle x_ {W}}$${\ displaystyle x_ {W}}$

Достаточный критерий с использованием третьей производной

Для функции f (x) = x ⁴ -x вторая производная при x = 0 равна нулю; но (0,0) не является поворотной точкой, поскольку третья производная также равна нулю, а четвертая производная не равна нулю.

Во втором условии, достаточном для точки поворота, требуется и третья производная, но только в самой точке.Это условие в основном используется, когда третью производную легко определить. Главный недостаток по сравнению с уже объясненным состоянием заключается в том, что в этом случае невозможно принять решение. ${\ displaystyle x_ {W}}$${\ displaystyle f \, '' '(x_ {W}) = 0}$

${\ displaystyle \ left. {\ begin {array} {ll} f {\ text {находится в окрестности}} x_ {W} {\ text {трижды дифференцируемой.}} \\ f \, '' (x_ { W}) = 0 \\ f \, '' '(x_ {W}) \ neq 0 \ end {array}} \ right \} \ Rightarrow x_ {W} {\ text {- поворотный момент.}}}$

Точнее, из и что при минимуме роста, то есть, он имеет право налево точка поворота, в то время как , наоборот , он имеет левый-правый поворотный момент для и на максимум подъема, то есть сказать , левый правый поворотный момент. ${\ displaystyle f \, '' (x_ {W}) = 0}$${\ displaystyle f \, '' '(x_ {W})> 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {W}}$${\ displaystyle f \, '' (x_ {W}) = 0}$${\ displaystyle f \, '' '(x_ {W}) <0}$${\ displaystyle x_ {W}}$

Достаточный критерий с использованием дальнейших выводов

Если функцию можно дифференцировать достаточно часто, решение может быть принято и по делу . Это основано на расширении в точке с использованием формулы Тейлора :${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f \, '' '(x_ {W}) = 0}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0}}$

${\ displaystyle \ left. {\ begin {array} {ll} f {\ text {находится в окрестности}} x_ {W} \, n {\ text {различается раз.}} \\ f \, ' '(x_ {W}) = \ ldots = f \, ^ {(n-1)} (x_ {W}) = 0 \\ f \, ^ {(n)} (x_ {W}) \ neq 0 \; {\ text {with}} \, n> 2 \, {\ text {and}} \, n \, {\ text {odd}} \ end {array}} \ right \} \ Rightarrow x_ {W } {\ text {- поворотный момент.}}}$

Таким образом, эта более общая формулировка также включает предыдущий случай: начиная с третьей производной ищется следующая отличная от нуля производная, и если это производная нечетного порядка, это поворотный момент.

Или, говоря в более общем смысле: если первая ненулевая производная функции в точке, в которой находится, является производной нечетного порядка> 2, у нее есть точка поворота в этой точке. ${\ displaystyle f ^ {(n)}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle f '' (x_ {0}) = 0}$${\ displaystyle f}$

пример

${\ Displaystyle {е (х)} = {1 \ более 3} \ cdot x ^ {3} -2 \ cdot x ^ {2} +3 \ cdot x}$

Тогда вторая производная функции определяется выражением:

${\ Displaystyle {е '' (х)} = {2 \ cdot x-4}}$

Поворотным моментом должно быть условие ${\ displaystyle x_ {W}}$

${\ displaystyle {f '' (x)} = 0}$ или же.

${\ Displaystyle {2 \ cdot x-4} = 0}$

выполнить. Это следует из этого . Чтобы выяснить, есть ли на самом деле поворотный момент в этой точке, мы теперь также исследуем третью производную: ${\ displaystyle x_ {W} = 2}$

${\ Displaystyle {е '' '(х)} = 2 \,}$

Из этого можно сделать вывод, что это поворотный момент. Этот факт также можно распознать без использования третьей производной: из- за for и for поведение кривизны изменяется; следовательно, должен быть поворотный момент. ${\ displaystyle f \, '' '(x_ {W}) = f' '' (2) = 2 \ neq 0}$${\ Displaystyle е \, '' (х) = 2 \ cdot x-4 <0}$${\ Displaystyle х <2}$${\ Displaystyle е \, '' (х) = 2 \ cdot x-4> 0}$${\ displaystyle x> 2}$

Координата этой точки поворота получается путем вставки в функции уравнения . ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x = 2}$

${\ displaystyle y_ {W} = f (2) = {1 \ over 3} \ cdot 2 ^ {3} -2 \ cdot 2 ^ {2} +3 \ cdot 2 = {2 \ over 3}}$

Уравнение касательной при повороте может быть определено путем вставки координаты x точки поворота ( 2 ) в первую производную. Это дает уклон (м). Затем определенные координаты x и y точки поворота и значение m- (крутизна) вставляются в определение функции ( y = mx + b ). Затем вы получаете точку пересечения с осью y (b) и, таким образом, полное уравнение касательной поворота.

${\ displaystyle f \, '(x) = x ^ {2} -4 \ cdot x + 3}$

${\ displaystyle f \, '(2) = 2 ^ {2} -4 \ cdot 2 + 3 = -1}$

Касательная поворота: ${\ displaystyle y = -x + {8 \ over 3}}$

Особые случаи

График функции изменяет свое поведение кривизны (переход от правой кривизны к левой). Первый вывод на данный момент не существует, поэтому приведенный выше формализм неприменим. Тем не менее, эта функция достигла поворотного момента. ${\ Displaystyle е (х) = (х-2) \ cdot е ^ {| х |}}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle x = 0}$

График функции с уравнением в положительной и отрицательной областях и при , т.е. ЧАС. , имеет первую производную, но не имеет второй производной на данный момент , но все же есть поворотный момент. ${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}$${\ displaystyle f (x) = - x ^ {2}}$${\ displaystyle x = 0}$${\ Displaystyle е (х) = х | х |}$${\ displaystyle 0}$

Смотри тоже

• Плоская точка, точка, в которой находится (или в которой есть, но поведение кривизны не меняется - в зависимости от определения)${\ displaystyle f '' = 0}$${\ displaystyle f '' = 0}$

литература

• Харро Хойзер : Учебник анализа , часть 1 . Издание 11-е, с. 293.

веб ссылки

Викисловарь: поворотный момент  - объяснение значений, происхождение слов, синонимы, переводы

Индивидуальные доказательства

1. ^ Австрийское федеральное министерство образования, науки и культуры (ред.): Wissenschaftliche Nachrichten ; № 122, июль / август 2003 г., стр. 40.
2. ↑ Обратное значение в математическом лексиконе учебного семинара Mathe-AC в Аахене (дата обращения: 11 февраля 2019 г., 19:59).
3. ^ В. Геллерт, Х. Кюстнер, М. Хеллвич, Х. Кестнер: Малая энциклопедия математики ; Лейпциг, 1970, стр. 433-434.