Цилиндр (геометрия)

Вертикальный круговой цилиндр: высота , радиус${\ displaystyle h}$${\ displaystyle r}$

Цилиндр (Latin cylindrus, древнегреческий κύλινδρος kýlindros , от κυλίνδειν kylíndein , «бублик», «валяние») в простейшем случае одного

• Область, точки которой находятся на одинаковом расстоянии от фиксированной прямой линии, оси .${\ displaystyle r}$

Поскольку такая поверхность бесконечно протяжена, обычно ее разрезают двумя параллельными плоскостями расстояния (см. Рисунок). ${\ displaystyle h}$

• Если плоскости разреза перпендикулярны оси, создается вертикальный (или прямой) круговой цилиндр с радиусом и высотой . Обрезанная таким образом поверхность называется внешней поверхностью цилиндра, каждая поверхность среза, перпендикулярная оси, может называться базовой поверхностью .${\ displaystyle r}$${\ displaystyle h}$

Поскольку можно представить себе прямой круговой цилиндр, образованный вращением на определенное расстояние вокруг (параллельной) оси цилиндра, его также называют вращающимся цилиндром . Образующие линии называются линиями поверхности цилиндра или образующими .

В технике под цилиндром часто понимают тело , заключенное между боковой поверхностью и двумя круглыми режущими поверхностями.

В математике цилиндр определяется в более общем смысле (см. Раздел об общих цилиндрах ).

Круглый цилиндр

На практике вертикальный круговой цилиндр в разных вариациях играет важную роль. Поэтому для этого даются конкретные формулы.

Вертикальный круговой цилиндр

Прямой круговой цилиндр с размотанной рубашкой

Это возникает для

• объем (основание × высота)${\ Displaystyle В = \ пи \; г ^ {2} \; ч \,}$
• внешняя поверхность (развертка - прямоугольник длины и высоты )${\ Displaystyle М = 2 \ пи р \; ч \,}$${\ displaystyle 2 \ pi r}$${\ displaystyle h}$
• поверхность ${\ displaystyle O = 2 \ pi r ^ {2} +2 \ pi rh \.}$

Прямой круговой цилиндр с называется равносторонним цилиндром . Это обозначение объясняется следующим образом: если вы пересечете такой цилиндр с плоскостью, содержащей ось цилиндра, вы получите квадрат (с длиной стороны ). ${\ displaystyle h = 2r}$${\ displaystyle 2r}$

Если поперечное сечение представляет собой эллипс с полуосями , то ${\ displaystyle a, b}$

• ${\ Displaystyle V = \ пи от \; ч \.}$ Нет простой формулы для определения площади поверхности.

Полый цилиндр

Полый цилиндр

Если прямой круговой цилиндр имеет отверстие вдоль оси, его называют полым цилиндром . Для полого цилиндра - например, прямого отрезка трубы - определяющими параметрами являются высота, внешний радиус и внутренний радиус . Толщина стенок б , таким образом . ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle Rr}$

• Объем ${\ Displaystyle V = \ pi R ^ {2} h- \ pi r ^ {2} h = \ pi (R ^ {2} -r ^ {2}) \; h \,}$
• внешняя поверхность (внутри и снаружи) ${\ Displaystyle М = 2 \ пи (р + г) \; час \,}$
• поверхность ${\ displaystyle O = 2 \ pi (R ^ {2} -r ^ {2}) + 2 \ pi (R + r) \; h = 2 \ pi (R + r) (R-r + h) \.}$

Если высота полого цилиндра меньше, чем его внешний радиус , его называют перфорированным диском с концентрическим круглым отверстием. ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle R}$

Секция цилиндра

косо разрезанный прямой круговой цилиндр

Если вы разрежете прямой круговой цилиндр (радиус ) плоскостью под углом, в виде кривой пересечения будет создан эллипс. Если нижняя часть цилиндра имеет минимальную высоту и максимальную высоту , то эллипс среза имеет ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle h_ {1}}$${\ displaystyle h_ {2}}$

• большая полуось и малая полуось , где - с углом наклона плоскости резания,${\ displaystyle a = {\ sqrt {r ^ {2} + ({\ tfrac {h_ {2} -h_ {1}} {2}}) ^ {2}}}}$${\ displaystyle b = r}$${\ displaystyle {\ tfrac {h_ {2} -h_ {1}} {2}} = r \ tan {\ beta}}$${\ displaystyle \ beta}$
• численный эксцентриситет .${\ Displaystyle \ varepsilon = \ грех \ бета}$

Сама секция цилиндра имеет

• объем ,${\ displaystyle V = \ pi r ^ {2} ({\ tfrac {h_ {1} + h_ {2}} {2}})}$
• внешняя поверхность ${\ displaystyle M = 2 \ pi r ({\ tfrac {h_ {1} + h_ {2}} {2}}) = \ pi r (h_ {1} + h_ {2}),}$
• поверхность .${\ displaystyle O = \ pi (r ^ {2} + ar) + \ pi r (h_ {1} + h_ {2}) = \ pi r (r + a + h_ {1} + h_ {2}) }$

Примечание: объем и площадь такие же, как у цилиндра средней высоты . ${\ displaystyle {\ tfrac {h_ {1} + h_ {2}} {2}}}$

Расчет объема горизонтального кругового цилиндра (задача резервуара)

Частично заполненный горизонтальный цилиндр (бак)

Содержимое частично заполненного горизонтального кругового цилиндра можно рассчитать на основе длины , радиуса и уровня заполнения . В соответствии с приведенным выше уравнением объема = базовая · высота , объем наполнения рассчитывается путем умножения площади поверхности в сегменте окружности с длиной цилиндра: ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle V = r ^ {2} L \ left (\ arccos \ left ({\ frac {rh} {r}} \ right) - (rh) {\ frac {\ sqrt {2rh-h ^ {2}) }} {г ^ {2}}} \ right)}$.

Общий цилиндр

Определение общего цилиндра и пример наклонного кругового цилиндра

Примеры цилиндров: вверху круговой цилиндр и эллиптический цилиндр, внизу: призмы

В математике цилиндр (оболочка) определяется более широко:

• Плоская кривая на плоскости смещается на фиксированное расстояние по прямой, не входящей в. Две соответствующие точки кривых и сдвинутая кривая соединены отрезком. Совокупность этих параллельных линий образует соответствующую цилиндрическую поверхность (см. Рисунок). Кривая называется направляющей кривой . Прямая, лежащая на цилиндре, называется образующей или линией поверхности .${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle c_ {1}}$${\ displaystyle c_ {0}}$

Если кривая представляет собой круг, создается наклонный круговой цилиндр . Если есть, результатом будет вертикальный круговой цилиндр. ${\ displaystyle {\ vec {a}} \ perp \ varepsilon _ {0}}$

Является ли замкнутая кривой, можно рассматривать в качестве задней поверхности тела, периферийной поверхности с двумя граничными поверхностями. Если кривая не замкнута, например Б. параболическая дуга (см. Ниже), цилиндр - это только описанная выше внешняя поверхность, которая, однако, может быть частью поверхности тела. ${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle c_ {0}}$

Геометрическая особенность поверхности цилиндра заключается в следующем:

• Цилиндрическая поверхность содержит прямую, линейчатую поверхность и не может деформироваться в плоскости обрабатываемой поверхности .

Это свойство, в частности, делает поверхность цилиндра интересной для изготовления облицовки из листового металла.

• Если образующая кривая представляет собой многоугольник, говорят о призме (см. Примеры).

Свойства общего цилиндра

Наклоняющийся цилиндр: обозначения

Объем, боковая поверхность и поверхность общего цилиндра рассчитываются следующим образом:

• Объем : если это замкнутая кривая,${\ Displaystyle V = G \ cdot ч \,}$${\ displaystyle c_ {0}}$

где площадь основания (в закрытом помещении) и высота (см Cavalier принцип ).${\ displaystyle G}$${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle h}$

В случае призмы площадь основания может быть вычислена либо напрямую (прямоугольник), либо путем подходящего разложения на треугольники и / или прямоугольники (см. Площадь ). Если кривая кусочно-гладкая, содержание можно определить напрямую или численно с использованием подходящих интегралов. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle c_ {0}}$

• Наружная поверхность :${\ Displaystyle М = U \ CDOT L \,}$

где окружность ( длина дуги ) поперечного сечения (кривая пересечения с линиями поверхности) и длина поверхности (см. рисунок). Примечание: можно понимать как вертикальную параллельную проекцию направляющей кривой на любую плоскость поперечного сечения (перпендикулярную линиям поверхности).${\ displaystyle U}$${\ displaystyle c _ {\ perp}}$${\ displaystyle \ perp}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle c _ {\ perp}}$${\ displaystyle c_ {0}}$

Для вертикального цилиндра - длина направляющей кривой . ${\ displaystyle l = h}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle c_ {0}}$

Для наклонного цилиндра, высота находится где угол оси цилиндра (направление от ) и нормали к плоскости . В случае наклонного круглого или эллиптического цилиндра кривая поперечного сечения представляет собой эллипс, в случае призмы - многоугольник. Сфера просто в многоугольнике сумма длин ребер в круге . В случае, когда направляющая кривая является гладкой по частям , можно попытаться вычислить длину кривой поперечного сечения, используя интеграл кривой . Но даже с эллипсом, который не является кругом, это уже проблема (см. Эллиптический интеграл ), которую можно решить только численно. ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle l = {\ tfrac {h} {\ cos \ varphi}} \,}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$${\ displaystyle c _ {\ perp}}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle 2 \ pi r}$${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle c _ {\ perp}}$

• Поверхность : если - замкнутая кривая.${\ Displaystyle О = М + 2 \ cdot G}$${\ displaystyle c_ {0}}$

Аналитическое описание

косо-эллиптический цилиндр общего положения

вертикальный круговой цилиндр в общем положении

параболический цилиндр

гиперболический цилиндр

Наружная поверхность вертикального кругового цилиндра с радиусом и высотой , которая находится на плоскости х и имеет ось г в качестве оси, может быть описана уравнением в х, у и неравенство для г: ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle h}$

• ${\ Displaystyle х ^ {2} + y ^ {2} = R ^ {2}, \ 0 \ leq z \ leq h \,}$

Если вы хотите , чтобы полный цилиндр описать, вы должны по имея заменить. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle 0 \ Leq R \ Leq R}$

Если круговое уравнение заменить уравнением эллипса , получится описание вертикального эллиптического цилиндра:

• ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1, \ quad 0 \ leq z \ leq h \.}$ Объем ${\ Displaystyle V = \ пи от \; ч \.}$

Параметрическое представление вертикального кругового или эллиптического цилиндр получают с помощью обычного параметрического представления окружности или эллипса:

• ${\ displaystyle {\ vec {x}} (\ varphi, z) = (р \ соз \ varphi, R \ sin \ varphi, z), \ quad 0 \ leq \ varphi <2 \ pi, \ 0 \ leq z \ leq h}$
• ${\ displaystyle {\ vec {x}} (\ varphi, z) = (a \ соз \ varphi, b \ sin \ varphi, z), \ quad 0 \ leq \ varphi <2 \ pi, \ 0 \ leq z \ leq h \.}$

Трудно дать уравнение цилиндра, свободно поддерживаемого в пространстве. С другой стороны, параметрическое представление любого эллиптического цилиндра относительно просто:

• ${\ displaystyle {\ vec {x}} (\ varphi, t) = {\ vec {q}} _ {0} + {\ vec {f}} _ {1} \ cos \ varphi + {\ vec {f }} _ {2} \ sin \ varphi + {\ vec {f}} _ {3} t, \ quad 0 \ leq \ varphi <2 \ pi, \ 0 \ leq t \ leq 1 \.}$

Здесь центр нижнего эллипса и три линейно независимых вектора. указывает в направлении оси цилиндра (см. рисунок). ${\ displaystyle {\ vec {q}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}, {\ vec {f}} _ {3}}$${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {3}}$

Если три вектора попарно ортогональны и равны , то параметрическое представление описывает вертикальный круговой цилиндр с радиусом и высотой (см. Рисунок). ${\ displaystyle {\ vec {f}} _ {1}, {\ vec {f}} _ {2}, {\ vec {f}} _ {3}}$${\ displaystyle | {\ vec {f}} _ {1} | = | {\ vec {f}} _ {2} | = R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle | {\ vec {f}} _ {3} |}$

Тот факт, что любой эллиптический цилиндр всегда содержит круги, показан в плоскости кругового сечения.

Этот тип параметрического представления очень гибкий. Например, предоставляет

• ${\ displaystyle {\ vec {x}} (s, t) = {\ vec {q}} _ {0} + {\ vec {f}} _ {1} s + {\ vec {f}} _ { 2} s ^ {2} + {\ vec {f}} _ {3} t, \ quad -s_ {0} \ leq s \ leq s_ {0}, \ 0 \ leq t \ leq 1 \.}$

представляет собой параболический цилиндр в общем положении (см. рисунок, парабола ).

Вертикальный параболический цилиндр также может быть пропущен через таким же образом , как вертикальный круговой цилиндр

• ${\ Displaystyle у = топор ^ {2}, \ 0 \ Leq г \ Leq ч \,}$

описать.

Параметрическое представление

• ${\ displaystyle {\ vec {x}} (s, t) = {\ vec {q}} _ {0} \ pm {\ vec {f}} _ {1} \ cosh s + {\ vec {f} } _ {2} \ sinh s + {\ vec {f}} _ {3} t, \ quad -s_ {0} \ leq s \ leq s_ {0}, \ 0 \ leq t \ leq 1 \.}$

представляет собой гиперболический цилиндр общего положения (см. гиперболу ).

Вертикальный гиперболической цилиндр может быть пропущен через аналогичен вертикальный эллиптический цилиндр

• ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1, \ 0 \ leq z \ leq H \,}$

описать.

Примеры применения

силос

цилиндрические силосы для зерна

Силосы для зерна часто имеют форму цилиндра.

Цилиндрический бункер с диаметром 12 м и высотой 60 м до 40 процентов с пшеницей , заполненной. Так оно и есть . ${\ Displaystyle г = 6 \ \ mathrm {м}}$${\ Displaystyle ч = 0 {,} 4 \ cdot 60 \ \ mathrm {m} = 24 \ \ mathrm {m}}$

Это придает объем и поверхность :

• Объем :${\ displaystyle V = \ pi \ cdot r ^ {2} \ cdot h = \ pi \ cdot (6 \ \ mathrm {m}) ^ {2} \ cdot 24 \ \ mathrm {m} \ около 2714 \ \ mathrm {м ^ {3}}}$

• Поверхность :${\ Displaystyle O = 2 \ cdot \ pi \ cdot r \ cdot (r + h) = 2 \ cdot \ pi \ cdot 6 \ \ mathrm {m} \ cdot (6 \ \ mathrm {m} +24 \ \ mathrm {m}) \ приблизительно 1131 \ \ mathrm {m ^ {2}}}$

Бункер зерна будет заполнен с около 2714 кубических метров пшеницы . Поверхности составляет около 1131 квадратных метров .

Стакан для питья

Примерно цилиндрический стакан для питья

Некоторые стаканы имеют форму цилиндра.

Цилиндрический стакан для питья с диаметром 74 мм и высотой заполнения 92 миллиметров наполовину заполнен с апельсиновым соком . Так оно и есть . ${\ Displaystyle г = 37 \ \ mathrm {мм}}$${\ Displaystyle ч = {\ tfrac {1} {2}} \ cdot 92 \ \ mathrm {мм} = 46 \ \ mathrm {мм}}$

Это придает объем и поверхность :

• Объем :${\ displaystyle V = \ pi \ cdot r ^ {2} \ cdot h = \ pi \ cdot (37 \ \ mathrm {mm}) ^ {2} \ cdot 46 \ \ mathrm {mm} \ приблизительно 198 \ cdot 10 ^ {3} \ \ mathrm {мм ^ {3}} = 198 \ \ mathrm {см ^ {3}} = 198 \ \ mathrm {ml}}$

• Поверхность :${\ displaystyle O = 2 \ cdot \ pi \ cdot r \ cdot (r + h) = 2 \ cdot \ pi \ cdot 37 \ \ mathrm {мм} \ cdot (37 \ \ mathrm {мм} +46 \ \ mathrm {мм}) \ приблизительно 193 \ cdot 10 ^ {2} \ \ mathrm {мм ^ {2}} = 193 \ \ mathrm {см ^ {2}}}$

Стакан для питья будет заполнен примерно 198 миллилитров апельсинового сока . Поверхность составляет около 193 квадратных сантиметров .

Смотри тоже

• Развитие (начертательная геометрия)
• Квадрик
• Точка пересечения (начертательная геометрия)
• Кузов Steinmetz (секция из двух или трех полных цилиндров)

литература

• Бронштейн-Семендяев: Математика в мягкой обложке. Harri-Deutsch-Verlag, 1983, ISBN 3-87144-492-8 , стр. 251.
• Арнфрид Кемниц: Математика в начале учебы: базовые знания для всех технических, математических, естественно-научных и экономических курсов . Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-1293-3 , стр. 154–157 ( выдержка (Google) ).

веб ссылки

• mathematik.tu-darmstadt.de Hartmann: Компьютерная исполнительная и конструктивная геометрия , Университет Дармштадта, стр. 99.
• math.kit.edu Реннер: боковые поверхности наклонных тел КИТ Карлсруэ
• uni-regensburg.de Rothmeier: Геометрические тела , Регенсбургский университет