Символизм Германа Могена

Обозначения Германнов-Mauguin используются для описания элементов симметрии и группы симметрии используется. Он назван в честь кристаллографов Карла Германа и Шарля-Виктора Могена . Его основная область применения - описание 32 кристаллографических точечных групп и 230 кристаллографических пространственных групп . Он также используется для описания двумерных планарных групп , двумерных и трехмерных субпериодических групп ( орнамент ленты , группы стержней и слоев ) и некристаллографических групп. Он стандартизирован в Международных таблицах для кристаллографии . В дополнение к символике Германа-Могена, существует написание в соответствии с Артуром Морицем Шёнфлисом , символизмом Шёнфлиса . Однако его редко используют для описания кристаллического состояния, а скорее для описания симметрии молекул .

Условные обозначения элементов симметрии

Центр инверсии

• ${\ displaystyle {\ bar {1}}}$: Центр инверсии. Умножение частицы на точечное отражение . В общей сложности создаются две эквивалентные по симметрии частицы.

Оси вращения

Вращение вокруг представлено (произносится как «n-кратное вращение»). Особыми случаями являются вращение на 360 ° в соответствии с тождеством и вращение на любой небольшой угол. ${\ displaystyle {\ frac {360 ^ {\ circ}} {n}}}$${\ Displaystyle п \}$${\ displaystyle 1 \}$${\ displaystyle \ infty {}}$

Следующие повороты могут происходить в кристаллографическом пространстве и точечных группах.

• ${\ displaystyle 1 \}$: Идентичность - это элемент каждой группы.
• ${\ displaystyle 2 \}$: двойная ось вращения, т.е. поворот на 180 °. Всего создаются две эквивалентные по симметрии частицы.
• ${\ displaystyle 3 \}$: тройная ось вращения, т.е. вращение на 120 °. Всего создается три частицы, эквивалентные симметрии.
• ${\ displaystyle 4 \}$: ось вращения четвертого порядка, то есть поворот на 90 °. Всего создается четыре эквивалентных по симметрии частицы.
• ${\ displaystyle 6 \}$: шестикратная ось вращения, т.е. поворот на 60 °. Всего создается шесть эквивалентных по симметрии частиц.

Зеркальная плоскость

• ${\ displaystyle m \}$: Зеркальное отражение. Умножение частицы путем ее отражения на плоскости . В общей сложности создаются две эквивалентные по симметрии частицы.

Связанные операции симметрии (оси инверсии вращения)

• ${\ displaystyle {\ bar {2}}}$: ось двукратного поворота, т.е. поворот на 180 ° и последующее точечное отражение. Всего создаются две эквивалентные по симметрии частицы. Поскольку эта операция приводит к тому же результату, что и зеркальное отображение на плоскости, этот символ не используется, но всегда указывается как плоскость зеркала .${\ displaystyle m \}$
• ${\ displaystyle {\ bar {3}}}$: ось трехкратного поворота, т.е. поворот на 120 ° и последующее точечное отражение. Всего создается шесть эквивалентных по симметрии частиц.
• ${\ displaystyle {\ bar {4}}}$: инверсия оси четырехкратного вращения, т.е. поворот на 90 ° с последующим точечным отражением. Всего создается четыре частицы, эквивалентные симметрии.
• ${\ displaystyle {\ bar {6}}}$: инверсия оси шестикратного вращения, т.е. поворот на 60 ° и последующее точечное отражение. Всего создается шесть эквивалентных по симметрии частиц.

Комбинированные операции симметрии (оси вращения перпендикулярны плоскостям зеркала)

Оба приведенных обозначения эквивалентны. Первое распространено в более старой литературе.

• ${\ displaystyle {\ frac {2} {m}}}$или : двукратная ось вращения, перпендикулярная плоскости зеркала (произносится «два на м»). Всего создается четыре частицы, эквивалентные симметрии.${\ Displaystyle 2 / м \}$
• ${\ displaystyle {\ frac {3} {m}}}$или : тройная ось вращения, перпендикулярная плоскости зеркала (произносится как «три на м»). Всего создается шесть эквивалентных по симметрии частиц. Поскольку эта операция приводит к тому же результату, что и ось инверсии шестикратного вращения, этот символ не используется, но всегда указывается как ось инверсии шестикратного вращения .${\ Displaystyle 3 / м \}$${\ displaystyle {\ bar {6}}}$
• ${\ displaystyle {\ frac {4} {m}}}$или : четырехкратная ось вращения, перпендикулярная плоскости зеркала (произносится «четыре на м»). Всего создается восемь эквивалентных по симметрии частиц.${\ Displaystyle 4 / м \}$
• ${\ displaystyle {\ frac {6} {m}}}$или : шестикратная ось вращения, перпендикулярная плоскости зеркала (произносится «шесть на м»). Всего создается двенадцать эквивалентных по симметрии частиц.${\ Displaystyle 6 / м \}$

Символы точечных групп

32 точечные группы (кристаллические классы) могут быть описаны с помощью символов, описанных выше , поскольку операции симметрии кристаллических классов не содержат никаких трансляций (см. Раздел о пространственных группах).

В триклинной кристаллической системе есть точечные группы (отсутствие центров инверсии) и (наличие центров инверсии). Для других кристаллических систем операции симметрии даны относительно трех заданных кристаллографических направлений. ${\ displaystyle 1 \}$${\ displaystyle {\ bar {1}}}$

Кристаллическая система	1 позиция	2 место	3-я позиция
моноклинический	${\ Displaystyle [100] \;}$	${\ Displaystyle [010] \;}$	${\ Displaystyle [001] \;}$
ромбический	${\ Displaystyle [100] \;}$	${\ Displaystyle [010] \;}$	${\ Displaystyle [001] \;}$
четырехугольный	${\ Displaystyle [001] \;}$	${\ displaystyle \ langle 100 \ rangle}$	${\ displaystyle \ langle 110 \ rangle}$
тригональный	${\ Displaystyle [00.1] \;}$	${\ displaystyle \ langle 10.0 \ rangle}$	${\ Displaystyle \ langle 12.0 \ rangle}$
шестиугольник	${\ Displaystyle [00.1] \;}$	${\ displaystyle \ langle 10.0 \ rangle}$	${\ Displaystyle \ langle 12.0 \ rangle}$
тригональное , ромбоэдрическое расположение	${\ Displaystyle [111] \;}$	${\ displaystyle \ langle 1 {\ bar {1}} 0 \ rangle}$
кубический	${\ displaystyle \ langle 100 \ rangle}$	${\ displaystyle \ langle 111 \ rangle}$	${\ displaystyle \ langle 110 \ rangle}$

(Направления, выделенные цветом, как правило, не указываются в символах точечных групп, поскольку никогда не используются другие элементы симметрии, кроме или . Однако они иногда требуются для символов пространственных групп.) ${\ displaystyle 1 \}$${\ displaystyle {\ bar {1}}}$

Оси вращения и инверсии вращения заданы параллельно, а плоскости зеркала перпендикулярны этим направлениям. В случае групп тригональных точек обратите внимание, что направления в первой строке даны относительно гексагонального расположения системы координат. Избыточная информация опущена в сокращенных обозначениях символов Германа Могена. Вместо этого , например, написано. ${\ Displaystyle 4 / м \ 2 / м \ 2 / м}$${\ Displaystyle 4 / м \ м \ м}$

Обозначения пространственной группы

Назначение групп комнат в принципе аналогично обозначению групп точек. Кроме того, добавлена сетка Браве :

• P: примитивный
• A, B или C: по центру лица
• Q: по центру со всех сторон
• I: внутреннее центрирование
• R: шестиугольная сетка с ромбоэдрическим центрированием

Также есть дополнительные символы:

• ${\ displaystyle n_ {m} \}$: -Многочисленные винтовые оси с перемещением вокруг частей вектора сетки.${\ Displaystyle п \}$${\ displaystyle {\ frac {m} {n}}}$
• ${\ Displaystyle а \}$, или : скользящая зеркальная плоскость со смещением по половине вектора сетки.${\ displaystyle b \}$${\ displaystyle c \}$
• ${\ Displaystyle п \}$: Скользящая зеркальная плоскость с перемещением по половине диагонали поверхности.
• ${\ displaystyle d \}$: Плоскость скользящего зеркала с перемещением по диагонали в четверть поверхности.
• ${\ Displaystyle е \}$: Два скользящих зеркала с одинаковой плоскостью скользящего зеркала и перемещением вдоль двух (разных) векторов полрешетки.

Примером четырехугольной пространственной группы в сокращенном виде является . ${\ Displaystyle I \ 4_ {1} / а \ м \ d}$

литература

• Хан, Тео (ред.): Международные таблицы для кристаллографии, том A. Издательская компания D. Reidel, Дордрехт, 1983, ISBN 90-277-1445-2