Идеальный газ

В физике и физической химии идеальный газ - это конкретная идеализированная модель реального газа . Он основан на большом количестве беспорядочно движущихся частиц и рассматривает только жесткие, упругие столкновения друг с другом и со стенками как взаимодействия между частицами. Хотя эта модель представляет собой большое упрощение, ее можно использовать для понимания многих термодинамических процессов в газах и для их математического описания.

В квантовой механике проводится различие между идеальными бозегазами и идеальными фермигазами .

Модель идеального газа

В модели идеального газа классической физики все частицы газа считаются нерасширяющимися массовыми точками, которые могут свободно перемещаться в доступном им объеме. По сути, применяется несколько идеализаций, из которых вытекают многие другие свойства:

Частицы идеального газа свободны, они не оказывают друг на друга сил притяжения или отталкивания. Между стенкой и частицей происходят только упругие столкновения.
Сами частицы идеального газа не занимают никакого объема в своем пространстве.
Частицы идеального газа не вращаются и не вибрируют. Их энергия является исключительно кинетической энергией в поступательном движении в пространстве.

Реальные частицы также могут накапливать энергию при собственном вращении; более того, в молекулах могут возбуждаться колебания атомов друг относительно друга. В уравнении Ван-дер-Ваальса первые две идеализации исправлены, чтобы лучше адаптировать модель идеального газа к реальным газам.

Под свободными подразумевается, что частицы не чувствуют никаких сил . Однако могут (и должны) частицы друг к другу и к стенке объема сбрасываться . Частица газа движется по прямой с постоянной скоростью до тех пор, пока удар не поворачивает ее в другом направлении, и при этом она может ускоряться или замедляться.

Модель должна выдерживать удары. Если бы не допустить каких-либо ударов, он не смог бы заблокировать газ в объеме, потому что он не заметил бы стенки, а с другой стороны, каждая частица газа сохраняла бы свою начальную скорость все время. Последний, например, B. предотвратить равномерное распределение энергии, поступающей в газ, в среднем по всем степеням свободы . Такая система не может стремиться к термодинамическому равновесию . В результате столкновений частицы перемещаются только на короткий свободный путь . Чтобы столкновения произошли, необходимо принять поперечное сечение столкновения . Более точные модели показывают, что (среднее) сечение столкновения должно быть задано как функция температуры ( константа Сазерленда ), что следует понимать как зависимость процесса столкновения от энергии двух частиц.

термодинамика

Обозначение формулы	имея в виду
Переменные состояния
${\ displaystyle p}$	давление
${\ displaystyle V}$	объем
${\ displaystyle N}$	Количество частиц (количество частиц)
${\ displaystyle T}$	Абсолютная температура
${\ displaystyle n}$	Количество вещества
${\ displaystyle m}$	Габаритные размеры
${\ displaystyle U}$	Внутренняя энергия
${\ displaystyle F}$	Свободная энергия
Константы
${\ Displaystyle к _ {\ mathrm {B}}}$	Постоянная Больцмана
${\ displaystyle R}$	Универсальная газовая постоянная
${\ displaystyle R_ {s}}$	удельная газовая постоянная
${\ displaystyle h}$	Планковский квант действия

Уравнения состояния

Термическое уравнение состояния для описания идеального газа называется общим уравнением газа . Впервые он был выведен из различных индивидуальных эмпирических законов газа . Позже статистика Больцмана позволила получить прямое обоснование, основанное на микроскопическом описании системы, состоящей из отдельных частиц газа.

Общее уравнение газа описывает зависимости переменных состояния идеального газа друг от друга. В литературе он обычно приводится в одной из следующих форм:

{\ displaystyle p \ cdot V = n \ cdot R \ cdot T \ qquad p \ cdot V = N \ cdot k _ {\ mathrm {B}} \ cdot T \ qquad p \ cdot V = m \ cdot R_ {s } \ cdot T,}

где обозначает на универсальную газовую постоянную и представляет на конкретную константу газа . С помощью этого уравнения и основных принципов термодинамики термодинамические процессы идеальных газов могут быть описаны математически. ${\ Displaystyle R = 8 {,} 314 \, 462 \, 618 \ точек \, \ mathrm {J} \ cdot \ mathrm {mol} ^ {- 1} \ cdot \ mathrm {K} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle R_ {s}}$

Помимо теплового, в термодинамике существует еще калорическое уравнение состояния. Для идеального газа (без внутренних степеней свободы ) это выглядит так :

{\ displaystyle U = {\ frac {3} {2}} \ cdot n \ cdot R \ cdot T \ qquad U = {\ frac {3} {2}} \ cdot N \ cdot k _ {\ mathrm {B }} \ cdot T.}

Однако тепловые и калорические уравнения состояния зависят друг от друга, что и называется вторым законом термодинамики.

Свойства идеальных газов

Идеальный газ обладает рядом особых свойств, все из которых можно вывести из общего уравнения газа и основных законов термодинамики. Общее уравнение газа - это краткое изложение различных законов:

Теорема Авогадро: Одинаковые объемы идеальных газов содержат одинаковое количество молекул при одинаковом давлении и температуре.

Количество вещества как мера количества частиц (атомов или молекул) измеряется в международной единице моля . ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle 1 \ \ mathrm {mol} \ приблизительно 6 {,} 022 \ cdot 10 ^ {23} \ \ mathrm {particle}.}

Таким образом, моль кратна единице.

Объем идеального газа с определенным количеством вещества при стандартных условиях (согласно DIN 1343) ${\ Displaystyle п = 1 {\ rm {mol}}}$

( и )

{\ displaystyle p = 1 \ \ mathrm {atm} = 1 {,} 01325 \ cdot 10 ^ {5} \ \ mathrm {Pa}}

{\ Displaystyle Т = 0 \ ^ {\ mathrm {o}} \ mathrm {C} = 273 {,} 15 \ \ mathrm {K}}

получается из общего уравнения газа:

{\ Displaystyle В = {\ гидроразрыва {1 \ \ mathrm {mol} \ cdot 8 {,} 314 \, 463 \ \ mathrm {J \ cdot mol ^ {- 1} \ cdot K ^ {- 1}} \ cdot 273 {,} 15 \ \ mathrm {K}} {1 {,} 01325 \ cdot 10 ^ {5} \ \ mathrm {Pa}}} = 0 {,} 022 \, 413 \, 97 \ \ mathrm {m ^ {3}} = 22 {,} 413 \, 97 \ \ mathrm {dm ^ {3}} = 22 {,} 413 \, 97 \ \ mathrm {L}.}

Молярная масса (масса 1 моль) соответствует массе количества газа, которое содержится при 0 ° C и в объеме 22,413 97 литров (измеряется по разнице веса наполненного газом и затем откачанного поршня). ${\ displaystyle \ mathrm {M}}$ ${\ displaystyle 1 \ \ mathrm {atm} = 1 {,} 01325 \ \ mathrm {bar}}$

Закон Бойля - Мариотта: При постоянной температуре давление обратно пропорционально объему: ${\ displaystyle p \ sim V ^ {- 1} \ qquad (T \ \ mathrm {const.})}$

Закон Амонтона: При постоянном объеме давление увеличивается, как и абсолютная температура: ${\ Displaystyle п \ сим Т \ qquad (В \ \ mathrm {const.})}$

Этот закон лежит в основе газового термометра Jolly.

Закон Гей-Люссака: При постоянном давлении объем увеличивается, как и абсолютная температура: ${\ Displaystyle В \ сим Т \ qquad (п \ \ mathrm {const.})}$

Молярный объем идеального газа

Молярный объем идеального газа V _m0 - это фундаментальная физическая константа, которая представляет молярный объем идеального газа при нормальных условиях , т. Е. ЧАС. при нормальном давлении p ₀ = 101,325 кПа и нормальной температуре T ₀ = 273,15 К. Он рассчитывается с использованием универсальной газовой постоянной R как:

{\ displaystyle {\ begin {align} V _ {\ mathrm {m} 0} = {\ frac {R \, T_ {0}} {p_ {0}}} \ приблизительно 22 {,} 413 \, 97 \ cdot 10 ^ {- 3} \, {\ frac {\ mathrm {m} ^ {3}} {\ mathrm {mol}}} \ приблизительно \ mathrm {22 {,} 414} \, {\ frac {\ mathrm {\ ell}} {\ mathrm {mol}}} \ конец {выровнено}}}

Поскольку R имеет точное значение из-за определения единиц измерения , можно также точно указать V _m0 .

Термодинамические величины

В общем, к идеальному газу применимо следующее:

Теплоемкость (одноатомная): ${\ Displaystyle C_ {V} = {\ tfrac {3} {2}} Nk _ {\ mathrm {B}} \, \ quad C_ {p} = {\ tfrac {5} {2}} Nk _ {\ mathrm {B}}}$
Коэффициент адиабаты (одноатомный): ${\ displaystyle \ kappa = {\ tfrac {5} {3}}}$
Изменение энтропии : ${\ Displaystyle \ Delta S = C_ {V} \ ln \! \ left ({\ frac {T_ {2}} {T_ {1}}} \ right) + Nk _ {\ mathrm {B}} \ ln \ ! \ left ({\ frac {V_ {2}} {V_ {1}}} \ right)}$
коэффициент изобарного объемного расширения : ${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {T}}}$
изотермическая сжимаемость : ${\ displaystyle \ kappa _ {T} = {\ frac {1} {p}}}$
коэффициент изохорного напряжения : ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {T}}}$

В нормальных условиях для идеального газа справедливо следующее:

молярный объем : ${\ displaystyle V_ {M} = 0 {,} 022414 \, {\ frac {\ mathrm {m} ^ {3}} {\ mathrm {mol}}} = 22 {,} 414 \, {\ frac {\ mathrm {l}} {\ mathrm {mol}}}}$
Коэффициент объемного расширения: ${\ displaystyle \ gamma _ {0} = {\ frac {1} {273 {,} 15}} \, \ mathrm {K} ^ {- 1}}$
изотермическая сжимаемость: ${\ displaystyle \ kappa _ {0} = {\ frac {1} {101325}} \, \ mathrm {Pa} ^ {- 1}}$

Идеальная газовая смесь

Обратимый цикл : разделение газовой смеси (желтый) с помощью частично проницаемых мембран (красная или синяя пластина) на компонент A (зеленый) и компонент B (коричневый). Энтропия остается постоянной во время этого процесса.

Напротив, это покадровая иллюстрация обратимой сегрегации идеальной газовой смеси с помощью частично проницаемых ( полупроницаемых ) мембран. Левая (красная) мембрана проницаема для компонентов (зеленый) и непроницаема для компонентов (коричневый), в то время как правая (синяя) мембрана, наоборот, непроницаема для компонентов и проницаема для компонентов . Поршни имеют одинаковые размеры и двигаются с одинаковой скоростью. Суммарная работа внешних сил (красные стрелки на цилиндрах) равна нулю. Опыт показал, что при смешивании идеальных газов не возникает тепла смешивания, и то же самое относится к обратимой сегрегации. Ни работа, ни тепло не обмениваются с окружающей средой. Поскольку процесс обратимый, энтропия остается постоянной. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

Обозначает изменение объема за один ход, давление, энтропию и температуру смеси, и , , , и , , , соответствующие количества компонента или , то: ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle V_ {A}}$ ${\ displaystyle p_ {A}}$ ${\ displaystyle S_ {A}}$ ${\ displaystyle T_ {A}}$ ${\ displaystyle V_ {B}}$ ${\ displaystyle p_ {B}}$ ${\ displaystyle S_ {B}}$ ${\ displaystyle T_ {B}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

${\ Displaystyle V = V_ {A} = V_ {B}}$
${\ displaystyle p = p_ {A} + p_ {B}}$ ( Закон Дальтона )
${\ Displaystyle S = S_ {A} + S_ {B}}$
${\ displaystyle T = T_ {A} = T_ {B}}$

Аналогично для многокомпонентной идеальной газовой смеси:

{\ Displaystyle S (Т, В) = \ сумма _ {я} S_ {я} (Т, В),}

когда обозначает энтропию смеси и энтропию отдельного -го компонента при температуре и объеме . ${\ Displaystyle S (Т, В)}$ ${\ Displaystyle S_ {я} (Т, В)}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle V}$

Идеальные газы одинаковой температуры накладываются друг на друга в общем объеме, не влияя друг на друга, в результате чего давление (закон Дальтона), термодинамические потенциалы (энтропия, внутренняя энергия, энтальпия) и теплоемкости отдельных компонентов складываются в соответствующие размеры смеси.

Энтропия смешения идеальной газовой смеси

Диффузионный эксперимент: различные газы смешиваются сами по себе за счет диффузии, и энтропия увеличивается.

На рисунке справа показано, как однородная смесь создается из двух изначально отдельных газов посредством диффузии. Температура и давление первоначально отделенных газов (зеленого или коричневого) одинаковы. При вращении верхней из двух цилиндрических емкостей своими плоскими уплотнительными поверхностями они прилегают друг к другу (1), которые представляют собой объединенные замкнутые объемы и замкнутый объем . Содержащиеся в нем газы диффундируют друг в друга (2) до тех пор, пока, наконец, без какого-либо внешнего воздействия не образуется однородная ( гомогенная ) смесь, в которой каждый компонент равномерно распределен по всему объему (3). Если газы ведут себя как идеальные газы, в процессе диффузии не возникает тепла смешения, и применимо следующее: ${\ displaystyle T_ {1} = T_ {2}}$ ${\ displaystyle p_ {1} = p_ {2}}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ ${\ Displaystyle V = V_ {1} + V_ {2}}$ ${\ displaystyle V}$

${\ Displaystyle p_ {1} V_ {1} = n_ {1} RT_ {1} \ qquad; \ qquad p_ {2} V_ {2} = n_ {2} RT_ {2}}$
${\ displaystyle p = p_ {1} = p_ {2}}$
${\ Displaystyle Т = Т_ {1} = Т_ {2}}$
${\ Displaystyle V = V_ {1} + V_ {2}}$

где и обозначают на число молей разделенных газов. ${\ displaystyle n_ {1}}$ ${\ displaystyle n_ {2}}$

Энтропия смешения соответствует изменению энтропии, когда газы расширяются от своих первоначальных объемов или до общего объема смеси : ${\ displaystyle V_ {1}}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ ${\ displaystyle V}$

{\ displaystyle \ Delta S = n_ {1} \ cdot R \ cdot \ ln {\ frac {V} {V_ {1}}} + n_ {2} \ cdot R \ cdot \ ln {\ frac {V} { V_ {2}}}}

или с , и : ${\ displaystyle n_ {1}}$ ${\ displaystyle n_ {2}}$ ${\ displaystyle n = n_ {1} + n_ {2}}$

{\ Displaystyle \ Delta S = R \ cdot \ left (n_ {1} \ cdot \ ln {\ frac {n} {n_ {1}}} + n_ {2} \ cdot \ ln {\ frac {n} { n_ {2}}} \ right)}

Для многокомпонентной идеальной газовой смеси аналогично действует следующее:

{\ displaystyle \ Delta S = R \ cdot \ sum _ {i} \ left (n_ {i} \ cdot \ ln {\ frac {n} {n_ {i}}} \ right) \ qquad {\ rm {с }} \ qquad n = \ sum _ {i} n_ {i}.}

Эта формула применима, если отделенные газы не содержат идентичных компонентов, даже для химически очень похожих газов, таких как орто- и параводород . Это также приблизительно применимо к энтропии смешения реальных газов: чем точнее, тем лучше они удовлетворяют уравнению идеального газа. Если два частичных объема и, но идентичные газы содержат, значит, при комбинации не происходит диффузия и нет энтропии смешения. Поэтому недопустимо позволять газам становиться все более и более похожими и, наконец, идентичными при непрерывном пересечении границы - см. Парадокс Гиббса . ${\ displaystyle V_ {1}}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$

Обратимая смесь газов

Обратимое смешивание и расслоение газа.

Не всякая смесь газов необратима. На рисунке показан мысленный эксперимент, в котором поршень слева имеет полупроницаемую (полупроницаемую) стенку, которая пропускает только газ A, но представляет собой барьер для газа B. Средняя стенка цилиндра также полупроницаема, но на этот раз для газа B. Правая часть откачана, так что на поршень с этой стороны не действует сила.

Схема 1 : Смесь газа A и газа B заполняет камеру. Общее давление складывается из парциальных давлений газа A и газа B.
Компоновка 2 : поршень был перемещен так, чтобы газ А мог попасть в образовавшееся пространство через левую стенку поршня. Газ Б, в свою очередь, попадает в правую комнату через полупроницаемую стену. Часть смеси остается в средней камере и продолжает воздействовать на поршень с суммой парциальных давлений газов A и B.

Как видно из равновесия сил на поршне (здесь также равновесия давления, поскольку эффективная площадь поршня одинакова во всех трех подпространствах), силы, возникающие из-за давления газа, компенсируют друг друга. Два парциальных давления чистых газов равны общему давлению смеси в каждом положении поршня. На практике такая конструкция вызывает трение поршня и уплотнений, а также потери при прохождении газов через полупроницаемые стенки. Однако нет никаких физических ограничений, так что эти потери можно уменьшить по желанию и теоретически свести к нулю. Полупроницаемые стенки также известны по крайней мере для некоторых газов, например для светящейся платины, которая проницаема для водорода, но блокирует кислород . Таким образом, смешивание и расслоение двух газов полностью обратимо, поскольку поршень находится в равновесии сжимающих сил в каждом положении и в теоретическом предельном случае может быть перемещен в любое положение без потерь и без усилий.

Статистическое описание

Хотя уравнения состояния вводятся в термодинамике как чисто эмпирические уравнения, они могут быть получены непосредственно из микроскопического описания системы как совокупности отдельных частиц газа с использованием средств статистической физики . Помимо описанных выше предположений самой модели, дальнейшее приближение не требуется. Возможность точного математического описания - одна из основных причин, почему идеальный газ широко используется в качестве простейшей модели газа и служит отправной точкой для создания более совершенных моделей.

Сумма состояний идеального одноатомного газа

Здесь статистическое описание идеального газа должно быть выполнено с помощью канонического ансамбля (для альтернативного вывода в микроканоническом ансамбле - уравнения Сакура-Тетроде ). Для этого рассмотрим систему частиц в объеме при постоянной температуре . Все термодинамические соотношения могут быть вычислены с помощью канонической статистической суммы, которая определяется следующим образом: ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle T}$

{\ Displaystyle Z (T, V, N) = \ sum _ {r} e ^ {- \ beta E_ {r}}, \ quad \ beta = {\ frac {1} {k _ {\ mathrm {B} } T}}.}

это

{\ displaystyle r \ in \ left \ {(\ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {N}; \ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, \ mathbf { p} _ {N}) | \ mathbf {r} _ {i} \ in V, \ mathbf {p} _ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {3}, i = 1, \ ldots, N \ Правильно \}}

состояние системы и

{\ displaystyle E_ {r} = E (\ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {N}; \ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {p } _ {N})}

связанная энергия. r _i - позиция, а p _{i -} импульс -й частицы. Для свободных невзаимодействующих частиц энергия не зависит от местоположения частиц и является суммой кинетических энергий частиц: ${\ displaystyle i}$

{\ Displaystyle E (\ mathbf {r} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {r} _ {N}; \ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {p} _ {N} ) = E (\ mathbf {p} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {p} _ {N}) = \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {\ mathbf {p} _ {k} ^ {2}} {2m}}.}

Вместо того, чтобы напрямую оценивать сумму состояний, ее можно вычислить проще, используя интеграл по фазовому пространству .

{\ displaystyle Z (T, V, N) = {\ frac {1} {N!}} {\ frac {1} {h ^ {3N}}} \ int _ {V} \! \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} _ {1} \ cdots \ int _ {V} \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} _ {N} \ int _ {\ mathbb {R} ^ { 3}} \! \ Mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {p} _ {1} \ cdots \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {p} _ {N} \; \ exp \ left (- \ beta \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {p_ {k} ^ {2}} {2m}} \ right). }

Дополнительный коэффициент учитывает неотличимость частиц газа. Пространственное интегрирование может быть выполнено элементарно, так как подынтегральное выражение не зависит от местоположения; это дает возведенный в степень объем . Кроме того, экспоненциальная функция разбивается на отдельные факторы для каждой компоненты импульса, благодаря чему отдельные гауссовы интегралы могут быть оценены аналитически: ${\ displaystyle 1 / N!}$ ${\ Displaystyle V ^ {N}}$

{\ displaystyle Z (T, V, N) = {\ frac {1} {N!}} \ left ({\ frac {V} {h ^ {3}}} \ right) ^ {N} {\ Bigg (} \ underbrace {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! \ mathrm {d} p \, e ^ {- p ^ {2} \ beta / 2m}} _ {= {\ sqrt { 2m \ pi / \ beta}} =: h / \ lambda} {\ Bigg)} ^ {3N}.}

В конечном итоге каноническая статистическая сумма идеального газа получается

{\ displaystyle Z (T, V, N) = {\ frac {1} {N!}} \ left ({\ frac {V} {h ^ {3}}} \ right) ^ {N} \ left ( {\ frac {2 \ pi m} {\ beta}} \ right) ^ {\ frac {3N} {2}} = {\ frac {1} {N!}} \ left ({\ frac {V} { \ lambda ^ {3}}} \ right) ^ {N},}

где на последнем шаге длина тепловой волны

{\ displaystyle \ lambda = h {\ sqrt {\ frac {\ beta} {2 \ pi m}}} ​​= {\ frac {h} {\ sqrt {2 \ pi mk _ {\ mathrm {B}} T}}}}

был представлен. Статистическая сумма имеет то свойство, что ее также можно вычислить непосредственно из статистической суммы отдельной частицы:

{\ Displaystyle Z (T, V, N) = {\ frac {1} {N!}} \ left [Z (T, V, 1) \ right] ^ {N}.}

Эта особенность присуща каждой идеальной системе в статистической физике и является выражением отсутствия взаимодействий между частицами газа. Следовательно, лучшая газовая модель, которая хочет учитывать эти взаимодействия, также должна зависеть, по крайней мере, от двухчастичной статистической суммы.

Вывод термодинамических соотношений для одноатомного идеального газа.

Термодинамический потенциал, связанный с канонической статистической суммой, представляет собой свободную энергию

{\ displaystyle {\ begin {align} F (T, V, N) & = - k _ {\ mathrm {B}} T \ ln Z \\ & = k _ {\ mathrm {B}} T \ left ( \ ln N! -N \ ln V + 3N \ ln \ lambda \ right) \\ & \ приблизительно -Nk _ {\ mathrm {B}} T \ ln \ left ({\ frac {Ve} {N \ lambda ^ {3}}} \ right). \ End {align}}}

Для большого количества частиц факультет может развиваться по формуле Стирлинга . ${\ displaystyle \ ln (N!) \ приблизительно N \ ln (N) -N = N \ ln \ left ({\ tfrac {N} {e}} \ right)}$

Все термодинамические соотношения теперь можно вывести из свободной энергии:

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -S \\ - p \\\ mu \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ partial _ {T} \\\ partial _ {V} \\\ partial _ {N} \ end {pmatrix}} F (T, V, N).}

Кроме того, внутренняя энергия связана со свободной энергией через . ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ Displaystyle U = F + TS}$

энтропия

Энтропия идеального газа равна:

{\ Displaystyle {\ begin {align} S (T, V, N) & = - \ left ({\ frac {\ partial F} {\ partial T}} \ right) _ {V, N} = - k_ { \ mathrm {B}} \ left (\ ln N! -N \ ln V + 3N \ ln \ lambda \ right) -3Nk _ {\ mathrm {B}} T \ underbrace {{\ frac {\ partial} {\ частичный T}} \ ln \ lambda} _ {= {\ frac {-1} {(2T)}}} \\ & = - k _ {\ mathrm {B}} \ left (\ ln N! -N \ ln V + 3N \ ln \ lambda \ right) + {\ frac {3} {2}} Nk _ {\ mathrm {B}} \\ & \ приблизительно Nk _ {\ mathrm {B}} \ ln \ left ( {\ frac {V} {N \ lambda ^ {3}}} \ right) + {\ frac {5} {2}} Nk _ {\ mathrm {B}}. \ End {выравнивается}}}

Тепловое уравнение состояния

Тепловое уравнение состояния получается из

{\ displaystyle p (T, V, N) = - \ left ({\ frac {\ partial F} {\ partial V}} \ right) _ {T, N} = k _ {\ mathrm {B}} T {\ frac {N} {V}},}

которое можно привести к хорошо известной форме уравнения идеального газа, переписав

{\ displaystyle \ left.pV = Nk _ {\ mathrm {B}} T \ right ..}

Химический потенциал

Химический потенциал идеального газа определяется

{\ displaystyle \ mu (T, V, N) = \ left ({\ frac {\ partial F} {\ partial N}} \ right) _ {T, V} = {\ frac {F (T, V, N + 1) -F (T, V, N)} {1}} = - k_ {B} T \ ln \ left ({\ frac {V} {(N + 1) \ lambda ^ {3}}} \ Правильно).}

Калорическое уравнение состояния

Калорийность уравнение состояния (внутренняя энергия как функция от температуры, объема и количества частиц) может быть определена из уравнений и . ${\ Displaystyle F = U-TS}$ ${\ Displaystyle S = - {\ tfrac {\ partial F} {\ partial T}}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} U (T, V, N) & = F + TS = FT {\ frac {\ partial F} {\ partial T}} = T ^ {2} \ left ({\ frac {1} {T ^ {2}}} F - {\ frac {1} {T}} {\ frac {\ partial F} {\ partial T}} \ right) = T ^ {2} {\ frac { \ partial} {\ partial T}} \ left (- {\ frac {F} {T}} \ right) \\ & = k _ {\ mathrm {B}} T ^ {2} {\ frac {\ partial } {\ partial T}} \ left (- {\ frac {F} {k _ {\ mathrm {B}} T}} \ right) = k _ {\ mathrm {B}} T ^ {2} {\ frac {\ partial \ ln Z} {\ partial T}} = - {\ frac {\ partial} {\ partial \ beta}} \ ln Z \\ & = - {\ frac {\ partial} {\ partial \ beta }} \ left (- {\ frac {3N} {2}} \ ln \ beta \ right) = {\ frac {3N} {2 \ beta}} = {\ frac {3} {2}} Nk _ { \ mathrm {B.}} T. \ end {align}}}

В конечном итоге это приводит

{\ displaystyle U = {\ frac {3} {2}} Nk _ {\ mathrm {B}} T.}

В этом уравнении замечательно то, что внутренняя энергия не зависит от объема. Из этого следует, например, Б. что при изотермическом расширении идеального газа подводимое тепло полностью превращается в работу.

Сфера

Среди реальных газов легкие благородные газы и водород наиболее близки к этому состоянию, особенно при низком давлении и высокой температуре , поскольку они имеют исчезающе малый размер по сравнению с их средней длиной свободного пробега . Распределение скоростей частиц в идеальном газе описывается распределением Максвелла-Больцмана .

Чем ниже давление и чем выше температура, тем больше настоящий газ ведет себя как идеальный. Практической мерой для этого является «нормированное» расстояние между текущей температурой и точкой кипения: например, точка кипения водорода составляет 20 K; при комнатной температуре это примерно в 15 раз, что означает, что поведение почти идеальное. Напротив, для водяного пара с температурой 300 ° C (573 K) расстояние от точки кипения (373 K) всего примерно в полтора раза - это далеко от идеального поведения.

Критическая точка должна использоваться здесь как переменная количественного сравнения : реальный газ ведет себя как идеальный газ, если его давление низкое по сравнению с критическим давлением или его температура высока по сравнению с критической температурой.

Идеальные газы не подвержены эффекту Джоуля-Томсона , из которого можно сделать вывод, что их внутренняя энергия и энтальпия не зависят от давления и объема. Таким образом, коэффициент Джоуля-Томсона для идеальных газов всегда равен нулю, а температура инверсии ( ) не имеет дискретного значения , то есть распространяется на весь температурный диапазон. ${\ displaystyle T_ {i} \ gamma = 1}$

Расширения

Идеальный многоатомный газ

Если кто-то хочет описать частицы многоатомного газа, то есть молекулы , с помощью модели идеального газа, это можно сделать, расширив калорическое уравнение состояния

{\ displaystyle U = {\ frac {f} {2}} Nk _ {\ mathrm {B}} T.}

Он указывает количество степеней свободы на частицу. Помимо трех степеней свободы поступательного движения, молекулы обладают другими степенями свободы вращения и колебаний . Каждое колебание имеет две степени свободы, потому что потенциальная и кинетическая степени свободы колебания являются отдельными степенями свободы. ${\ displaystyle f}$

Например, двухатомный газ имеет в общей сложности 7 степеней свободы, а именно:

три степени свободы поступательного движения,
две степени свободы вращения для вращения вокруг осей, перпендикулярных линии, соединяющей молекулярные атомы, и
две степени свободы для одного возможного колебания молекулярных атомов друг к другу.

Поскольку частоты вращения и колебаний молекул по своей природе квантованы , для их возбуждения требуется определенная минимальная энергия . Часто при нормальных условиях тепловой энергии достаточно только для стимуляции вращения двухатомной молекулы. В этом случае колебательные степени свободы заморожены, и двухатомный газ фактически имеет только пять степеней свободы. При еще более низких температурах вращательные степени свободы также замораживаются, так что остаются только 3 поступательные степени свободы. По той же причине теоретически существующая третья степень свободы вращения для вращений вокруг соединительной линии на практике не встречается, поскольку требуемых энергий достаточно для диссоциации молекулы . Тогда снова были бы одноатомные частицы газа. В случае молекул, не имеющих форму стержня, состоящих из более чем двух атомов, обычно имеет место третья степень свободы вращения и другие степени свободы колебаний.

Релятивистский идеальный газ

Если температуры становятся настолько высокими, что средние скорости частиц газа можно сравнить со скоростью света , необходимо учитывать релятивистское увеличение массы частиц. Эта модель также может быть хорошо описана теоретически, но реальный газ обычно представляет собой плазму при очень высоких температурах , т.е. ЧАС. ранее электрически нейтральные частицы газа присутствуют отдельно в виде электронов и ионов . Поскольку взаимодействие между электронами и ионами намного сильнее, чем между нейтральными частицами, модельная концепция идеального газа может предоставить лишь ограниченную информацию о физике горячей плазмы.

Идеальный квантовый газ

Каждый тип материи в конечном итоге состоит из элементарных частиц, которые являются либо фермионами, либо бозонами . В случае фермионов и бозонов всегда необходимо учитывать так называемую обменную симметрию , которая меняет статистическое описание системы. Чистый идеальный газ - это всегда либо идеальный Fermigas, либо идеальный бозе-газ . Однако квантовая природа газа становится заметной только тогда, когда длина свободного пробега частиц газа сравнима или меньше их тепловой длины волны. Следовательно, этот случай становится более важным при низких температурах или очень высоких давлениях.

Идеальные квантовые газы нашли очень широкое применение. Например, электроны проводимости в металлах прекрасно описываются идеальным ферми-газом. Излучение полости и закон Планки излучения черного тела могут быть превосходно объяснены с помощью идеальных фотонного газа - который является специальным (безмассово) идеалом Bosegas. Идеальные бозе- газы могут также демонстрировать фазовый переход в конденсаты Бозе-Эйнштейна при очень низких температурах .

Газ Ван-дер-Ваальса

Реальные газы лучше описываются так называемым газом Ван-дер-Ваальса , который учитывает силы Ван-дер-Ваальса , которые всегда присутствуют между частицами газа, а также их собственный объем. Уравнение Ван-дер-Ваальса изменяет уравнение идеального газа двумя соответствующими дополнительными членами. В статистическом описании это уравнение может быть получено с помощью так называемого вириального разложения .