Аксонометрия

• 

  Аксонометрия дома на бумаге в квадрат

• 

  Арка (круги) в кавалерской проекции

Аксонометрия представляет собой метод в описательной геометрии в относительно простых трехмерных объектов в плоскости отображения.

Здесь используются координаты основных точек и изображения трех координатных осей в плоскости чертежа. Результатом является параллельная проекция для каждого выбора осей изображения, кроме масштабирования . Как правило, в результате получается наклонная (или наклонная) параллельная проекция. Ортогональная (или перпендикулярная) параллельная проекция получается только при специальном выборе осей изображения и коэффициентов искажения, т.е. лучи изображения перпендикулярны плоскости изображения (см. Ортогональная аксонометрия ).

Принцип аксонометрии

Принцип аксонометрии

Оси координат представляют вместе с точками, проецируемыми на плоскость чертежа с помощью параллельных лучей. Маршруты отрядов обычно воспроизводятся в искаженном виде. Коэффициенты искажения обозначены , и . Теперь точка введена в изображение с осями координат следующим образом: ${\ Displaystyle (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}$${\ displaystyle v_ {x}}$${\ displaystyle v_ {y}}$${\ displaystyle v_ {z}}$${\ Displaystyle P = (х, y, z)}$

Вы идете с нуля ${\ displaystyle {\ overline {O}}}$

идти в направлении, затем${\ Displaystyle х \ cdot v_ {х}}$${\ displaystyle {\ overline {x}}}$

вокруг в направлении и в конечном итоге${\ displaystyle y \ cdot v_ {y}}$${\ displaystyle {\ overline {y}}}$

вокруг в -направлении.${\ displaystyle z \ cdot v_ {z}}$${\ displaystyle {\ overline {z}}}$

(При желании порядок можно изменить на противоположный.)

Поскольку построение осей изображения и искажений для определенного направления проекции и положения плоскости изображения очень трудоемко, достаточно просто выбрать изображения осей координат в плоскости рисования и указать подходящие искажения. Математическим обоснованием этого является теорема Польке : для (почти) любого выбора осей и искажений изображения, за исключением подобия (масштабирования), получается изображение параллельной проекции. (Изображения координатных осей не должны ложиться на прямую, искажения должны быть больше нуля.)

Оси изображения и искажения

(Технические характеристики в области технических чертежей : см. DIN 5, часть 10.)

различные искажения единичного куба
(плоскость изображения параллельна плоскости yz)

Параметры специальных аксонометрий (военная проекция с высоты птичьего полета)

Параметры общей аксонометрии

Впечатление от изображения хорошее только при правильном выборе осей изображения и искажений. Хороший эффект изображения достигается, если оси изображения и коэффициенты искажения выбираются таким образом, чтобы в результате получилась перпендикулярная параллельная проекция. Поскольку вы хотите работать с простейшими возможными коэффициентами искажения (например, 1 или 0,5), вы можете использовать следующие примеры (см. Иллюстрацию) в качестве руководства при выборе осей изображения и искажений. Если у вас есть квадратная бумага , для осей и искажений доступен следующий выбор: две оси координат совпадают с основными направлениями квадратной бумаги, третья ось проходит в направлении квадратных диагоналей (см. Начальный рисунок). Чтобы конструкция оставалась простой, вы должны выбрать единицы на горизонтальной и вертикальной оси - два прямоугольника, а в диагональном направлении - диагональный прямоугольник в качестве единицы. Это приводит к следующим искажениям: равным ≈ 0,7: 1: 1. ${\ displaystyle v_ {x}: v_ {y}: v_ {z} = 1 / {\ sqrt {2}}: 1: 1}$

Аксонометрии с двумя равными искажениями называются диметрическими , с тремя равными искажениями изометрическими , иначе триметрическими .

Определение:

• ${\ displaystyle \ alpha:}$Угол между осью и осью${\ displaystyle {\ overline {z}}}$${\ displaystyle {\ overline {x}}}$
• ${\ displaystyle \ beta:}$Угол между осью и осью${\ displaystyle {\ overline {z}}}$${\ displaystyle {\ overline {y}}}$
• ${\ displaystyle \ gamma:}$Угол между осью и осью${\ displaystyle {\ overline {x}}}$${\ displaystyle {\ overline {y}}}$

Проекция кавалера, проекция шкафа

• Плоскость изображения, параллельная плоскости yz , d. ЧАС.
  • ${\ displaystyle \ beta = 90 ^ {\ circ}}$ и
  • ${\ displaystyle v_ {y} = v_ {z} = 1}$.
• Примечание: в литературе термины кавалерская перспектива и перспектива шкафа не имеют единообразного определения. Приведенное выше определение является наиболее общим. Часто требуются дополнительные ограничения:
  • Проекция шкафа: дополнительная и (диметрическая),${\ Displaystyle \ альфа = \ гамма = 135 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle v_ {x} = 0,5}$
  • Проекция кавалера: дополнительно и (изометрия).${\ Displaystyle \ альфа = \ гамма = 135 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle v_ {x} = 1}$

Вид с высоты птичьего полета, военная проекция

• Плоскость изображения, параллельная плоскости xy , d. ЧАС.
  • ${\ displaystyle \ gamma = 90 ^ {\ circ}}$ и
  • ${\ displaystyle v_ {x} = v_ {y} = 1}$ (Диметрия).
• Следующее также относится к военной проекции: (Изометрия).${\ displaystyle v_ {z} = 1}$

Такие аксонометрии используются в городских планах для достижения масштабности (горизонтальности) и четкости зданий.

Инженерная аксонометрия

В инженерной аксонометрии согласно ISO 5456-3 искажения следующие:

${\ displaystyle {\ begin {align} v_ {x} & = 0,5 \\ v_ {y} = v_ {z} & = 1 \ end {align}}}$ (диметрическая аксонометрия)

Оси выровнены следующим образом:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha = \ gamma & = 132 ^ {\ circ} \\\ beta & = 97 ^ {\ circ} \ end {align}}}$ (или 7 ° и 42 ° к горизонтали)

Установить квадрат с разметкой для инженерной аксонометрии

Преимущества инженерной аксонометрии:

• простые искажения,
• практически вертикальная аксонометрия (хороший эффект изображения, коэффициент масштабирования 1.06),
• контур сферы - круг (иначе это эллипс).

Математический фон

Инженерная аксонометрия соответствует перпендикулярной параллельной проекции на плоскость с вектором нормали (= отрицательное направление проекции) с последующим масштабированием по коэффициенту . План вектора нормали образует угол с осью x . Угол относительно плоскости xy составляет . Точные углы между изображениями осей координат составляют: ${\ displaystyle ({\ sqrt {7}}, 1 {,} 1) ^ {\ top}}$${\ displaystyle {\ tfrac {3} {2 {\ sqrt {2}}}} \ приблизительно 1 {,} 061}$${\ displaystyle \ arccos ({\ tfrac {\ sqrt {7}} {2 {\ sqrt {2}}}}) \ приблизительно 20 {,} 70 ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ arccos ({\ tfrac {2 {\ sqrt {2}}} {3}}) \ приблизительно 19 {,} 47 ^ {\ circ}}$

• ${\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha & = \ arccos (- {\ tfrac {\ sqrt {7}} {4}}) & \ приблизительно 131 {,} 4 ^ {\ circ} \ приблизительно 2 {, } 294 \\\ beta & = \ arccos (- {\ tfrac {1} {8}}) ​​& \ приблизительно 97 {,} 18 ^ {\ circ} \ приблизительно 1 {,} 696 \ end {выровнено}}}$

Для (диметрической) вертикальной параллельной проекции с (без масштабирования!) Применяется следующее: ${\ displaystyle v_ {y} = v_ {z} = 2v_ {x}}$

• ${\ displaystyle {\ begin {align} v_ {x} & = {\ tfrac {\ sqrt {2}} {3}} & \ приблизительно 0 {,} 471 \\ v_ {y} = v_ {z} & = {\ tfrac {2 {\ sqrt {2}}} {3}} & \ приблизительно 0 {,} 942 \ end {align}}}$.

Изометрическая аксонометрия

Примеры стандартной изометрии: куб, кубоид, дом и сфера.

(Обратите внимание на множество значений термина изометрия в математике.)

В изометрической аксонометрии , или сокращенно изометрии , искажения все те же. Углы между изображениями осей по-прежнему можно выбирать произвольно.

Следующее относится к представлению упомянутого в качестве стандартной изометрии :

• ${\ Displaystyle v_ {x} = v_ {y} = v_ {z} = 1}$ (все оси неискажены)
• ${\ Displaystyle \ альфа = \ бета = \ гамма = 120 ^ {\ circ}}$, где ось перпендикулярна${\ displaystyle {\ overline {z}}}$

Преимущества такого выбора параметров:

• Координаты можно принять без изменений,
• Аксонометрическое изображение - это ортогональная проекция, масштабированная по коэффициенту (перпендикулярная параллельная проекция ). Это приводит к хорошему эффекту изображения, а контур сферы представляет собой круг.${\ displaystyle {\ sqrt {1.5}} = 1,225}$
• Знаковые системы, такие как B. xfig , предлагает треугольную сетку для облегчения рисования объектов с осями, параллельными оси.

К «недостаткам» можно отнести:

• Недостаток симметрии заключается в том, что две из 8 угловых точек аксиально параллельного куба совпадают (см. Рисунок).

разные аксонометрии башни

Обзор специальных аксонометрий

При общей аксонометрии два угла между осями и искажениями могут выбираться (почти) свободно. Чтобы все три оси изображения не лежали на прямой линии, должно быть. Это ограничение на выбор углов гарантирует обзор сверху под углом . Ограничение обеспечивает вид снизу под углом . Он меняет обычную ориентацию с оси x на ось y. Отрицательные искажения изменили бы обычную ориентацию осей. ${\ Displaystyle 0 <\ альфа, \ бета}$${\ displaystyle 0 <v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}}$${\ Displaystyle 0 <\ альфа + \ бета <360 ^ {\ circ}}$${\ Displaystyle 360 ​​<\ альфа + \ бета <720 ^ {\ circ}}$

Круги в аксонометрии

Аксонометрия: круги в кавалерской проекции

При параллельной проекции круги обычно отображаются на эллипсы. Важный частный случай: круг, круговая плоскость которого параллельна доске, показан неискаженным. Так обстоит дело, например, с кавалерийской проекцией, в которой плоскость yz (см. Пример) отображается без искажений. С высоты птичьего полета все горизонтальные круги остаются неискаженными. Если круг искажен в эллипс (см. Рисунок), вы можете нанести на карту некоторые точки и касательный квадрат и вписать эллипс в изображение квадрата (параллелограмма) вручную или с помощью графической программы. Следует отметить, что изображения перпендикулярных круговых диаметров обычно являются не главными осями эллипса изображения, а скорее сопряженными диаметрами . По ним можно восстановить главные оси с помощью конструкции оси Rytz . Затем эллипс можно точно нарисовать с помощью программы для рисования или эллиптического компаса. Если у вас под рукой есть только циркуль, линейка и изогнутая линейка, эллипс можно удивительно хорошо и быстро аппроксимировать с помощью вершинных кругов кривизны (см. Эллипс или К. Леопольд, стр. 64). В ортогональной аксонометрии обычно можно обойтись без сложной конструкции Ритца.

Сферы в аксонометрии

Вид с высоты птичьего полета на сферу с vz = 1

Контур сферы - это просто круг с радиусом сферы только в ортогональной аксонометрии. Поскольку и инженерная аксонометрия, и стандартная изометрия представляют собой масштабированные ортогональные проекции (см. Выше), контур сферы также отображается здесь в виде круга, хотя и в масштабе. В любом аксонометрическом виде контур сферы выглядит как эллипс, что может раздражать наблюдателя (см. Сферу в изометрической проекции с высоты птичьего полета). Поэтому сцены со сферами лучше отображать с помощью ортогональной аксонометрии или, по крайней мере, с помощью инженерной аксонометрии или стандартной изометрии.

набухать

• Ульрих Граф, Мартин Барнер: начертательная геометрия. Quelle & Meyer, Гейдельберг 1961, ISBN 3-494-00488-9 .
• Фуке, Кирх, никель: начертательная геометрия. Fachbuch-Verlag, Лейпциг, 1998, ISBN 3-446-00778-4
• Корнели Леопольд: геометрические основы архитектурного представления. Verlag W. Kohlhammer, Штутгарт, 2005 г., ISBN 3-17-018489-X

веб ссылки

Викисловарь: аксонометрия  - объяснение значений, происхождение слов, синонимы, переводы

• Нормальная (ортогональная) аксонометрия на простых примерах
• Начертательная геометрия для архитекторов (PDF; 1,5 МБ). Сценарий (Uni Darmstadt)
• Основы и элементы организации дорожного движения ( Памятка от 10 августа 2013 г. в Интернет-архиве ) (PDF; 493 kB) Технический университет Дрездена

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Ханс Хойшен: Технический рисунок. Основы, стандарты, примеры, начертательная геометрия . 21-е издание. Girardet, Düsseldorf 1986, ISBN 3-7736-2023-3 , стр. 252 , 7.6.2 Диметрическая проекция DIN 5 часть 2 .