Сфера (начертательная геометрия)

Очертание сферы в центральной проекции: две башни, решение в архитектурном решении, детали: см. С. ниже

Сфера играет важную роль в технологии и архитектуры, а вместе с цилиндрами и конусами, это один из классических объектов, рассматриваемых в графическом виде в начертательной геометрии . В начертательной геометрии сфера всегда представлена ​​своим контуром (см. Построение контура ). Различают истинный контур и видимый контур . Истинный контур состоит из точек на поверхности сферы, в которых проекционные лучи являются касательными. В случае центральной проекции всегда предполагается, что центр проекции (точка взгляда) никогда не находится внутри сферы.

Истинная форма шара является

• с параллельной проекцией большого круг сферы (т.е. центр окружности равен центром сферы),
• с центральной проекцией - маленький круг сферы (т.е. центр круга никогда не совпадает с центром сферы).

Проекция истинного контура называется кажущимся контуром. Форма этого видимого контура сильно зависит от типа проекции.

Очевидная форма сферы является

• с вертикальной параллельной проекцией круг с радиусом сферы,
• эллипс в случае косой параллельной проекции,
• в случае центральной проекции - эллипс или (в особых случаях) круг (см. ниже) при обычном условии, что сфера находится перед плоскостью исчезновения (в противном случае часть сферы была бы позади наблюдателя).

Для простоты контур всегда означает очевидный контур ниже.

Параллельная проекция сферы

Сфера: контур с косой параллельной проекцией

Сфера: очертание с высоты птичьего полета, принцип

Сфера с перпендикулярно-параллельной проекцией

При перпендикулярной параллельной проекции (см.  Ортогональная аксонометрия ) сфера всегда выглядит как круг с радиусом сферы. Итак, вам нужно только построить изображение центра сферы и нарисовать круг с радиусом сферы. ${\ displaystyle {\ overline {M}}}$${\ displaystyle {\ overline {M}}}$

Сфера инженерной аксонометрии и изометрии

Так как Ingenieuraxonometrie и стандартное изометрическое масштабируется вертикальные параллельные проекции, необходимо на Ingenieuraxonometrie радиус шара с коэффициентом при Standardisometrie на коэффициент умножается. ${\ displaystyle 1 {,} 06}$${\ displaystyle 1 {,} 225}$

• 

  Сфера: контур в кавалерской перспективе, принцип

• 

  Сфера: купольное здание с точки зрения джентльмена

Сфера с косой параллельной проекцией

В случае наклонной параллельной проекции изображение сферы представляет собой эллипс. Для определения его центра и осей рассмотрим проекцию сферы в двухпанельной проекции (см. Рисунок). Вы можете видеть, что лучи проекции создают цилиндр при воспроизведении истинного контура сферы, пересечение которого с планом является эллипсом контура. То, что пересечение цилиндра с плоскостью, не параллельной оси, является эллипсом, можно пояснить с помощью сфер Данделина . ${\ displaystyle w}$

• Центр контура эллипса образ центра сферы,
• ось полу-минор является радиус сферы и${\ displaystyle b}$
• направление главной оси - это направление лучей проекции в плане (иллюстрация наклонной параллельной проекции).

Чтобы найти длину большой полуоси, нужно использовать это

• в координационных центрах контура эллипса являются образами точек сферического диаметра , перпендикулярными к столу изображения (здесь план этажа). Это дает расстояние между фокусными точками и центром. Чтобы оправдать это, представьте себе сферу, скользящую вниз по проекционным лучам. Мяч сначала коснется уровня земли своей самой нижней точкой в точке, которая является первой сферой Данделина, а при скольжении по уровню плана земли точкой будет второй сферой Данделина.${\ displaystyle F_ {1}, F_ {2}}$${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle F_ {2}}$${\ displaystyle P_ {1}}$${\ displaystyle F_ {1}}$

• Длина полуоси определяется соотношением (см. Рисунок), и эллипс может быть нарисован (например, с помощью метода окружности кривизны бревна).${\ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2} + e ^ {2}}$${\ displaystyle a}$

Бал с высоты птичьего полета

Вид с высоты птичьего полета - это наклонная параллельная проекция на горизонтальную доску с картинками. Аксонометрически это означает: координаты x и y могут использоваться без сокращений, а координаты z уменьшаются путем умножения на коэффициент сокращения . Чтобы изобразить сферу (для простоты) с центром в начале координат, нужно определить ${\ displaystyle v_ {z}}$

• изображение центра сферы (здесь нулевая точка),
• изображение точки диаметра перпендикулярной сферы и получаем ,${\ displaystyle F_ {1}}$${\ displaystyle e}$
• большая полуось (см. рисунок: направление проекции в таблице изображений - это направление изображения по оси z).

Бал с точки зрения джентльмена

В этом случае параллельные лучи используются для проецирования под углом на вертикальную панель изображений. В примере таблица - это плоскость yz. Это означает аксонометрический: координаты y и z принимаются без изменений, а координаты x сокращаются путем умножения на коэффициент . Направление проецирования в таблице изображений определяется здесь изображением оси x. Эллипс контура строится так же, как и с высоты птичьего полета. Фокусная точка здесь получается из проекции точки диаметром сферы перпендикулярно плоскости yz. ${\ displaystyle v_ {x}}$

Центральная проекция шара: примеры

Центральная проекция сферы

Сфера: контур в центральной проекции, сферы Данделина

(Кажущийся) контур сферы в центральной проекции можно представить как пересечение прямого конуса, созданного сферой и визуальными лучами, которые касаются ее, с доской изображения. Поскольку плоскость, которая не проходит через вершину конуса, пересекает конус в невырожденном коническом сечении, эллипс, гипербола или парабола могут появляться как изображения сферы. Мы хотим рассмотреть только «обычный» случай, когда сфера лежит перед исчезающей плоскостью. Это означает, что сфера всегда будет отображаться здесь в виде эллипса или круга. Эллипс контура как изображение истинного контура круга построить не так просто, как при параллельной проекции, там

• с центральной проекцией i. A. Центр круга не является центром эллипса изображения (см.  Эллипс (начертательная геометрия) ).

Только если центр сферы лежит на прямой линии, проходящей через точку глаза и главную точку, контур снова будет кругом, а его центральная точка будет главной точкой. Итак, здесь мы сначала построим две фокусные точки эллипса изображения. Его центр тогда является центром эллипса, а главные вершины лежат на его соединительной линии. ${\ displaystyle F_ {1}, F_ {2}}$${\ displaystyle M_ {e}}$

Чтобы определить архетипы фокусных точек, мы представляем себе следующее: мы позволяем мячу скользить по конусу, созданному с помощью линий взгляда, и одновременно надуваем его так, чтобы он всегда касался конуса изнутри по кругу, пока надутый мяч касается панели в точке . В этом положении надутая сфера является первой сферой Данделина эллипса изображения. Перемещая и надувая его дальше, мяч касается панели в точке и становится вторым мячом Dandelin. В этом процессе диаметр, перпендикулярный картону, сливается с перпендикуляром внутри или на картоне. ${\ displaystyle F_ {1}}$${\ displaystyle F_ {2}}$${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}}$${\ displaystyle F_ {1}}$${\ displaystyle F_ {2}}$

Этапы построения (см. Пример: шаблон и решение):

1. Нарисуйте диаметр сферы перпендикулярно изображению на плане.${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}}$
2. Нанесение на карту (в соответствии с планом архитектора ) двух точек дает фокусные точки . Прямая линия является линией глубины и имеет главную точку как точку схода.${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}}$${\ displaystyle {\ overline {P}} _ {1}, {\ overline {P}} _ {2}}$${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}}$${\ displaystyle H}$
3. Центр из является центром эллипса.${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {e}}$${\ displaystyle {\ overline {P}} _ {1}, {\ overline {P}} _ {2}}$
4. Строительство архетипа в .${\ displaystyle M_ {e}}$${\ displaystyle {\ overline {M}} _ {e}}$
5. Изображение сферического круга с центром, параллельным графическому столу, дает небольшую полуось эллипса.${\ displaystyle M_ {e}}$${\ displaystyle b}$
6. Большая полуось является результатом отношения .${\ displaystyle a ^ {2} = e ^ {2} + b ^ {2}}$
7. Нарисуйте эллипс изображения (например, используя метод круга кривизны).

Сфера: контур для центральной проекции, пример, шаблон (слева) и решение

Сфера: центральная проекция двух сферических башен, решение

На последнем рисунке показано решение первого примера: центральная проекция двух сферических башен. Изображение мяча слева выглядит искаженным. Причина: часть сферы больше не находится в конусе зрения (см.  Круг обзора ). Чтобы уменьшить или даже избежать таких искажений, расстояние необходимо увеличивать до тех пор, пока объект, который нужно отобразить, не окажется в пределах конуса зрения. Тогда контурный эллипс станет «больше похожим на круг». Это означает, что их полуоси не сильно различаются, чего в примере не было, чтобы подчеркнуть эллиптический характер контура шара. ${\ displaystyle a, b}$

литература

• Фуке, Кирх, Никель: начертательная геометрия. Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4 , стр. 164.
• Граф, Барнер: начертательная геометрия. Quelle & Meyer, Гейдельберг 1961, ISBN 3-494-00488-9 , стр. 128, 290.
• К. Леопольд: геометрические основы архитектурного изображения. Verlag W. Kohlhammer, Штутгарт 2005, ISBN 3-17-018489-X , стр. 133.

веб ссылки

• Начертательная геометрия для архитекторов (PDF; 1,5 МБ). Сценарий (Университет Дармштадта), с. 145.