Изопериметрическая проблема

Изопериметрическая задача геометрического вариационного исчисления спрашивает в своей первоначальной форме, которая восходит к классической Греции (см задачи Дидоны ), которые образуют замкнутую кривые заданную длину должна быть так , что это кривые пролеты самой большой площади . ${\ displaystyle \, l}$${\ displaystyle \, F}$

Этот термин также применяется к различным обобщениям вопроса.

Классическая изопериметрическая задача

Название « изопериметрический» в переводе с греческого означает столько же . Даже греки знали, что решение (классической) изопериметрической задачи - это круг, и что это следствие изопериметрического неравенства

${\ displaystyle 4 \ pi F \ leq l ^ {2}}$

заключается в следующем : равенство имеет место только для круга (это верно и , радиус окружности). ${\ displaystyle l = 2 \ pi r}$${\ Displaystyle F = \ pi r ^ {2}}$${\ displaystyle r}$

Самая старая неполная попытка доказательства была предпринята Зенодором во 2 веке до нашей эры. Предпринято. Полные доказательства этого наглядного и правдоподобного факта были получены только в 19 веке. В 1838 году Якоб Штайнер дал чисто геометрическое доказательство того, что решение (если оно существует) должно быть выпуклой симметричной кривой. Только Ф. Эдлер (1882) для равнины и Карл Вейерштрасс и Герман Амандус Шварц (1884) для комнаты дали полное свидетельство . В 1902 году Адольф Гурвиц дал простое доказательство кусочно-непрерывных граничных кривых с использованием рядов Фурье. Дополнительные доказательства получены, например, от Эрхарда Шмидта (1938).

Существуют также многомерные обобщения изопериметрической задачи. Например, сфера имеет наименьшую площадь поверхности в трех измерениях из всех поверхностей, охватывающих данный объем. Это хорошо видно по сферической форме мыльных пузырей, которые стараются сделать их поверхностное натяжение и, следовательно, их площадь как можно меньше. Впервые это было математически доказано Германом Амандусом Шварцем в 1884 году. Случаи сферы более чем в трех измерениях были доказаны Эдгаром Краном в 1925 году, а для неевклидовой геометрии - Эрхардом Шмидтом.

Связанные с этим задачи математической физики также называются изопериметрическими задачами, например, гипотеза Барре де Сен-Венана (1856) о том, что упругие стержни с круглым поперечным сечением имеют максимальную жесткость на кручение .

Изопериметрическая задача вариационного исчисления

В вариационном исчислении в более общем смысле говорят о следующей проблеме изопериметрической задачи:

Пусть будет. Ищем функцию, для которой функционал ${\ Displaystyle \ альфа, \ бета, л \ в \ mathbb {R}}$${\ displaystyle F}$

${\ Displaystyle I (u) = \ int \ limits _ {a} ^ {b} F (x, u (x), u '(x)) {\ rm {d}} x}$

среди всех функций , которые и так хорошо ${\ Displaystyle и (х)}$${\ Displaystyle \, и (а) = \ альфа}$${\ Displaystyle \, и (Ь) = \ бета}$

${\ Displaystyle К (u) = \ int \ limits _ {a} ^ {b} G (x, u (x), u '(x)) {\ rm {d}} x = l}$

встречаются, становится экстремальным. В частном случае это граничное условие требует, чтобы объем кривой, описываемой как, был постоянным. ${\ Displaystyle G (х, и (х), и '(х)) = {\ sqrt {1 + и' (х) ^ {2}}}}$${\ displaystyle \, l}$${\ Displaystyle и (х)}$

Решение проблемы возникает с помощью функции Лагранжа

${\ Displaystyle L = F + \ лямбда \, G}$

из уравнения Эйлера

${\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial u}} - {\ frac {d} {dx}} \, {\ frac {\ partial L} {\ partial u '}} = 0.}$

Доказательный набросок классической задачи для плоского случая

Мы следуем упомянутому выше доказательству Якоба Штайнера.

Аргумент Штейнера в пользу выпуклости области

Штайнер рассмотрел проблему в двух и трех измерениях и предположил, что существует решение. В двух измерениях он сначала показал, что искомая поверхность является выпуклым множеством (то есть каждая линия, соединяющая две точки края, полностью лежит внутри поверхности). Если бы это было не так, у вас была бы ситуация, подобная показанной на иллюстрации справа: вы могли бы отразить кривую на соединительной прямой и, таким образом, получить большую площадь с той же окружностью. Поэтому искомая максимальная площадь должна быть выпуклой.

Проблема Штейнера также может быть сведена к тому, что рассматриваются выпуклые поверхности, ограниченные отрезком AB и кривыми фиксированной длины между точками A и B. Потому что каждый сегмент AB, который делит периметр максимальной искомой площади, также делит площадь. Если бы это было не так, и если бы, например, частичная область под сегментом AB была больше, меньшую область над прямой линией можно было бы заменить областью под сегментом, отраженным в AB, и, следовательно, областью с большим содержанием с такой же окружностью. Таким образом, задача сводится к нахождению выпуклой кривой заданной окружности с конечными точками A, B на прямой AB, так чтобы площадь между кривой и AB была максимальной.

На последнем этапе Штейнер доказывает, что из всех выпуклых кривых на базовом отрезке AB с одинаковой окружностью полукруг имеет наибольшее содержание. Для любой точки C на кривой рассмотрим треугольник ACB. Площадь F между кривой и сегментом AB делится на площадь F3 треугольника ACB и области F1 между кривой и стороной AC треугольника и F2 между кривой и стороной CB. Теперь измените треугольник ACB, сдвинув B по прямой AB, но расстояния AC, CB останутся прежними. Из всех этих треугольников треугольник с прямым углом в C имеет самую большую площадь F3. Если угол в ABC в точке C не является прямым углом, кривую можно заменить одной из тех же окружностей, при этом площадь F состоит из площади прямоугольного треугольника и площадей F1 и F2 над сторонами треугольника. AC, CB, их длина не изменилась. Искомая кривая имеет прямые углы в любой точке C кривой и, следовательно, является полукругом согласно теореме Фалеса .

литература

• Ричард Курант , Гарольд Роббинс : Что такое математика? Springer 1973, стр. 283 (краткое объяснение доказательства Штейнера).
• Хельмут Герике : К истории изопериметрической проблемы. В кн . : Математические семестровые отчеты. Поддерживать связь между школой и университетом. Том XXIX (1982), ISSN  0720-728X , стр. 160-187 (со свидетельством Зенодора и наброском варианта свидетельства Штайнера).
• Питер Грубер К истории выпуклой геометрии и геометрии чисел. В: Хирцебрух и др.: Век математики 1890–1990. Vieweg 1990 (история).
• Хьюго Хадвигер : Лекции по содержанию, поверхности и изопериметрии. Springer 1957 г.
• Роберт Оссерман : Изопериметрическое неравенство. Бюллетень AMS, 84, 1978, стр. 1182-1238, онлайн .
• Бураго , Залгаллер : Геометрические неравенства. Springer 1988 г.
• Г. Таленти: Стандартная изопериметрическая задача. В: Gruber, Wills: Handbook of Convex Geometry. Северная Голландия 1993, стр. 73-123.
• Вильгельм Блашке : круг и сфера. 2-е издание, Де Грюйтер, 1956.
• Исаак Чавел: Изопериметрические неравенства. Издательство Кембриджского университета 2001.

веб ссылки

• Uni-Magazin Universität Halle по изопериметрической проблеме. ( Памятка от 3 января 2015 г. в веб-архиве archive.today ).
• Хопф, Самельсон: Избранные главы по геометрии. С главой по изопериметрической проблеме (PDF; 221 kB).
• Виктор Бласйо: Эволюция изопериметрической задачи. American Mathematical Monthly, том 112, 2005 г., стр. 526.
• Вигерт: Проницательность кругов. История изопериметрической проблемы. MAA

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Антон Нокк ( аранжировка ): Трактат Зенодора об изопериметрических фигурах, основанный на отрывках, которые александрийцы Теон и Папп предоставили нам из того же документа, отредактированный на немецком языке доктором Дж. Нокк. В: Программа Великого Герцогского лицея во Фрайбурге-им-Брайсгау - как приглашение на государственные экзамены. 1860 г., приложение, стр. 1-35. Оцифрованный ресурс Баварской государственной библиотеки .
2. ↑ Питер Густав Лежен Дирихле первым указал на вопрос о существовании .
3. ↑ Hurwitz: Quelques геометрические приложения рядов Фурье. Annales de l'Ecole Normale, Vol. 19, 1902, pp. 357-408. Доказательство можно найти, например, в книге Blaschke: Lectures on Differential Geometry. Том 1, Springer, 1924, с. 45.
4. ↑ Диссертация с Ричардом Курантом в Геттингене, 1925: О минимальных свойствах сферы в трех и более измерениях.
5. ↑ Курт Мейберг, Петер Вакенауэр: Höhere Mathematik 2. Springer Verlag, 4-е издание, 2001 г., стр. 428 f.
6. ^ Вариационное исчисление Джона Клегга . Тойбнер, 1970, с. 87.
7. ↑ Площадь является произведением длины основания AC и высоты, которая равна CB для прямого угла в C, а в противном случае меньше.