Битва полов

Битва полов (Engl. Битва полов ) является проблемой из теории игр и представляет координационные игры с распределением конфликтами. Два игрока хотят провести вечер вместе, но забывают согласовать место. Возможен либо футбольный матч, либо концерт . Оба игрока должны принимать решение независимо друг от друга. Футбол предпочитает мужчина, а концерт - женщина . Игра также может быть представлена ​​в развернутом виде .

Биматричное представление

Баланс в чистых стратегиях

Биматрица выплат для симметричной игры двух игроков выглядит следующим образом: ${\ Displaystyle N = \ {1,2 \}}$

На первом месте " расплата " мужчины , на втором месте женщина. Если женщина идет на футбольный стадион, лучшим ответом для мужчины будет тоже пойти туда. Верно и обратное, так что верхняя левая ячейка представляет собой равновесие по Нэшу . То же самое и с концертным залом. Итак, в чистых стратегиях есть два равновесия по Нэшу . ${\ displaystyle NGG = \ {({\ text {Soccer}}, {\ text {Soccer}}), ({\ text {Concert}}, {\ text {Concert}}) \}}$

Проблема этой игры в том, что нет доминирующих стратегий . Если два игрока одновременно выберут свой любимый вариант (женщина выбирает стратегический концерт, мужчина выбирает стратегический футбол), встречи вообще не будет, что не идеально для обоих. В этом случае они предпочтут отправиться в то место, которое предпочитает другой - главное, чтобы они были вместе. Но если оба так думают и хотят встретиться с другим, они больше не встретятся.

Баланс в смешанных стратегиях

Поскольку каждая конечная игра имеет равновесие по Нэшу (возможно, в смешанных стратегиях), один из способов решения проблемы, описанной выше, заключается в том, чтобы игроки случайным образом решали (рандомизировали), в какое место они пойдут сегодня вечером. Для этого существует баланс в смешанных стратегиях . Устанавливается функция полезности фон Неймана-Моргенштерна . На благо мужчины возникает

${\ Displaystyle {\ begin {align} U_ {m} & = 3 \ cdot F_ {m} \ cdot F_ {f} +0 \ cdot F_ {m} \ cdot (1-F_ {f}) + 0 \ cdot (1-F_ {m}) \ cdot F_ {f} +1 \ cdot (1-F_ {m}) \ cdot (1-F_ {f}) \\ & = 3 \ cdot F_ {m} \ cdot F_ {f} + 1-F_ {f} -F_ {m} + F_ {m} \ cdot F_ {f} \\ & = 1 + 4 \ cdot F_ {m} \ cdot F_ {f} -F_ {m} -F_ {f} \ end {выровнено}}}$

и на благо женщин

${\ Displaystyle {\ begin {align} U_ {f} & = 1 \ cdot F_ {m} \ cdot F_ {f} +0 \ cdot F_ {m} \ cdot (1-F_ {f}) + 0 \ cdot (1-F_ {m}) \ cdot F_ {f} +3 \ cdot (1-F_ {m}) \ cdot (1-F_ {f}) \\ & = F_ {m} \ cdot F_ {f} + 3-3 \ cdot F_ {f} -3 \ cdot F_ {m} +3 \ cdot F_ {m} \ cdot F_ {f} \\ & = 3 + 4 \ cdot F_ {m} \ cdot F_ {f } -3 \ cdot F_ {f} -3 \ cdot F_ {m} \ end {выровнено}}}$

Вот вероятность того, что женщина пойдет на футбол, и вероятность того, что мужчина пойдет на футбол. Если один игрок играет рандомизированную стратегию, соответствующую равновесию Нэша в смешанных стратегиях, другому игроку безразличны чистые стратегии, которые он играет в этом равновесии Нэша с положительной вероятностью, т. Е. ЧАС. каждая из этих чистых стратегий приносит ему одинаковую ожидаемую полезность. Это можно использовать для расчета равновесия по Нэшу. Затем должны применяться следующие условия: ${\ displaystyle F_ {f}}$${\ displaystyle F_ {m}}$

${\ Displaystyle U_ {m} = 1 + 4 \ cdot 1 \ cdot F_ {f} -1-F_ {f} = 1 + 4 \ cdot 0 \ cdot F_ {f} -0-F_ {f}}$

${\ Displaystyle U_ {е} = 3 + 4 \ cdot F_ {m} \ cdot 1-3 \ cdot 1-3 \ cdot F_ {m} = 3 + 4 \ cdot F_ {m} \ cdot 0-3 \ cdot 0–3 \ cdot F_ {m}}$

Это следует из первого уравнения и из второго . Отсюда следует, что оба должны отправиться в любимое место партнера в 25% случаев. Игра битвы полов обычно начинается со смешанных стратегий, потому что ее сравнительно легко вычислить. Проценты для смешанных стратегий, например B. в теннисе или в серии пенальти (см. Диксит / Налебафф), где также нет доминирующих стратегий, но частота повторения соответственно высока. В случае несимметричной оценки получаются другие результаты, хотя в основном аналогичные. ${\ displaystyle F_ {f} = 0 {,} 25}$${\ displaystyle F_ {m} = 0 {,} 75}$

литература

• Манфред Дж. Холлер и Герхард Иллинг: Введение в теорию игр . 6-е издание. Springer, 2006, ISBN 3-540-27880-X , стр. 11-12 и 88-90 , DOI : 10.1007 / 3-540-29948-3 .