вычислительная математика

В вычислительной математике , также кратко Числовой называют, занимаются в области математики в области разработки и анализе из алгоритмов для непрерывных математических задач. Основное приложение - приближенный расчет решений с использованием аппроксимационных алгоритмов с помощью компьютеров .

обзор

Интерес к таким алгоритмам обычно возникает по одной из следующих причин:

  1. Нет явного решения проблемы (как, например, в уравнениях Навье-Стокса или в задаче трех тел ) или
  2. представление решения существует, но не подходит для быстрого вычисления решения или имеет форму, в которой ошибки вычислений очень заметны (например, с множеством степенных рядов ).

Различают два типа методов: с одной стороны, прямые, которые обеспечивают точное решение проблемы после конечного числа шагов точных вычислений, и с другой стороны, методы приближения, которые обеспечивают только приближения . Прямой метод - это, например, метод исключения Гаусса , который обеспечивает решение линейной системы уравнений . Методы приближения включают квадратурные формулы , которые приблизительно вычисляют значение интеграла, или метод Ньютона , который итеративно обеспечивает лучшее приближение к нулю функции.

Поскольку решения требуются только для конечной точности в приложениях, итерационный метод также может быть более полезным, когда существует прямой метод, если он обеспечивает достаточную точность за более короткое время.

Различные методы сравниваются по времени выполнения , стабильности и надежности . Иногда, однако, существуют также (в отличие от чисто численных процедур) получисленные процедуры , которые лучше подходят для решения определенных классов задач, чем неспециализированные численные решения.

история

Желание уметь решать математические уравнения численно (также приблизительно) существовало с древних времен . Древние греки уже знали проблемы, которые они могли решить только приблизительно, такие как вычисление площадей ( интегральное исчисление ) или числа кругов . В этом смысле Архимеда , предложившего алгоритмы для обеих задач, можно охарактеризовать как первого важного числителя.

Названия классических методов ясно показывают, что алгоритмический и приближенный доступ к математическим задачам всегда был важен для того, чтобы иметь возможность плодотворно использовать чисто теоретические утверждения. Такие понятия, как скорость сходимости или стабильность, также были очень важны при расчетах вручную. Например, высокая скорость сходимости дает надежду, что расчет будет произведен быстро. И даже Гаусс заметил, что его ошибки в вычислениях в методе исключения Гаусса иногда оказывали катастрофическое влияние на решение и делали его совершенно бесполезным. Поэтому он предпочел метод Гаусса-Зейделя , в котором ошибки можно было легко компенсировать, выполнив следующую итерацию.

Чтобы упростить монотонное выполнение алгоритмов, в 19 веке были разработаны механические вычислительные машины , и, наконец, первый компьютер Конрад Цузе в 1930-х годах . Вторая мировая война ускорила развитие резко и , в частности , Джон фон Нейман выдвинула числовые и математически и технически в рамках Манхэттенского проекта . В эпоху холодной войны преобладали военные приложения, такие как проблемы с возвращением , но рост вычислительной мощности с 1980-х годов выдвинул гражданские приложения на первый план. Кроме того, потребность в быстрых алгоритмах увеличилась с увеличением скорости. Исследования позволили решить многие проблемы, и поэтому с середины 1980-х скорость алгоритмов повысилась примерно на тот же порядок, что и производительность ЦП . В настоящее время численные методы, например метод конечных элементов , используются во всех областях науки и техники и являются повседневными инструментами.

Анализ отказов

Одним из аспектов анализа алгоритмов в числах является анализ ошибок . В числовых вычислениях проявляются различные типы ошибок : при вычислениях с числами с плавающей запятой неизбежно возникают ошибки округления . Эти ошибки можно уменьшить, например, увеличив количество цифр, но полностью исключить их нельзя, поскольку каждый компьютер в принципе может рассчитывать только на конечное количество цифр.

То, как проблема реагирует на нарушения в исходных данных, измеряется условием . Если проблема имеет большое состояние, решение проблемы сильно зависит от исходных данных, что затрудняет численное решение, особенно потому, что ошибки округления могут быть интерпретированы как нарушение исходных данных.

Численный метод также заменяет непрерывную математическую задачу дискретной, т.е. конечной задачей. Так называемая ошибка дискретизации уже возникает , которая оценивается и оценивается как часть анализа согласованности . Это необходимо, поскольку численный метод обычно не дает точного решения.

Анализ устойчивости используется для оценки увеличения таких ошибок при продолжении расчета .

Последовательность и стабильность алгоритма обычно приводят к сходимости (см .: Предельное значение (функция) ).

Численные методы

Существует большое количество численных методов и алгоритмов для решения многих математических задач, таких как оптимизация или решение уравнений в частных производных . Комментированный сборник выбранных числовых процедур можно найти в разделе « Список численных процедур» .

литература

  • Вольфганг Дамен , Арнольд Реускен: Числа для инженеров и естествоиспытателей. Springer, Berlin и др., 2006, ISBN 3-540-25544-3 .
  • Питер Деуфлхард , Андреас Хоманн: Численная математика. Том 1: Алгоритмически ориентированное введение. 3-е, переработанное и дополненное издание. de Gruyter, Berlin et al.2002, ISBN 3-11-017182-1 .
  • Джин Х. Голуб , Джеймс М. Ортега: научные вычисления и дифференциальные уравнения. Введение в вычислительную математику (= Берлинская серия исследований по математике. Том 6). Heldermann, Берлин 1995, ISBN 3-88538-106-0 .
  • Мартин Ханке-Буржуа: Основы вычислительной математики и научных вычислений. Teubner, Stuttgart et al., 2002, ISBN 3-519-00356-2 .
  • Мартин Германн : Численная математика. 2-е, переработанное и дополненное издание. Ольденбург, Мюнхен и др., 2006 г., ISBN 3-486-57935-5 .
  • Томас Хакл, Стефан Шнайдер: Числа для компьютерных ученых. Springer, Berlin et al.2002, ISBN 3-540-42387-7 .
  • Эрнст Каузен : Вычислительная математика с TURBO-PASCAL. Hüthig, Heidelberg 1989, ISBN 3-7785-1477-6 .
  • Герхард Жертва: Численная математика для начинающих. Введение для математиков, инженеров и компьютерных специалистов. Издание 5-е, переработанное и дополненное. Vieweg + Teubner, Висбаден, 2008 г., ISBN 978-3-8348-0413-6 .
  • Роберт Платон: Компактная вычислительная математика. Базовые знания для учебы и практики. Vieweg, Braunschweig и др. 2000, ISBN 3-528-03153-0 .
  • Ханс Р. Шварц, Норберт Кёклер: Численная математика. 8-е издание. Teubner, Штутгарт 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4 .

веб ссылки

Викисловарь: Числа  - объяснение значений, происхождение слов, синонимы, переводы

Индивидуальные доказательства

  1. ↑ Ллойд Н. Трефетен : Определение численного анализа. В: Новости СИАМ. № 25, 6 ноября 1992 г. ( PDF-файл , ≈ 228  КБ ).
  2. ↑ Ллойд Н. Трефетен писал: «[…] наша основная задача - вычислить величины, которые обычно непредсказуемы с аналитической точки зрения и с молниеносной скоростью». (Или по-английски: […] наша основная миссия - вычислять величины которые, как правило, не поддаются вычислению с аналитической точки зрения и делают это с молниеносной скоростью .; в The Definition of Numerical Analysis , SIAM , 1992, см. также выдержку из книг Google )