Оптимум Парето

Оптима Парето (красный) двумерного набора значений (синий). Такой фронт Парето не обязательно должен быть непрерывным - он может иметь прерывания.

Парето эффективный набор товаров находится на кривой производственных возможностей . Дополнительная единица не может быть произведена из любого из двух товаров, если производство другого товара не должно быть ограничено.

Оптимум по Парето (также эффективное по Парето состояние ) является (наилучшее) состояние , в котором оно не представляется возможным улучшить одно свойство (цель) , не ухудшать другой в то же самое время.

Оптимум Парето назван в честь экономиста и социолога Вильфредо Парето (1848–1923).

Множество всех оптимумов Парето также называют множеством Парето (также фронтом Парето ). Критерий Парето является оценкой того , улучшает состояние путем изменения одного целевого значения ( Парето превосходство ) , даже без необходимости ухудшить другое целевое значение. Первоначально Вильфредо Парето обращался не к целевым значениям / характеристикам / критериям (иногда также называемым «характеристиками»), а к отдельным лицам . По отношению к индивидуумам, состояние, оптимальное по Парето (эффективное по Парето), означает состояние, в котором нет возможности улучшить положение одного человека без одновременного ухудшения положения другого.

Выражаясь математически - кортеж оптимум Парето (здесь: максимум) из набора из -грамм , если нет никакого другого -кратного , что, по крайней мере , как хорошее по всем параметрам и действительно лучше в одном, т.е. . Ч , если нет других кортежей в там, так что для всех правды: и по крайней мере один относится: . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ dotsc, x_ {n})}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle y = (y_ {1}, y_ {2}, \ dotsc, y_ {n})}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle я = 1,2, \ dotsc, п}$${\ Displaystyle у_ {я} \ geq х_ {я}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle y_ {i}> x_ {i}}$

Решение задачи поиска оптимума по Парето называется оптимизацией по Парето . Стратегии, оптимальные по Парето, максимизируют общий выигрыш в кооперативных играх .

Определение согласно теории множеств

Там , где это применимо, приводятся произвольные количества и связанное с ними индексное количество . Кроме того, давайте теперь быть набор из -грамм. Для отдельных элементов любых двух кортежей , А общий порядок задается соотношением . С индексом и соответствующими элементами кортежа и формально означает, что это истинное утверждение . Кроме того, по крайней мере два таких элемента кортежа существуют полностью , так что они подчиняются строгому общему порядку в отношении . Это означает, что они удовлетворяют вышеуказанному общему порядку, но могут не совпадать. Если все эти требования соблюдены и все элементы выбраны, как описано выше, теперь можно сделать следующее определение с использованием логики предиката первого уровня : ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, \ dots, A_ {n}}$${\ Displaystyle I: = \ {1,2, \ точки, п \}}$${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$${\ displaystyle A \ substeq A_ {1} \ times A_ {2} \ times \ dots \ times A_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x, y \ in A}$${\ displaystyle \ geq}$${\ displaystyle i \ in I}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle x_ {i} \ in x}$${\ displaystyle y_ {i} \ in y}$${\ displaystyle \ forall i: ((x_ {i} \ geq y_ {i}) \ vee (y_ {i} \ geq x_ {i}))}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle>}$

${\ displaystyle x}$оптимум по Парето . ${\ displaystyle: \ Leftrightarrow \ neg (\ существует y: (\ forall i: y_ {i} \ geq x_ {i}) \ wedge (\ exists i: y_ {i}> x_ {i}))}$

Следует отметить, что в приведенном выше определении предполагалось, что даны только существование натуральных чисел и определение равенства без дополнительных пояснений. Эту формулировку следует рассматривать только как дополнение к приведенному выше описанию во введении, поскольку она предполагает меньшее количество предположений, чем неявно истинное. Акцент на произвольности количеств в начале также дает понять, что это понятие не обязательно должно ограничиваться использованием чисел. Если, например, ощущения отдельных испытуемых должны быть приняты во внимание в качестве факторов в эксперименте в социальных науках, но они не могут быть точно определены количественно, все же может случиться так, что оптимум Парето может быть найден. Единственным условием здесь было бы, чтобы эти ощущения можно было сравнивать друг с другом. ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

Примеры

пример 1

Ось y: сила; ось
x: «легкость» (= величина, обратная массе)

Компонент должен быть одновременно прочным и легким. Пусть он будет характеризоваться двумя свойствами - силой и массой . Чем выше прочность и меньше масса, тем лучше компонент. Если вы введете пары значений для многих различных компонентов на диаграмме, которая сравнивает силу и легкость (обратное значение массы), вы получите количество, отмеченное синим цветом на графике напротив.

При той же массе компонент, который сильнее, лучше. При той же прочности более легкий компонент лучше. Если улучшение одного значения соответствует ухудшению другого, компоненты не сопоставимы по Парето.

Что касается рисунка, значения справа и выше выше по Парето по сравнению со значениями слева и ниже. Все компоненты на красной кривой - «лучшие». Вы оптимальны по Парето. Тогда увеличение одного значения возможно только при уменьшении другого. (На красной линии: «Дальше вправо» заставляет вас «дальше вниз»; наоборот, «дальше вверх» заставляет вас также идти «дальше влево».)

Фронт Парето может уменьшить в дополнительное условие или требование к одному «(очень) лучших» компонента (в отношении всех трех требований). Это также может быть стандарт, который преобразует силу и массу в один размер, тем самым делая точки на красной линии сопоставимыми, что приводит к явно оптимальному решению (по отношению к стандарту). В зависимости от того, сопоставимы ли размеры, иногда не удается найти стандарт.

Пример 2

Предположим, есть три человека A, B и C, которые живут на улице. Для обеспечения питьевой водой необходимо пробурить скважину. За трубу от колодца до дома каждый должен платить. Именно поэтому каждому хочется, чтобы фонтан был как можно ближе к их дому.

На следующем рисунке расположение трех домов на улице обозначено буквами A, B и C. Кроме того, пять возможных мест для фонтана обозначены как b1, b2, b3, b4 и b5. Предполагается, что расстояние по вертикали / горизонтали до ближайшей скважины или соседа составляет 50 м каждое.

        Skizze der möglichen Orte für den Brunnen:

                     (b1)


                     (b2)    (b3)


                     (b4)    (b5)


        =====|A|=====|B|=====|C|========Straße =====

Установите A = {b1, b2, b3, b4, b5}

Параметры - это 3 элемента кортежа « Расстояние до A », « Расстояние до B » и « Расстояние до C »:

• b1 (158,1 м, 150,0 м, 158,1 м)
• b2 (111,8 м, 100,0 м, 111,8 м)
• b3 (141,4 м, 111,8 м, 100,0 м)
• b4 (70,7 м, 50,0 м, 70,7 м)
• b5 (111,8 м, 70,7 м, 50,0 м)

Для первого элемента кортежа (= «расстояние до A») b4 является оптимальным, для второго элемента кортежа также оптимальным является элемент b4, для третьего элемента кортежа оптимальным является элемент b5.

Таким образом, оптимум Парето равен {b4, b5}.

• Место b1 не является оптимальным по Парето, потому что место b2 по Парето выше места b1 (англ. Pareto-superior). Местоположение b2 представляет собой улучшение для всех участников по сравнению с b1.
• Но b2 также не является оптимальным по Парето, потому что b4 превосходит b2 по Парето. Местоположение b4 представляет собой улучшение для всех участников по сравнению с b2.
• Положения b2 и b3 не сопоставимы по критерию Парето, поскольку перемещение скважины с b2 на b3 ставит одного из участников в более выгодное положение, а другого - в худшее. То же самое касается перемещения колодца с b3 на b2. Невозможно взвесить преимущества и недостатки разных людей с помощью критерия Парето.
• Местоположение b3 также не является оптимумом по Парето, потому что b5 представляет собой улучшение для всех по сравнению с b3.
• Место b4 является оптимальным по Парето, потому что для b4 не существует превосходящей по Парето альтернативы, которая ставит (по крайней мере) одного из участников лучше, но в то же время не ухудшает положение другого.
• Однако местоположение b5 также является оптимальным по Парето, поскольку любое перемещение скважины в одно из других местоположений поставило бы отдельную точку C в худшее положение.
• Положения b4 и b5 не сопоставимы по критерию Парето, поскольку перемещение скважины с b4 на b5 ставит одного из участников в более выгодное положение, а другое - в худшее. То же самое и с ходом с b5 на b4.

Критерий Парето в сравнении с критерием общей полезности

Критерий оптимальности по Парето вытеснил утилитарный критерий «суммы индивидуальных выгод » , преобладавший до этого момента в экономической теории .

Под влиянием позитивистской философии науки идея полезности как количественно (кардинально) измеримой и для разных людей (межличностной) сопоставимой величины не была принята.

Порядковые оценки в форме предпочтений ( лучше / одинаково хорошо / хуже / не разрешимо) заменяют аддитивные, кардинальные переменные полезности . Как правило, из этого могут быть сформированы ранги (порядки предпочтений) (1 ранг , 2 ранг , 3 ранг и т. Д. Или короткие ). Нет необходимости в измерении полезности, которое можно было бы применить к межличностным отношениям, поскольку это индивидуальные порядки предпочтений. Взвешивание индивидов с их интересами подразумевается критерием Парето. Люди со своими интересами одинаково важны, поскольку не имеет значения, у кого из них лучше или хуже. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ Displaystyle х \ succ y \ succ z}$

Критерий Парето в связи с регулированием статус-кво

Сам по себе критерий Парето является правдоподобным и беспроблемным критерием для принятия социальных решений. Он защищает все изменения, которые полезны для всех и никому не вредны.

Однако это становится этически проблематичным, если оптимальность или эффективность, определенные таким образом, остаются единственной точкой зрения.

Как было показано, может существовать большое количество Pareto Optima, которые нельзя сравнивать друг с другом с точки зрения стоимости. Однако в экономической реальности отбор имеет место, потому что, как это обычно бывает с правовыми системами, существующая ситуация, статус-кво, сохраняется, если не принимаются никакие решения. В результате в существующей структуре нет никаких изменений до тех пор, пока она создает неудобства для любого владельца. Комбинируя критерий оптимальности по Парето с положением о статус-кво, критерий Парето работает в пользу существующих условий.

Экономическая теория вариантов использования

Социальная ситуация , тогда называют экономически эффективным и оптимальным по Парето , если это не представляется возможным благосостояние как отдельных лиц , путем ПЕРЕУСТАНОВКИ распределения для увеличения ресурсов без одновременного сокращения другого человека. Другими словами: состояние, при котором невозможно улучшить положение одного человека, одновременно не ухудшив положение другого. Поскольку оптимум Парето представляет собой социальный оптимум, к такому состоянию всегда стоит стремиться. Напротив, условие считается неэффективным по Парето, когда есть другое распределение, которое улучшает положение одного человека, но не ухудшает положение другого.

Условия эффективности (оптимальность по Парето)

Оптимальность экономики по Парето означает, что факторы производства используются оптимальным образом. Это так, если выполняются следующие условия:

1. Оптимальный обмен

Прирост предельной полезности всех товаров, потребляемых индивидом, одинаков. Говорят, что предельные нормы замещения одинаковы ( второй закон Госсена ). В этом случае индивид потребляет товары, которые максимизируют его полезность .

2. Оптимальное использование факторов

В маргинальных продуктивностей факторов , используемых должны быть одинаковыми. Это условие гарантирует, что будет произведено максимально возможное количество товаров.

В современной экономике отклонения от нескольких условий оптимальности по Парето происходят регулярно. В то же время монополии, внешние эффекты , информационная асимметрия и доступность общественных благ могут нарушить функционирование рыночного механизма. В этом случае, согласно теории второго лучшего, неясно, увеличивает ли эффективность единичная мера по созданию условий.

критика

Критерий Парето вызывает споры в экономической теории , особенно в контексте теории социального выбора .

В статье, опубликованной в 1970 году, Амартия Сен утверждал, что « либерал Парето невозможен ». Используя предположения, аналогичные тем, которые сделал Эрроу для его знаменитой теоремы о невозможности , но менее строгие, он продемонстрировал, что существуют ситуации, в которых «либеральное мировоззрение» (формализованное как социальное предпочтение, которое в определенных ситуациях строго соответствует предпочтениям конкретного человека). ) противоречит критерию Парето. Он проиллюстрировал это примером, в котором чопорный человек пожелал, чтобы его сосед не читал « Любовника леди Чаттерлей » Лоуренса, а предпочел бы сам прочитать книгу, даже если бы он ее ненавидел. Сосед хотел бы прочитать книгу сам, но даже предпочел бы, чтобы ее прочитала ханжа. Сен показал, что было бы оптимальным сделать выбор в пользу последнего при выборе между ханжой или тем, кто не читает книгу, и при выборе между распутником и никем, чтобы выбрать развратника, в то время как Парето было бы оптимальным, если бы ханжа читала Это. Из этого он пришел к выводу, что критерий Парето следует подвергнуть сомнению.

На практике редко будет возможность для действий правительства или изменения закона, которые фактически не поставили бы кого-либо в худшее положение. Гвидо Калабрези даже утверждал, что критерий оптимальности по Парето не может быть ориентиром для государства, потому что рациональные люди в соответствии с предположениями теоремы Коуза всегда находили оптимальные по Парето решения между собой в частных переговорах. Решения государства обязательно всегда будут иметь распределительный эффект, и некоторым пострадавшим гражданам всегда будет хуже.

Смотри тоже

• Критерий Калдора-Хикса
• Компромисс

литература

• Дитер Брюммерхофф : Финансы. 9-е, полностью переработанное и дополненное издание. Oldenbourg Verlag, Мюнхен и др. 2007, ISBN 978-3-486-58483-7 .
• Эберхард Фесс: Микроэкономика. Теория игр и введение, ориентированное на приложения. Метрополис, Марбург 1997, ISBN 3-89518-276-1 ((= компактное исследование экономики. Том 1). 3-е, полностью переработанное издание. Вален, Мюнхен 2004, ISBN 3-8006-3069-9 ).
• Амартия К. Сен : Коллективный выбор и социальное обеспечение ( Математические тексты экономики. Том 5). Холден-Дэй и др., Сан-Франциско, Калифорния и др. 1970, ISBN 0-8162-7765-6 .
• Харальд Визе:
  • Кооперативная теория игр. Oldenbourg 2005, ISBN 3-486-57745-X .
  • Микроэкономика. 4-е, переработанное издание. Springer, Berlin et al. 2005, ISBN 3-540-24203-1 .

веб ссылки

Викисловарь: Оптимум  - объяснение значений, происхождение слов, синонимы, переводы

• Литература по оптимуму Парето в каталоге Немецкой национальной библиотеки

Индивидуальные доказательства

1. ^ Дитер Брюммерхофф: Финансы. 2007. С. 102.
2. ↑ Амартия Сен: Невозможность паретианского либерала . В: Журнал политической экономии . Лента 78 , 1970, стр. 152-157 . 
3. ↑ Амартия Сен: Свобода, единодушие и права . В кн . : Economica . Лента 43 , 1976, с. 217-245 ( Интернет ( Memento от 20 июня 2015 года в Internet Archive ) [PDF, 1,9 МБ ]). 
4. ^ ^{А б} Аллан М. Фельдман: Оптимальность по Парето . В: Питер Ньюман (ред.): Новый словарь экономики и права Палгрейва . 1998 г. 
5. ↑ Гвидо Калабрези: Бессмысленность Парето: Проведение Коуза дальше . В: Йельский юридический журнал . Лента 100 , нет. 5 , 1991, DOI : 10,2307 / 796691 . 
6. ↑ 1-е издание 2002 г., Springer TB 2013 г., ISBN 978-3-540-42747-6
7. ↑ 6-е издание 2013 г., ISBN 3-642-38792-6