Кардинальное число (математика)

Кардинальные числа ( латинское cardo «дверная петля», «точка поворота») являются обобщением натуральных чисел в математике для описания мощности , также называемой мощностью множеств . В отличие от порядкового номера, который указывает положение элемента в конечно упорядоченном множестве, например, десятом доме, кардинальное число указывает общее количество элементов в конечном множестве, то есть десять домов. Развитие понимания кардинальных чисел, также известного как понимание количества, в том смысле, что количество домов в десять включает также количество домов от одного до десяти, является важным фактором в предотвращении и лечении дискалькулии .

Мощность конечного множества - это натуральное число - количество элементов в множестве. Математик Георг Кантор описал, как эту концепцию можно обобщить на бесконечные множества в рамках теории множеств и как можно производить вычисления с бесконечными кардиналами.

Бесконечное количество может иметь разную толщину. Они обозначаются символом ( Алеф , первая буква еврейского алфавита) и индексом (первоначально целым числом). В этих обозначениях содержится сила натуральных чисел , наименьшая бесконечность . ${\ displaystyle \ aleph}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Натуральное число может быть использовано для двух целей: с одной стороны , чтобы описать число элементов конечного множества, а с другой стороны , чтобы указать позицию элемента в конечном упорядоченном множестве. Хотя эти две концепции совпадают для конечных множеств, нужно различать их для бесконечных множеств. Описание позиции в упорядоченном множестве приводит к понятию порядкового номера , а указание размера приводит к количественным числам, которые здесь описаны.

определение

Два множества и называются равными, если существует взаимно однозначное соответствие от до ; потом пишут или . Равномерность - это отношение эквивалентности на классе всех множеств. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ left \ vert X \ right \ vert = \ left \ vert Y \ right \ vert}$ ${\ displaystyle X \ sim Y}$ ${\ displaystyle \ sim}$

Кардинальные числа как действительные классы: Класс эквивалентности множества по отношению равенства называется кардинальным числом . ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ влево \ верт X \ вправо \ верт}$

Проблема с этим определением состоит в том, что сами количественные числа являются не наборами, а реальными классами. (За исключением ). ${\ displaystyle \ left \ vert \ emptyset \ right \ vert}$

Эту проблему можно обойти, не обозначая весь класс эквивалентности, а выбирая из него элемент, так сказать, выбирая репрезентативную систему. Чтобы сделать это формально правильно, используется теория порядковых чисел , которую нужно было заранее определить с помощью этого подхода: ${\ Displaystyle \ влево \ верт X \ вправо \ верт}$

Кардинальные числа как специальный порядковый номер: Каждая сумма равноценна хорошо упорядоченной сумме (если этого требует аксиома выбора, эквивалентная теореме о хорошем порядке ). Чтобы услышать порядковый номер. можно выбрать так, чтобы этот порядковый номер был как можно меньше, поскольку сами порядковые номера хорошо упорядочены; то есть стартовый номер . Кардинальное число можно приравнять к этому наименьшему порядковому числу. ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ Displaystyle \ влево \ верт А \ вправо \ верт}$

С помощью этой теоретико-множественной манипуляции мощность множества сама по себе является множеством. Сразу следует принцип сопоставимости, согласно которому количественные числа полностью упорядочены, потому что они даже хорошо упорядочены как подмножество порядковых чисел. Это невозможно доказать без аксиомы выбора.

мотивация

Кардинальные числа явно используются для сравнения размеров наборов без необходимости ссылаться на внешний вид их элементов. Это легко для конечных множеств. Вы просто подсчитываете количество элементов. Чтобы сравнить мощность бесконечных множеств, потребуется немного больше работы.

Далее термины имеют одинаковую и менее значительную силу:

Если есть биекция из на подмножества , то в большинстве называется равным к . Потом пишешь .

{\ displaystyle f}

{\ displaystyle A}

{\ displaystyle B}

{\ displaystyle A}

{\ displaystyle B}

{\ displaystyle \ left \ vert A \ right \ vert \ leq \ left \ vert B \ right \ vert}

Если есть биекция из на подмножества , но не биекция к не существует, то называется менее мощным , чем и мощнее . Потом пишешь .

{\ displaystyle f}

{\ displaystyle A}

{\ displaystyle B}

{\ displaystyle A}

{\ displaystyle B}

{\ displaystyle A}

{\ displaystyle B}

{\ displaystyle B}

{\ displaystyle A}

{\ Displaystyle \ влево \ верт А \ вправо \ верт <\ влево \ верт В \ вправо \ верт}

Более подробно эти термины объясняются в статье Power .

Например, для конечных множеств верно, что реальные подмножества менее эффективны, чем все множество, тогда как в статье Hilbert's Hotel используется пример, чтобы проиллюстрировать, что бесконечные множества имеют реальные подмножества, которые им равны.

При исследовании этих больших множеств возникает вопрос, обязательно ли у упорядоченных множеств одинаковой мощности совпадающие порядки. Оказывается, что это не так для бесконечных множеств, например Б. обычный порядок натуральных чисел отличается от упорядоченного набора . Толпа тоже равная . Это взаимное соответствие, но в отличие от него есть один величайший элемент. Если принять во внимание порядок наборов, мы придем к порядковым номерам . Порядковый номер называется, а порядковый номер - . ${\ Displaystyle \ mathbb {N} = \ {0 <1 <2 <3 <\ dotsb \}}$ ${\ Displaystyle A: = \ {0 <1 <2 <3 <\ dotsb <0 ^ {\ prime} \}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle е \ двоеточие 0 \ mapsto 1.1 \ mapsto 2.2 \ mapsto 3, \ точки, 0 ^ {\ prime} \ mapsto 0}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ omega +1}$

характеристики

В количестве элементов статьи показано, что числа полностью упорядочены .

Множество называется конечным, если существует такое натуральное число , что в нем ровно элементов. Это означает , что либо пуст, если , или что существует биекция из на множество . Множество называется бесконечным, если такого натурального числа нет. Множество называется счетно бесконечным, если существует биекция на множество натуральных чисел , т. Е. т.е. если их толщина составляет. Множество называется счетным, если оно конечно или счетно бесконечно. Толщина вещественных чисел обозначается (толщина континуума). ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle n = 0}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ {1, \ точки, п \}}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$

Можно показать следующее:

Бесконечные множества - это в точности те множества, которые равны реальному подмножеству (см. Дедекинд-бесконечность ).
Диагональное доказательство Кантора показывает, что для каждого множества множество всех его подмножеств имеет большую мощность, т. Е. ЧАС. . Отсюда следует, что наибольшего кардинального числа не существует. Для конечных множеств , причина альтернативной орфографии для набора мощности: . Равные наборы имеют равные наборы мощности, т.е. ЧАС. назначение для бесконечных множеств не зависит от конкретного выбора этого множества для данной толщины - в любом случае это верно для конечных множеств. ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (М)}$ ${\ displaystyle | {\ mathcal {P}} (M) |> | M |}$
${\ Displaystyle | {\ mathcal {P}} (M) | = 2 ^ {| M |}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (M) = 2 ^ {M}}$
${\ Displaystyle | M | \ mapsto 2 ^ {| M |}: = | 2 ^ {M} | = | {\ mathcal {P}} (M) |}$ ${\ displaystyle M}$

Множество действительных чисел равномощно булеана натуральных чисел: . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {c}} \ Equiv | \ mathbb {R} | = | 2 ^ {\ mathbb {N}} | \ Equiv 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$
Также верно, что кардинальное число - это наименьшее бесконечное кардинальное число. Следующее более высокое кардинальное число упоминается по определению . Предполагая , что гипотеза континуума является ; однако это определенно верно даже без гипотезы континуума . Для каждого ординала существует -е бесконечное кардинальное число , и каждое бесконечное кардинальное число достигается таким образом. Поскольку ординалы образуют реальный класс , кардинальный класс также реален . ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {1} = \ left \ vert \ mathbb {R} \ right \ vert}$ ${\ Displaystyle \ Алеф _ {1} \ leq \ left \ vert \ mathbb {R} \ right \ vert}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$

Обратите внимание, что без аксиомы выбора множества не обязательно могут быть хорошо упорядочены, и поэтому нельзя вывести уравнение кардинальных чисел с некоторыми порядковыми числами, приведенными в разделе об определении. Кардинальные числа все еще можно определить как классы эквивалентности множеств равной мощности. Затем они упорядочиваются только частично , поскольку разные количественные числа больше не должны быть сопоставимыми (это требование эквивалентно выбранной аксиоме). Но можно также исследовать количество множеств, вообще не используя количественные числа.

Арифметические операции

Если и - непересекающиеся множества, то определяется ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$

${\ Displaystyle | X | + | Y |: = | X \ чашка Y |}$
${\ Displaystyle | X | \ cdot | Y |: = | X \ раз Y |}$
${\ Displaystyle | X | ^ {| Y |}: = | X ^ {Y} |}$ .

Вот декартово произведение и множество всех функций от до . Поскольку набор мощности набора (на каждую индикаторную функцию для ) может быть биективно отображен на набор функций , это определение соответствует предыдущему определению мощности наборов мощности (другими словами , продолжением для ). ${\ Displaystyle X \ раз Y}$ ${\ displaystyle X ^ {Y}}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Z \ mapsto I_ {Z}}$ ${\ Displaystyle Z \ substeq X}$ ${\ displaystyle X \ to \ {0.1 \}}$ ${\ Displaystyle | 2 ^ {Y} | = 2 ^ {| Y |}}$ ${\ displaystyle | X | \ neq 2}$

Можно показать, что эти ссылки для натуральных чисел согласуются с обычными арифметическими операциями. Кроме того, применяется для всех величин , , : ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Z}$

Сложение и умножение ассоциативны и коммутативны .
Сложение и умножение подчиняются закону распределения .
Силовые законы так и применяются . ${\ Displaystyle | X | ^ {| Y | + | Z |} = | X | ^ {| Y |} \ cdot | X | ^ {| Z |}}$ ${\ Displaystyle | X | ^ {| Y | \ cdot | Z |} = (| X | ^ {| Y |}) ^ {| Z |}}$
Сложение и умножение бесконечных кардинальных чисел легко (при условии выбора аксиомы): равно или бесконечно, и в случае умножения оба набора не пусты, тогда применяется следующее ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$

{\ Displaystyle | X | + | Y | = | X | \ cdot | Y | = \ max \ {| X |, | Y | \}}

Ни одно кардинальное число не имеет противоположного числа ( элемент, обратный по отношению к сложению ), поэтому кардинальные числа не образуют группу с сложением и, конечно же, не кольцо .

Обозначение

Конечные кардинальные числа являются натуральными числами и отмечены соответствующим образом. Алеф обозначение как правило , используется для бесконечных кардинальных чисел, то есть для первого бесконечного кардинального числа, для второго и т.д. В общем, есть также кардинальное число для каждого порядкового числа . ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$

Фактически известные количественные числа иногда представляются с помощью функции Бет . Важный из них (обратите внимание, что у алефа здесь нет индекса). В математике, помимо фундаментальных исследований, иногда встречаются наборы величин (например, набор степеней , количество измеримых множеств по Лебегу, набор всех - не обязательно непрерывных - функций от до и т. П.), Более высокие числа обычно не встречаются . ${\ displaystyle \ beth _ {1} = \ aleph = {\ mathfrak {c}} = 2 ^ {\ aleph _ {0}} = | \ mathbb {R} |}$ ${\ displaystyle \ beth _ {2}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Соответствующее использование в качестве количественного числа можно распознать по написанию. Соответственно применяется модель фон-Неймана (обратите внимание на отсутствие линий электропередач), но первая используется для порядкового числа, среднее значение для кардинального числа, а последнее - для набора натуральных чисел. ${\ displaystyle \ omega = \ aleph _ {0} = \ mathbb {N}}$

Гипотеза континуума

Гипотеза обобщенного континуума ( англ. Generalized Continum hypothesis , отсюда GCH для краткости) утверждает, что для каждого бесконечного множества есть между кардинальными числами и никакими другими кардинальными числами. Гипотеза континуума ( английская гипотеза континуума , сокращенно СН) делает это утверждение на всякий случай . Он не зависит от теории множеств Цермело-Френкеля вместе с аксиомой выбора (ZFC). ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle | X |}$ ${\ displaystyle 2 ^ {| X |}}$ ${\ Displaystyle X = \ mathbb {N}}$

Индивидуальные доказательства

↑ Дитер Клауа : Теория множеств . Учебник Де Грюйтера. de Gruyter, Берлин, Нью-Йорк 1979, ISBN 3-11-007726-4 . Здесь стр.75, определение 16, часть 1, определение 16, часть 2
↑ Томас Стейнфельд: толщина равна Mathpedia
↑ В ZFC - это единственное недостижимое кардинальное число. Однако во вселенной Гротендика есть недостижимые кардинальные числа . ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Смотри тоже

литература

Эрих Камке : Теория множеств (= Göschen Collection. Vol. 999 / 999a). 7-е издание. de Gruyter, Berlin et al.1971 , ISBN 3-11-003911-7 .

[1] Дитер Клауа : Теория множеств . Учебник Де Грюйтера. de Gruyter, Берлин, Нью-Йорк 1979, ISBN 3-11-007726-4 . Здесь стр.75, определение 16, часть 1, определение 16, часть 2

[2] Томас Стейнфельд: толщина равна Mathpedia

[3] В ZFC - это единственное недостижимое кардинальное число. Однако во вселенной Гротендика есть недостижимые кардинальные числа . ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Languages