простое число

Простое число (из Латинского Numerus Primus «первого номера» ) является натуральным числом , то есть больше , чем 1 , и только делящегося на себя и на 1 . Здесь примус , особенно «начало, первое (вещей)», так что «начальное число» означает, что из любого другого натурального числа можно построить умножение .

Множество простых чисел , обычно обозначается с помощью символа . With connected - результат упорядоченных по размеру простых чисел, которые также являются вызовами простых последствий . Соответственно ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle \ left (p_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

${\ Displaystyle \ mathbb {N} \ supset \ mathbb {P} = \ {p_ {n} \ mid n \ in \ mathbb {N} \}}$

с участием

${\ displaystyle \ left (p_ {n} \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}} = \ left (2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31, 37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97, \ dotsc \ right)}$(Следуйте A000040 в OEIS ).

Важность простых чисел для многих областей математики основана на трех следствиях их определения: ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$

• Существование и уникальность факторизации простых чисел : каждое натуральное число, которое больше 1 и само не является простым числом, может быть записано как произведение по крайней мере двух простых чисел. Это представление продукта однозначно, за исключением порядка факторов. Это служит доказательством
• Лемма Евклида : если произведение двух натуральных чисел делится на простое число, то по крайней мере один из множителей делится на них.
• Простые числа не могут быть представлены как произведение двух натуральных чисел, каждое из которых больше 1.

Эти свойства используются в алгебре для обобщения понятия простых чисел .

Число, которое является произведением двух или более простых множителей, называется составным . Число 1 не простое и не составное, что связано с его обратимостью . Все остальные натуральные числа могут быть простыми (т.е. простыми) или составными.

Даже в Древней Греции к простым числам проявляли интерес, и некоторые их свойства были открыты. Хотя с тех пор простые числа всегда были очень привлекательными для людей, многие вопросы о простых числах остаются без ответа , в том числе те, которым более ста лет и которые легко понять. К ним относятся гипотеза Гольдбаха , согласно которой каждое четное число, кроме 2, может быть представлено как сумма двух простых чисел, и гипотеза о бесконечном числе простых близнецов (это пары простых чисел, разность которых равна 2 ).

Простые числа и их свойства играют важную роль в криптографии, потому что простые множители невозможно найти эффективно даже с появлением электронных вычислительных машин. С другой стороны, эти машины обеспечивают эффективное шифрование и, если вы знаете ключ, дешифрование даже длинных текстов.

Свойства простых чисел

Простые числа находятся в пределах множества натуральных чисел, тем самым , отличающийся тем , что каждый из них естественные ровно два числа , как разделитель имеет.${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

За исключением числа 2, все простые числа нечетные, потому что все большие четные числа могут быть разделены на 2 (по крайней мере) в дополнение к себе и 1. Таким образом, каждое простое число, кроме 2, имеет форму натурального числа . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 2k + 1}$${\ displaystyle k}$

Каждое простое число может быть отнесено к одному из двух классов «простое число формы » или «простое число формы », где - натуральное число. Каждое простое число также может быть отнесено к одному из двух классов «простое число формы » или «простое число формы », где - натуральное число. Кроме того, каждое простое число имеет вид или , где - натуральное число. Кроме того, каждое простое число оканчивается одной из четырех десятичных цифр или . Согласно теореме Дирихле о простых числах, в каждом из этих классов бесконечно много простых чисел. ${\ displaystyle p \ neq 2}$${\ displaystyle 4k + 1}$${\ displaystyle 4k + 3}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle p \ neq 3}$${\ displaystyle 3k + 1}$${\ displaystyle 3k + 2}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle p> 3}$${\ displaystyle p = 6k + 1}$${\ displaystyle p = 6k-1}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle p> 5}$ ${\ displaystyle 1,3,7}$${\ displaystyle 9}$

Каждое натуральное число формы с неотрицательным целым числом содержит по крайней мере один простой множитель формы . Соответствующее утверждение о числах формы или простых множителях формы невозможно. ${\ displaystyle 4m + 3}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle 4k + 3}$${\ displaystyle 4m + 1}$${\ displaystyle 4k + 1}$

Простое число может быть записано в форме с целыми числами тогда и только тогда, когда форма имеет ( теорема о двух квадратах ). В этом случае представление по существу ясное; ЧАС. для заказа , за исключением и знак из . Это представление соответствует разложению на простые множители ${\ displaystyle p> 2}$${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 4k + 1}$${\ displaystyle a, b}$

${\ displaystyle p = (a + b \ mathrm {i}) (от \ mathrm {i})}$

в кольце целых гауссовских чисел .

Число −1 является квадратичным остатком по модулю любого простого числа формы и квадратичным неостаточным остатком по модулю любого простого числа формы . ${\ displaystyle 4k + 1}$${\ displaystyle 4k + 3}$

Простое число также может быть четко записано в форме с целыми числами тогда и только тогда, когда форма имеет.${\ displaystyle p> 3}$${\ displaystyle a ^ {2} + 3b ^ {2}}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle 3k + 1}$

Если число не делится на какое-либо простое число , то это простое число (см. Раздел « Тесты на первичность» и статью « Пробное деление» ). ${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle 2 \ leq p \ leq {\ sqrt {n}}}$${\ displaystyle n}$

Маленькая теорема Ферма

Пусть это будет простое число. Для каждого целого числа , которое не делится на , применяется следующее (обозначения см. В сравнении ): ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle а ^ {р-1} \ эквив 1 \ мод р.}$

Для чисел , которые не делятся на числа , следующая формулировка эквивалентна: ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle a}$

${\ Displaystyle а ^ {р} \ эквив а \ мод р.}$

Есть числа , которые не являются простыми, но ведут себя как простые числа с основанием , т.е. ч., это так . Такие называются псевдопричинениями Ферма для основания . Одно это псевдопростое число Ферма по всем основаниям , которые взаимно просты в это называется число Кармайкл . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle а ^ {п-1} \ эквив 1 {\ bmod {п}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a}$

В этом контексте проблема псевдопростых чисел Ферма становится очевидной: они ошибочно принимаются за простые числа с помощью теста на простоту, который использует малую теорему Ферма (тест на простоту Ферма ). Однако, если метод шифрования, такой как RSA, использует составное число вместо простого числа, шифрование больше не является безопасным. Следовательно, в таких процедурах необходимо использовать более качественные тесты на простоту.

Эйлер и символ Лежандра

Простым следствием Малой теоремы Ферма является следующее утверждение: для любого нечетного простого числа и любого целого , которое не делится на , либо ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle а ^ {\ гидроразрыва {р-1} {2}} \ эквив 1 \ мод р}$

или

${\ displaystyle a ^ {\ frac {p-1} {2}} \ Equiv -1 \ mod p.}$

Можно показать, что первый случай имеет место тогда и только тогда, когда существует квадратное число , конгруэнтное по модулю  , см. Символ Лежандра . ${\ displaystyle m ^ {2}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle p}$

Биномиальный коэффициент

Для простых чисел и мы имеем ${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle 1 \ Leq к <р}$

${\ displaystyle p \, {\ Big |} {p \ choose k};}$

вместе с биномиальным предложением следует

${\ displaystyle (a + b) ^ {p} \ Equiv a ^ {p} + b ^ {p} \ mod p.}$

Для целых чисел это утверждение также непосредственно следует из Малой теоремы Ферма, но его также можно использовать, например, для многочленов с целочисленными коэффициентами; в общем контексте это соответствует тому факту, что отображение в кольцах характеристики является гомоморфизмом, так называемым гомоморфизмом Фробениуса . ${\ displaystyle a, b}$${\ Displaystyle х \ mapsto х ^ {p}}$ ${\ displaystyle p}$

Из теоремы Вильсона ( является простым числом тогда и только тогда, когда оно есть) следует, что для каждого простого числа и любого натурального числа существует сравнение ${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle (п-1)! \ Equiv -1 {\ pmod {p}}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {{np-1} \ choose {p-1}} \ Equiv 1 {\ pmod {p}}}$

доволен.

Чарльз Бэббидж доказал в 1819 году, что для любого простого числа выполняется это сравнение: ${\ displaystyle p> 2}$

${\ Displaystyle {{2p-1} \ choose {p-1}} \ Equiv 1 {\ pmod {p ^ {2}}}}$

Затем в 1862 году математик Джозеф Вольстенхолм (1829–1891) доказал, что к каждому простому числу применимо следующее сравнение: ${\ displaystyle p> 3}$

${\ displaystyle {{2p-1} \ choose {p-1}} \ Equiv 1 {\ pmod {p ^ {3}}}}$

Giuga

Из Малой теоремы Ферма следует, что для простого числа : ${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle 1 ^ {p-1} + 2 ^ {p-1} + \ dotsb + (p-1) ^ {p-1} \ Equiv -1 {\ pmod {p}}}$

Пример : ${\ displaystyle p = 5}$

${\ Displaystyle 1 ^ {4} + 2 ^ {4} + 3 ^ {4} + 4 ^ {4} = 1 + 16 + 81 + 256 = 354 = 71 \ CDOT 5-1 \ эквив -1 {\ pmod {5}}}$

Джузеппе Джуга предположил, что обратное направление также применимо, то есть что число с этим свойством всегда простое. Неясно, верно ли это предположение. Однако известно, что контрпример должен содержать более 10 000 десятичных знаков. В связи с гипотезой Giuga в , то число джуги будут рассмотрены.

Линейные рекурсии

Теорема Маленькой Фермы также может быть считана в виде: В дальнейшем , то -й термин для простого числа всегда делится. Другие последовательности экспоненциального характера, такие как последовательность Люка ( ) и последовательность Перрина ( ), имеют аналогичные свойства . Аналог применяется к другой линейной рекурсии, но более сложным утверждениям, таким как последовательность Фибоначчи : если простое число, то на делимое; здесь ${\ displaystyle a ^ {n} -a}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p \ mid L_ {p} -1}$${\ displaystyle p \ mid P_ {p}}$ ${\ Displaystyle (е_ {п}) _ {п = 0,1,2, \ dotsc} = 0,1,1,2,3,5, \ dotsc}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle f_ {p} - {\ Big (} {\ frac {p} {5}} {\ Big)}}$${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle {\ Big (} {\ frac {p} {5}} {\ Big)} = {\ begin {case} 1 & p \ Equiv 1,4 \ mod 5 \\ - 1 & p \ Equiv 2 , 3 \ mod 5 \\ 0 & p = 5 \ end {case}}}$

символ Лежандра .

Расхождение суммы обратных значений

Серии взаимных значений простых чисел расходятся. Следовательно:

${\ displaystyle \ sum _ {я = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {p_ {i}}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3} } + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {11}} + \ dotsb = \ infty}$.

Это эквивалентно утверждению, что последовательность, определенная с помощью , не имеет конечного предельного значения, что, в свою очередь, означает, что любое вообразимое действительное число может быть превышено для достаточно большого выбранного . Во-первых, это удивительно, поскольку промежутки между простыми числами в среднем продолжают увеличиваться. Набор Мертенс делает заявление о точном поведении роста этих рядов расходящихся. ${\ displaystyle \ textstyle a_ {n} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {p_ {i}}}}$${\ displaystyle n}$

Тесты на первичность

Чтобы узнать, является ли какое-либо натуральное число простым, можно использовать тест на простое число. Есть несколько таких методов, основанных на особых свойствах простых чисел. На практике чаще всего используется тест Миллера-Рабина , который имеет чрезвычайно короткую продолжительность, но имеет низкую вероятность получения ложноположительных результатов. С помощью теста на простоту AKS можно выбрать простоту без риска ошибки во времени работы полинома. Однако на практике он значительно медленнее, чем тест Миллера-Рабина.

Свидетельство о простом номере

Узнать, является ли натуральное число простым или нет, может быть проблемой. Однако для каждого простого числа может быть дана цепочка утверждений, все из которых сразу же понятны, вместе доказывают простоту и общая длина которых не более чем пропорциональна квадрату длины простого числа. Такой документ называется Сертификат (англ. Primality certificate ).

В случае составного характера (не примитивности) числа разница между получением и обнаружением квитанции еще более очевидна: в качестве доказательства достаточно двух факторов, произведение которых дает составное число; Поиск действительного делителя может потребовать больших усилий.

Наибольшее известное простое число

В четвертом веке до нашей эры греческий Евклид логически заключил, что существует бесконечное число простых чисел; это утверждение называется теоремой Евклида . Евклид представил доказательство противоречия в правильности этой теоремы ( Элементы, Книга IX, § 20): исходя из предположения, что существует только конечное число простых чисел, можно построить другое число, которое имеет ранее неизвестное простое число в качестве делителя или само по себе является простым числом, что противоречит предположению. Таким образом, конечное множество никогда не может содержать все простые числа, поэтому их бесконечно много. Сегодня нам известен целый ряд доказательств теоремы Евклида.

Теорема Евклида утверждает, что не существует наибольшего простого числа. Однако не существует известного метода, который бы эффективно генерировал произвольно большие простые числа - вот почему всегда было наибольшее известное простое число с тех пор, как люди начали иметь дело с простыми числами. В настоящее время (по состоянию на декабрь 2018 года) это число из 24862 048 (десятичных) цифр, которое было рассчитано 7 декабря 2018 года. Первооткрыватель Патрик Ларош получил 3000 долларов от проекта Great Internet Mersenne Prime Search , который занимается поиском простых чисел Мерсенна с использованием распределенных вычислений .${\ displaystyle 2 ^ {82,589,933} -1,}$

Наибольшее известное простое число почти всегда было простым числом Мерсенна, то есть той формы , в которой тест Лукаса-Лемера может использоваться в этом частном случае , очень быстрый тест простых чисел по сравнению с общей ситуацией. Поэтому при поиске больших простых чисел проверяются на простоту только числа этого или аналогичного подходящего типа. ${\ displaystyle 2 ^ {n} -1,}$

Список рекордных простых чисел по годам

количество	Количество десятичных цифр	год	Explorer (используется компьютер)
2 17 -1	Шестой	1588	Катальди
2 19 -1	Шестой	1588	Катальди
2 31 −1	10	1772 г.	Эйлер
(2 59 -1) / 179,951	13-е	1867 г.	Ландри
2 127 -1	39	1876 ​​г.	Лукас
(2 148 +1) / 17	44 год	1951 г.	Ferrier
180 · (2 127 −1) 2 +1	79	1951 г.	Миллер и Уиллер (EDSAC1)
2 521 −1	157	1952 г.	Робинсон ( SWAC )
2 607 -1	183	1952 г.	Робинсон (SWAC)
2 1,279 -1	386	1952 г.	Робинсон (SWAC)
2 2 203 -1	664	1952 г.	Робинсон (SWAC)
2 2,281 -1	687	1952 г.	Робинсон (SWAC)
2 3 217 -1	969	1957 г.	Ризель (БЭСК)
2 4,423 -1	1,332	1961 г.	Гурвиц (IBM7090)
2 9,689 -1	2 917	1963 г.	Гиллис (ИЛЛИАК 2)
2 9,941 -1	2,993	1963 г.	Гиллис (ИЛЛИАК 2)
2 11 213 -1	3 376	1963 г.	Гиллис (ИЛЛИАК 2)
2 19 937 -1	6,002	1971 г.	Такерман (IBM360 / 91)
2 21 701 -1	6 533	1978 г.	Noll & Nickel (CDC Cyber ​​174)
2 23 209 -1	6 987	1979 г.	Нолл (CDC Cyber ​​174)
2 44 497 -1	13 395	1979 г.	Нельсон и Словински (Cray 1)
2 86 243 -1	25 962	1982 г.	Словински (Крей 1)
2 132 049 -1	39 751	1983 г.	Словински (Cray X-MP)
2 216,091 -1	65 050	1985 г.	Словински (Cray X-MP / 24)
391 581 · 2 216 193 -1	65 087	1989 г.	"Амдалер Шесть" (Амдал 1200)
2 756 839 -1	227,832	1992 г.	Словински и Гейдж (Cray 2)
2 859 433 -1	258,716	1994 г.	Словински и Гейдж (Cray C90)
2 1,257,787 -1	378,632	1996 г.	Словински и Гейдж (Cray T94)
2 1,398,269 -1	420.921	1996 г.	Арменгауд, Вольтман ( GIMPS , Pentium 90 МГц)
2 2 976 221 -1	895 932	1997 г.	Спенс, Вольтман (GIMPS, Pentium 100 МГц)
2 3 021 377 -1	909 526	1998 г.	Кларксон, Вольтман, Куровски (GIMPS, Pentium 200 МГц)
2 6 972 593 -1	2,098,960	1999 г.	Хайратвала, Вольтман, Куровски (GIMPS, Pentium 350 МГц)
2 13 466 917 -1	4 053 946	2001 г.	Кэмерон, Вольтман, Куровски (GIMPS, Athlon 800 МГц)
2 20.996.011 -1	6.320.430	2003 г.	Шафер (GIMPS, Pentium 4 2 ГГц)
2 24 036 583 -1	7 235 733	2004 г.	Финдли (GIMPS, Pentium 4 2,4 ГГц)
2 25 964 951 -1	7 816 230	2005 г.	Nowak (GIMPS, Pentium 4 2,4 ГГц)
2 30,402,457 -1	9 152 052	2005 г.	Купер, Бун (GIMPS, Pentium 4 3 ГГц)
2 32 582 657 -1	9 808 358	2006 г.	Купер, Бун (GIMPS, Pentium 4 3 ГГц)
2 43.112.609 -1	12 978 189	2008 г.	Смит, Вольтман, Куровски и др. (GIMPS, Core 2 Duo 2,4 ГГц)
2 57 885 161 -1	17 425 170	2013	Купер, Вольтман, Куровски и др. (GIMPS, Core2 Duo E8400 @ 3,00 ГГц)
2 74 207 281 -1	22 338 618	2016 г.	Купер, Вольтман, Куровски и др. (GIMPS, Intel i7-4790 @ 3,60 ГГц)
2 77 232 917 -1	23 249 425	2017 г.	Джонатан Пейс и др. (GIMPS, Intel i5-6600 @ 3,30 ГГц)
2 82,589,933 -1	24 862 048	2018 г.	Патрик Ларош и др. (GIMPS, Intel i5-4590T @ 2,0 ГГц)

Распространение и рост

Функция Пи и теорема о простых числах

Чтобы исследовать распределение простых чисел, среди прочего рассматривается функция

${\ displaystyle \ pi \ двоеточие \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}, \; n \ mapsto \ pi (n)}$,

количество простых чисел, указывающих и вызывается Primzahlzählfunktion . Например, это ${\ displaystyle \ leq n}$

${\ Displaystyle \ пи (1) = 0 \; \ \ пи (10) = 4 \; \ \ пи (100) = 25 \; \ \ пи (1000) = 168; \ \ пи (1000000) = 78498}$.

Эта функция и ее поведение роста - популярный объект исследований в теории чисел. Со временем были разработаны и усовершенствованы некоторые формулы аппроксимации.

Теорема о простых числах гласит, что

${\ displaystyle \ pi (x) \ sim {\ frac {x} {\ ln x}}}$

то есть частное левой и правой части стремится к 1: ${\ Displaystyle х \ к \ infty}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {\ pi (x)} {\ frac {x} {\ ln x}}} = 1}$(см. асимптотический анализ )

С другой стороны, теорема Дирихле о простых числах ограничивает рассмотрение остаточными классами : пусть это будет натуральное число. Если есть целое число, которое не является относительно простым , арифметическая последовательность может быть${\ displaystyle m}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle m}$

${\ Displaystyle а, а + м, а + 2 м, а + 3 м, \ dotsc}$

содержат не более одного простого числа, потому что все члены ряда делятся на наибольший общий делитель и . Но если взаимно просто , то теорема Дирихле о простых числах утверждает, что последовательность содержит бесконечно много простых чисел. Например, существует бесконечное количество простых чисел формы и бесконечное число форм ( в каждом случае пробегает неотрицательные натуральные числа). ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle 4k + 1}$${\ displaystyle 4k + 3}$${\ displaystyle k}$

Это утверждение может быть дополнительно указано в следующей форме: Применяется

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {\ # \ {p \ \ mid \ \ mathrm {prim}, \ p \ leq x \ \ mathrm {and} \ p \ Equiv a {\ pmod {m}} \}} {\ # \ {p \ \ mid \ \ mathrm {prim}, \ p \ leq x \}}} = {\ frac {1} {\ varphi (m)}};}$

здесь функция фи Эйлера . В этом смысле, следовательно, есть простые числа для фиксированного в остальных классах с «одинаковым числом» в каждом случае. ${\ Displaystyle \ varphi (м)}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle а + м \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathrm {ggT} (а, м) = 1}$

Барьеры

(Доказанное) неравенство Бонса гарантирует, что квадрат простого числа меньше произведения всех меньших простых чисел (начиная с пятого простого числа).

Согласно (недоказанной) гипотезе Андрицы , разница между корнями -го и -го простых чисел меньше единицы. ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle (п + 1)}$

Основные зазоры

Разница между двумя соседними простыми числами называется промежутком между простыми числами. Эта разница колеблется, и есть промежутки между простыми числами произвольного размера. Но также есть ограничения на размер щели в зависимости от его расположения:

Набор Бертрана обеспечивает существование простого числа между любым натуральным числом и его двойником . ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2n}$

Согласно (недоказанной) гипотезе Лежандра между и всегда стоит хотя бы один штрих . ${\ Displaystyle п ^ {2}}$${\ Displaystyle (п + 1) ^ {2}}$

Оценки простых чисел и выводы из теоремы о простых числах

Далее последовательность простых чисел обозначается как. ${\ Displaystyle (п_ {п}) _ {п \ in \ mathbb {N}}}$

Оценки

В следующие оценки относятся к индексам : ${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {N}}$

(1а)

${\ displaystyle p_ {n} <p_ {n + 1} <2 \ cdot p_ {n}}$

(1b)

${\ displaystyle {p_ {n + 1}} ^ {2} <2 \ cdot {p_ {n}} ^ {2}}$ для ${\ displaystyle n \ geq 5}$

(1c)

${\ displaystyle p_ {n} <2 ^ {n}}$ для ${\ Displaystyle п \ geq 2}$

(1д)

${\ displaystyle p_ {n}> п \ cdot \ ln (n)}$

(1e)

${\ displaystyle \ sum _ {k = 2} ^ {n} {\ frac {1} {p_ {k}}}> {\ frac {1} {36}} \ cdot {\ ln {\ ln (n + 1)}}}$ для ${\ Displaystyle п \ geq 2}$

Следствия теоремы о простых числах

Теорема о простых числах дает следующие результаты:

(2а)

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {p_ {n + 1}} {p_ {n}}} = 1}$

(2 В)

${\ displaystyle {\ frac {n} {\ ln (n) - {\ frac {1} {2}}}} <\ pi (n) <{\ frac {n} {\ ln (n) - {\ гидроразрыв {3} {2}}}}}$ для ${\ displaystyle n \ geq 67}$

(2c)

Для каждого положительного действительного числа существует последовательность простых чисел с ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle (q_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {q_ {n}} {n}} = x}$.

(2г)

Набор из дробей , образованных из всех простых чисел является плотным подмножеством множества всех положительных действительных чисел. Это означает: при любых положительных вещественных чисел с всегда существуют простые числа , так что ${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle 0 <a <b}$${\ displaystyle p, q}$

${\ displaystyle a <{\ frac {p} {q}} <b}$

доволен.

Генерация простых чисел

Одним из старейших алгоритмов определения простых чисел является решето Эратосфена . На сегодняшний день не известен эффективный генератор простых чисел. Однако есть формулы, в которых есть определенная вероятность, что сгенерированные числа будут простыми. Впоследствии такие числа необходимо проверить на их простоту.

Специальные простые числа и созвездия простых чисел

• Набор простых чисел
• Спираль Улама

Другие специальные типы простых чисел можно найти в категории: простые числа .

обобщение

В теории колец понятие простого числа обобщается на элементы любого коммутативного унитарного кольца. Соответствующие термины - простой элемент и неприводимый элемент .

Тогда простые числа и их отрицательные числа являются в точности простыми элементами, а также в точности неприводимыми элементами кольца целых чисел . В факториальных кольцах , то есть кольцах с однозначной факторизацией на простые множители, термины « простой элемент» и « неприводимый элемент» совпадают; в общем, однако, набор простых элементов - это только подмножество множества неприводимых элементов.

В частности, в случае колец Дедекинда , который важен с теоретико-числовой точки зрения , простые идеалы берут на себя роль простых чисел.

простые множители

Применяется основная теорема арифметики : каждое целое число больше единицы может быть представлено как произведение простых чисел, и это представление однозначно, за исключением порядка множителей. Их называют простыми множителями числа.

Поскольку каждое натуральное число больше нуля может быть представлено умножением простых чисел, простые числа занимают особое атомное положение в математике, в некотором смысле они «генерируют» все другие натуральные числа - одно как пустой продукт . Александр К. Dewdney описал их как во многом похожи на те элементы в химии .

Это также проясняет, почему нецелесообразно определять единицу как простое число: это нейтральный элемент умножения и, следовательно, не может генерировать какие-либо дополнительные числа мультипликативно. Это не требуется для представления чисел как произведения простых множителей. Если посчитать 1 среди простых чисел, уникальность факторизации простых чисел также будет потеряна, потому что любое количество единиц может быть добавлено к каждому делению без изменения значения числа.

Был разработан ряд методов факторизации, позволяющих как можно быстрее определять простые множители общих чисел или чисел особой формы. Однако до сих пор не существует известного метода эффективного разложения произвольных чисел на множители, т.е. ЧАС. за время, которое растет не более чем полиномиально с длиной данного числа. В факторинге предположение гласит , что такой метод А не существует.

Простые числа в информатике

В информационной безопасности и , в частности , в шифровании в сообщениях (см криптографию ) играют важную роль простых чисел. Они часто используются в асимметричных криптосистемах, таких как методы шифрования с открытым ключом. Важными примерами являются обмен ключами Диффи-Хеллмана , то RSA криптосистемы , который используется OpenPGP , среди прочего , то криптосистема Elgamal и криптосистемы Рабина . Эти ключи вычисляются из больших, случайно сгенерированных простых чисел , которые должны оставаться в тайне.

Такие алгоритмы основаны на односторонних функциях, которые могут быть выполнены быстро, но вычислить обратное практически невозможно с помощью известной в настоящее время технологии. Однако новые информационные технологии , такие как квантовые компьютеры , могут это изменить. С этим связана нерешенная проблема P-NP .

Простые числа в природе

Некоторые виды животных и растений (например, цикады или ели ) особенно сильно размножаются в циклах простых чисел (примерно каждые 11, 13 или 17 лет), чтобы хищникам было труднее адаптироваться к массовому появлению.

Почему 1 не является простым числом

Сотни лет математики спорили о том, является ли число простым. Выдающийся математик Годфри Гарольд Харди , например, обозначил число 1 как простое число в 1908 году, но не позднее 1929 года. В целом, начиная с 20 века, большинство математиков согласились не считать число 1 среди простых чисел.${\ displaystyle n = 1}$

Аргумент, что 1 простое число, следующий:

• 1 делится только на себя и 1.

Аргументы против того, что 1 не является простым числом, следующие:

• Особенно важным утверждением в математике является уникальность факторизации простых чисел . Например, если бы число было простым, например, составное число имело бы много различных разложений на простые множители .${\ displaystyle n = 1}$${\ displaystyle x = 6}$${\ Displaystyle х = 6 = 2 \ раз 3 = 1 \ раз 2 \ раз 3 = 1 ^ {2} \ раз 2 \ раз 3 = \ ldots = 1 ^ {657} \ раз 2 \ раз 3 = \ раз}$

Внезапно каждое число будет иметь бесконечное количество различных простых факторизаций, и нужно будет по-другому сформулировать предпосылки для этой важной теоремы, чтобы снова была дана уникальность. Неопределенность возникает особенно в этом контексте из-за того факта, что число 1 является нейтральным элементом умножения, что делает бессмысленным его использование.

• Если умножить два простых числа друг с другом, вы получаете в составное число в соответствии с определением , то есть число , которое состоит из по меньшей мере двух (простых) факторов. Если бы 1 было простым числом, его можно было бы, например, умножить на простое число, и произведение снова было бы простым числом, а не составным числом. Определение составного числа должно быть намного сложнее.
• Каждое простое число имеет ровно два множителя: число 1. Имеет только один множитель и, очевидно, не удовлетворяет этому свойству, что означает, что это число отличается от всех других простых чисел.${\ displaystyle n = 1}$
• Решето Эратосфена не будет работать, так как один первый придется вычеркнуть все кратные 1, которая не оставит никакого другого числа , кроме 1.
• Для всех простых чисел есть функция Эйлера Фи . Но относится к . Предложение следует переформулировать и сделать 1 исключение.${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ varphi (p) = p-1}$${\ displaystyle n = 1}$${\ Displaystyle \ varphi (1) = 1 \ not = 1-1 = 0}$
• Функция делителя применяется ко всем простым числам . Ибо есть но . Это также применимо . Ибо есть но . Таким образом, число 1 также будет большим исключением для этих функций.${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {0} (p) = 2}$${\ displaystyle n = 1}$${\ Displaystyle \ sigma _ {0} (1) = 1 \ not = 2}$${\ Displaystyle \ sigma _ {1} (р) = р + 1}$${\ displaystyle n = 1}$${\ Displaystyle \ sigma _ {1} (1) = 1 \ not = 1 + 1 = 2}$
• Определение простых элементов пришлось бы переформулировать, если бы 1 была простым числом. Новое определение было бы более сложным.
• Для каждой степени простого числа существует конечное поле , содержащее столько же элементов. Если бы 1 было простым числом, также должно было быть конечное поле с единственным элементом. Но такого нет. Пришлось бы изменить определение конечных тел.

Существуют и другие математические теоремы о простых числах, которые также пришлось бы переформулировать, если бы число было простым числом. ${\ displaystyle n = 1}$

Примеры показывают, что срочно требуется набор простых чисел без единицы - более срочно, чем концепция простых чисел, включая 1. Поскольку в определениях всегда есть степени свободы, в целях экономии терминов было принято решение исключить (в дополнение к 0) 1 (и, в более общем смысле, все единицы ) из простых чисел (или простых элементов). ).

Смотри тоже

• простые множители
• Прайм-тест
• Prime близнецы
• Догадка Гилбрита
• Недопустимое простое число
• Перестановочное простое число
• Относительно чопорный
• Рядом с простыми числами

литература

• Питер Бундшу : Введение в теорию чисел. 6-е издание. Springer, Берлин, 2008 г., ISBN 978-3-540-76490-8 .
• Маркус дю Сотуа : Музыка простых чисел. По следам величайшей загадки математики. Бек, Мюнхен, 2004 г., ISBN 3-406-52320-X .
• Владислав Наркевич : Развитие теории простых чисел. От Евклида до Харди и Литтлвуда. Springer, Берлин, 2000 г., ISBN 3-540-66289-8 .
• Пауло Рибенбойм : Новая книга рекордов простых чисел. Спрингер, Нью-Йорк, 1996 г., ISBN 0-387-94457-5 .

• Роберт Э. Дресслер, Луи Пиньо, Роберт Янг: суммы квадратов простых чисел . В: Nordisk Mat . Лента 24 , 1976, стр. 39-40 ( MR0419352 ). 
• Ганс Радемахер , Отто Теплиц : О числах и цифрах. Примеры математического мышления для любителей математики (=  Heidelberger Taschenbücher . Volume 50 ). Springer Verlag, Берлин ( среди прочего) 1968 ( MR0252141 ). 
• Дж. Б. Россер : n-е простое число больше n log n . В: Proc. London Math. Soc . Лента 45 , 1939, стр. 21-44 . 
• Дж. Баркли Россер , Л. Шенфельд : Приближенные формулы для некоторых функций простых чисел . В: Illinois J. Math . Лента 6 , 1962, стр. 64-94 ( projecteuclid.org [PDF]). MR0137689 
• Вацлав Серпинский : Элементарная теория чисел (=  Математическая библиотека Северной Голландии . Том 31 ). 2-е исправленное и дополненное издание. Северная Голландия (среди прочего), Амстердам (среди прочего) 1988, ISBN 0-444-86662-0 . 
• Йожеф Шандор , Драгослав С. Митринович , Борислав Крстичи : Справочник по теории чисел. 2-е издание. Лента Я . Springer-Verlag, Dordrecht, NL 2006, ISBN 978-1-4020-4215-7 ( MR2186914 ). 

веб ссылки

• The Prime Pages (английский)
• Сторона простого числа
• Эрик В. Вайсштейн : Теорема Россера . В: MathWorld (английский).

Индивидуальные доказательства

1. ^ Карл Эрнст Джордж : Всеобъемлющий латино-немецкий лаконичный словарь . 8-е, улучшенное и расширенное издание. Hahnsche Buchhandlung, Hannover 1918 ( zeno.org [доступ 12 марта 2020 г.] словарная статья «предшествующий»). 
2. ↑ Кристлиб фон Клаусберг : Демонстрационная арифметика или наука для тщательных и кратких вычислений . В которой как обычные, так и другие типы коммерческих счетов-фактур, образцы и арбитраж переводных векселей подробно изучаются в особенно краткой форме, а также приводится описание европейских монет, типов банкнот и их использования, сравнение весов и кубических мер, истинное расчет интерусурии, новая логарифмическая таблица, а также другие математические и любопытные вычисления прилагаются. Бернхард Кристоф Брейткопф и сын , Лейпциг 1762, стр. 86 ( ограниченный предварительный просмотр в Поиске книг Google [доступ 12 марта 2020 г.]). 
3. ↑ Армин Лойбехер: Теория чисел: Введение в алгебру. Springer, 1996, ISBN 3-540-58791-8 , стр. 18, ограниченный предварительный просмотр в поиске книг Google.
4. ↑ Дон Загир: Решения уравнений в целых числах , стр. 311-326, 1984
5. ↑ Воан Р. Пратт: У каждого прайма есть краткий сертификат. PDF.
6. ^ Vašek Chvátal : Конспект лекций по доказательствам Pratt простоты в. PDF.
7. ↑ Теорема Воана Пратта как теорема дня. PDF.
8. ↑ Свидетельства теоремы Евклида см. В архиве свидетельств .
9. ↑ Открытие ^{простого числа} Мерсенна - 2 ^82589933 -1 - ^{простое число} ! Accessed 21 декабря 2018 года . 
10. ↑ Список известных простых чисел Мерсенна - PrimeNet. Проверено 1 ноября 2019 года . 
11. ↑ https://primes.utm.edu/bios/page.php?id=5004
12. ^ Даниэль А. Дж. Соколов: Компьютеры во Флориде находят новый величайший расцвет. В: Heise.de. 22 декабря 2018, доступ к 22 декабря 2018 . 
13. ↑ Радемахер-Тёплиц: с. 164.
14. ↑ Серпинский: с. 146.
15. ↑ Dressler Pigno-Young:. Nordisk Mat Tidskr . Лента 24 , стр. 39 . 
16. ↑ Шандор Митринович-Крстичи: С. 247-е
17. ↑ Серпинский: с. 145.
18. ↑ Оценка (1d) была впервые найдена Джоном Баркли Россером (см. Россер в: Proc. London Math. Soc., Vol. 45, p. 21 ff. / Sierpiński, p. 163 / Sándor-Mitrinović-Crstici, p. 247).
19. ↑ Серпинский: с. 162.
20. ↑ Из (1e) получается, поскольку Серпинский непосредственно замечает расхождение в последовательности .${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {p_ {k}}}}$
21. ↑ Серпинский: с. 163.
22. ^ Россер-Шенфельд: Иллинойс J. Математика . Лента 6 , стр. 64 ff . 
23. ↑ Серпинский: с. 163.
24. ↑ Как отмечает Серпинский, (2b) непосредственно ведет к теореме о простых числах.
25. ↑ Серпинский: с. 165.
26. ↑ По словам Серпинского, этот результат впервые получил польский математик Хуго Штайнхаус .
27. ↑ Серпинский: с. 165.
28. ↑ Клаус Шме : Какое отношение цикады имеют к простым числам. В: heise online . Проверено 9 марта 2020 года . 
29. ↑ Числа в жизни цикады. Общество Макса Планка, 29 апреля 2002, в архиве с оригинала на 1 октября 2007 года ; Доступ к 9 марта 2020 года . 
30. ↑ Крис К. Колдуэлл , Анджела Реддик, Йенг Сюн: История первобытности Единого: Подборка источников. Журнал Integer последовательностей 15 , статья 12.9.8, 2012, стр. 1-40 , доступ к 10 февраля 2020 года .