Натуральное число
В натуральных числах являются числом 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и т.д. , используемым в подсчете . В зависимости от определения, 0 ( ноль ) также может быть подсчитан как натуральное число. Множество натуральных чисел вместе с добавлением и умножением вместе с математической структурой , известной как коммутативным полукольцо называется.
Соглашения об именах
Множество натуральных чисел сокращенно с символом формулы . В широко используемой кодировке символов Unicode это символ с кодовой точкой (с «числом») U + 2115 (ℕ).
Он включает в себя либо положительные целые числа (т.е. без 0)
или неотрицательные целые числа (включая 0)
- .
Оба соглашения используются непоследовательно. Старая традиция не включает ноль как натуральное число (ноль не использовался в Европе до 13 века). Это определение чаще встречается в математических областях, таких как теория чисел , в которой умножение натуральных чисел находится на переднем плане. С другой стороны, в логике, теории множеств и информатике определение с нулем более распространено и упрощает представление. Только с последней конвенцией делать натуральные числа образуют в моноид с добавлением . В случае сомнений необходимо четко указать используемое определение.
В 1888 году Дедекинд ввел символ N для обозначения натуральных чисел без нуля . Его символ теперь часто стилизован под букву N с двойным штрихом ( или ). С 1894 года Пеано использовал символ N 0 для натуральных чисел с нулем , который сегодня также стилизован и определен Пеано .
Однако, если используется символ натуральных чисел с нулем, то набор натуральных чисел без нуля обозначается. Стандарт DIN 5473, например, использует для неотрицательных целых чисел и для положительных целых чисел. В некоторых федеральных землях немецкие школьные учебники основаны на этом стандарте DIN, в других, например, Б. в Баварии нет.
В конечном счете, это вопрос определения, какой из двух наборов следует рассматривать как более естественный и которому следует присвоить это обозначение как лингвистическое различие.
Аксиоматизация
Ричард Дедекинд впервые неявно определил натуральные числа с помощью аксиом в 1888 году . Независимо от него Джузеппе Пеано в 1889 году создал более простую и в то же время формально точную систему аксиом. Возобладали так называемые аксиомы Пеано . В то время как исходная система аксиом может быть формализована в логике предикатов второго порядка , сегодня часто используется более слабый вариант логики предикатов первого порядка, известный как арифметика Пеано . Другие аксиоматизации натуральных чисел, которые связаны с арифметикой Пеано, - это, например, арифметика Робинсона и примитивная рекурсивная арифметика .
Аксиомы Пеано также можно понимать как определение натуральных чисел. Тогда набор натуральных чисел - это набор, удовлетворяющий аксиомам Пеано. Важно, что таких множеств бесконечно много. Однако каждый из этих наборов ведет себя точно так же, просто элементы помечены по-разному. В математике говорят, что множества изоморфны . Этот результат также называют теоремой единственности Дедекинда. В результате было достигнуто соглашение, в частности, о «натуральных числах», хотя, строго говоря, таких величин бесконечно много.
Модель натуральных чисел фон Неймана
Джон фон Нейман дал способ представлять натуральные числа наборами, т.е. то есть он описал теоретико- множественную модель натуральных чисел.
Объяснение: Для начального элемента, «0», был выбран пустой набор . С другой стороны, «1» - это набор, который содержит пустой набор в качестве элемента. Это разные наборы, потому что пустой набор «0» = {} не содержит элементов, тогда как набор «1» = {0} содержит ровно один элемент.
Набор-последователь определяется как объединение набора-предшественника и набора, который содержит набор-предшественник. Набор, содержащий набор-предшественник (он не пустой), и набор-предшественник не пересекаются, поэтому каждый набор-последователь отличается от набора-предшественника. Это, в частности, приводит к инъективности определяемой таким образом функции-преемника. Таким образом, это удовлетворяет аксиомам Пеано.
Существование каждого натурального числа уже обеспечено в теории множеств довольно слабыми требованиями. Для существования множества всех натуральных чисел, как и в теории множеств Цермело-Френкеля, нужна отдельная аксиома, так называемая аксиома бесконечности .
Обобщение этой конструкции (пропуск пятой аксиомы Пеано или допуск следующих чисел без предшественника) приводит к порядковым числам .
Натуральные числа как подмножество действительных чисел
Введение натуральных чисел с помощью аксиом Пеано - один из способов установления теории натуральных чисел. В качестве альтернативы, можно начать аксиоматический с полем из действительных чисел и определить натуральные числа как подмножество . Для этого сначала понадобится понятие индуктивного множества.
Подмножество из называется индуктивным , если выполняются следующие условия:
- 0 - это элемент .
- Является элементом , тогда также является элементом .
Тогда это среднее всех индуктивных подмножеств .
В качестве альтернативы, натуральные числа также могут быть вложены в поле действительных чисел с помощью моноидного мономорфизма. Но это применимо только в том случае, если вы рассматриваете 0 как элемент натуральных чисел. Следует отметить, что натуральные числа интерпретируются только как подмножество действительных чисел, которые, строго говоря, таковыми не являются. Таким же образом можно встраивать натуральные числа в другие известные диапазоны чисел, например, в рациональные числа.
Такой канонический изоморфизм задается, например, следующим образом:
- ,
где здесь следует понимать n-кратное сложение мультипликативно нейтрального элемента действительных чисел, а действительные числа следует понимать как аддитивный моноид. Сразу видно, что приведенный выше рисунок является гомоморфизмом; так инъективность. Следовательно, натуральные числа можно отождествить с изображением выше (и, таким образом, как подмножество действительных чисел).
Совершенно аналогичным образом они также могут быть вложены, например, в кольцо целых чисел, тело рациональных чисел или тело комплексных чисел.
Смотри тоже
литература
- Бертран Рассел : Введение в математическую философию. Драй-Маскен, Мюнхен, 1919 г .; Ф. Майнер, Гамбург, 2006 г., ISBN 3-7873-1602-7 .
- Йоханнес Ленхард, Майкл Отте (ред.): Введение в математическую философию. Ф. Майнер, Гамбург, 2002 г., ISBN 3-7873-1602-7 .
- Харальд Шайд : теория чисел . 2-е издание. BI-Wiss.-Verlag, Mannheim 1994, ISBN 3-411-14842-X .
- Вольфганг Раутенберг : измерение и счет . Heldermann Verlag, Lemgo 2007, ISBN 978-3-88538-118-1 .
веб ссылки
Индивидуальные доказательства
- ↑ з. Б. Эдсгер В. Дейкстра : Почему нумерация должна начинаться с нуля . 11 августа 1982 г.
- ↑ а б Дедекинд: Что такое и какие числа? Брансуик 1888 г.
- ↑ Пеано: Opere scelte. II, стр. 124. Определение в: Peano: Opere scelte. III, стр. 225.
- ^ Пеано: Принципы арифметики, новая методика объяснения. Турин 1889 г.
- ↑ О независимости Дедекинда см .: Хуберт Кеннеди: Истоки современной аксиоматики. В: Ежемесячный журнал American Mathematical. 79: 133-136 (1972). Также в: Кеннеди: Джузеппе Пеано. Сан-Франциско, 2002 г., стр. 35 и далее.
- ↑ Раутенберг (2007), гл. 11.
- ^ Мартин Barner, Фридрих Flohr: Анализ И. Вальтер де Gruyter, Берлин 2000, ISBN 978-3-11-016779-5 , стр 21-23..