Квадратичный закон взаимности , вместе с двумя дополнительными теоремами упомянутыми ниже, дает метод расчет на символ Лежандра и , таким образом , чтобы решить , является ли число является квадратичным остальным или не-остаток от (другого) числа. Открытие квадратичного закона взаимности Эйлером и доказательство Гаусса ( Disquisitiones Arithmeticae 1801, но у него было доказательство еще в 1796 году) стали отправными точками для развития современной теории чисел . Хотя существуют элементарные доказательства закона взаимности, его суть лежит относительно глубоко, а именно в факторизации простых чисел в окружностях, делящих поля с примитивным единичным корнем . Сам Гаусс представил несколько методологически различных доказательств.
Квадратичный закон взаимности делает утверждения о разрешимости квадратных уравнений в модульной арифметике , вопрос о разрешимости уравнений более высокой степени приводит к более высоким законам взаимности, которые были одной из движущих сил теории алгебраических чисел со времен Гаусса. Готтхольд Эйзенштейн имел дело со случаем третьей степени ( кубический закон взаимности ) и случаем четвертой степени (биквадратичный закон взаимности) с Гауссом.
Первый фактор можно определить с помощью второго дополнительного предложения . Для расчета второго фактора применяется закон взаимности:
Здесь использован второй знак равенства , аналогичный предпоследнему.
Если теперь объединить оба фактора, результат будет
и с этим каждый знает, что у вышеуказанного сравнения есть решение. Решение есть .
Необходимо проверить, соответствует ли сравнение
разрешима. Для этого нужно снова вычислить
и может, как указано выше, дополнительно упростить два фактора с помощью закона взаимности:
(в последнем шаге был , чтобы быть использованы)
и
Если собрать все вместе, получится
и вместе с тем осознание того, что вышеупомянутое сравнение не имеет решения.
Эффективный расчет символа Лежандра
Недостаток представленного здесь метода расчета состоит в том, что ему приходится определять разложение числителя символа Лежандра на простые множители . Существует более эффективный метод, который работает аналогично алгоритму Евклида и работает без этого факторизации. Используется символ Якоби , обобщение символа Лежандра, для которого все еще действует квадратичный закон взаимности.
Смотри тоже
Лемма фон Золотарёва , вариант доказательства квадратичного закона взаимности с помощью перестановок
литература
К. Чандрасекхаран : Введение в аналитическую теорию чисел. Springer Verlag, Основные положения математических наук 148, ISBN 3540041419 , гл. V: Закон квадратичной взаимности.
Ойген Нетто (ред.): Шесть доказательств фундаментальной теоремы о квадратичных вычетах Карла Фридриха Гаусса . Verlag Wilhelm Engelmann, Leipzig 1901, оцифрованная версия.