Дивизионная сумма

Выделенная сумма в натуральном есть сумма всех делителей этого числа, в том числе и самого числа. ${\ displaystyle \ sigma}$

Пример:

Число 6 имеет делители 1, 2, 3 и 6. Таким образом, сумма деления 6 равна .

{\ displaystyle 1 + 2 + 3 + 6 = 12}

Частичные суммы играют роль во многих задачах теории чисел, например Б. с идеальными числами и дружественными числами .

Определения

Определение 1: сумма всех факторов

Пусть все будут делителями натурального числа , тогда мы называем деленную сумму . Есть 1 и сам делитель, т.е. входит в набор множителей. Эта функция называется функцией суммы делителей и является теоретико-числовой функцией . ${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2}, ..., t_ {k}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ sigma (п) = t_ {1} + t_ {2} + \ dotsb + t_ {k}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

Приведенный выше пример теперь можно записать так:

{\ Displaystyle \ sigma (6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12}

Определение 2: Сумма реальных факторов

Сумма действительных делителей натурального числа является суммой делителей числа без самого числа , и мы обозначаем эту сумму с помощью . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ sigma ^ {*} (п)}$

Пример:

{\ Displaystyle \ sigma ^ {*} (6) = 1 + 2 + 3 = 6}

Очевидно, что отношения применимы:

{\ Displaystyle \ сигма (п) -n = \ сигма ^ {*} (п)}

Определение 3: недостаточный, обильный, совершенный

Натуральное число называется ${\ displaystyle n> 1}$

несовершенное или разделительное плечо, когда ,

{\ Displaystyle \ sigma ^ {*} (п) <п}

обильный или частичный , если ,

{\ Displaystyle \ sigma ^ {*} (п)> п}

идеально, если .

{\ Displaystyle \ sigma ^ {*} (п) = п}

Примеры:

{\ Displaystyle \ sigma ^ {*} (6) = 1 + 2 + 3 = 6}

, г. ЧАС. 6 - идеальное число.

{\ Displaystyle \ sigma ^ {*} (12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16> 12}

, г. ЧАС. 12 в изобилии.

{\ Displaystyle \ sigma ^ {*} (10) = 1 + 2 + 5 = 8 <10}

, г. ЧАС. 10 не хватает.

Свойства суммы делителей

Теорема 1: делительная сумма простого числа

Будьте простым числом. Потом: ${\ displaystyle n}$

{\ Displaystyle \ сигма (п) = п + 1}

Доказательство: поскольку это простое число, 1 и единственные множители. Отсюда следует утверждение. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$

Теорема 2: Делительная сумма степени простого числа

Будьте простым числом. Потом: ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle \ sigma (n ^ {k}) = {\ frac {n ^ {k + 1} -1} {n-1}}}

Доказательство: Так как простое число, имеет только следующее деление: . Сумма представляет собой геометрический ряд . Утверждение непосредственно следует из эмпирической формулы геометрического ряда. ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle п ^ {к}}$ ${\ Displaystyle п ^ {0}, п ^ {1}, \ ldots, п ^ {к}}$

Пример:

{\ displaystyle \ sigma (2 ^ {3}) = {{2 ^ {4} -1} \ over {2-1}} = {{16-1} \ over 1} = 15}

{\ Displaystyle \ sigma (8) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15}

Теорема 3: Делительная сумма произведения двух простых чисел

Позвольте и быть разные простые числа. Потом: ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$

{\ Displaystyle \ sigma (а \ cdot b) = \ sigma (a) \ cdot \ sigma (b)}

Доказательство: Число имеет четыре различных делитель 1 , и . Из этого следует: ${\ displaystyle from}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle from}$

{\ displaystyle \ sigma (a \ cdot b) = 1 + a + b + ab = (a + 1) (b + 1) = \ sigma (a) \ cdot \ sigma (b)}

Пример:

{\ Displaystyle \ sigma (3 \ cdot 5) = \ sigma (15) = 1 + 3 + 5 + 15 = 24}

{\ Displaystyle \ sigma (3) \ cdot \ sigma (5) = (1 + 3) \ cdot (1 + 5) = 4 \ cdot 6 = 24}

Предложение 4: Обобщение предложения 2 и предложения 3

Позвольте быть разные простые числа и натуральные числа. Дальше быть . Потом: ${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, ..., p_ {r}}$ ${\ displaystyle k_ {1}, k_ {2}, ..., k_ {r}}$ ${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {k_ {1}} \ cdot p_ {2} ^ {k_ {2}} \ cdot \ ldots \ cdot p_ {r} ^ {k_ {r}}}$

{\ displaystyle \ sigma (n) = {\ frac {p_ {1} ^ {k_ {1} +1} -1} {p_ {1} -1}} \ cdot \ ldots \ cdot {\ frac {p_ { r} ^ {k_ {r} +1} -1} {p_ {r} -1}}}

Теорема Табита

С помощью теоремы 4 можно доказать теорему Табита из области дружественных чисел. Предложение такое:

Для фиксированного натурального числа пусть и . ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle х = 3 \ cdot 2 ^ {n} -1, y = 3 \ cdot 2 ^ {n-1} -1}$ ${\ Displaystyle Z = 9 \ cdot 2 ^ {2n-1} -1}$

Если , и простые числа больше 2, то два числа и являются друзьями; ЧАС. и . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ Displaystyle а = 2 ^ {п} ху}$ ${\ displaystyle b = 2 ^ {n} z}$ ${\ Displaystyle \ sigma ^ {*} (а) = б}$ ${\ Displaystyle \ sigma ^ {*} (б) = а}$

доказательство: ${\ Displaystyle {\ begin {align} \ sigma ^ {*} (a) & = \ sigma (a) -a \\ & = \ sigma (2 ^ {n} \ cdot x \ cdot y) -a \\ & = (2 ^ {n + 1} -1) (x + 1) (y + 1) -a \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad && {\ text {(предложение 4)}} \\ & = (2 ^ {n + 1} -1) (3 \ cdot 2 ^ {n}) (3 \ cdot 2 ^ {n-1}) - 2 ^ {n} (3 \ cdot 2 ^ {n} -1) (3 \ cdot 2 ^ {n-1} -1) \\ & = (2 ^ {n + 1} -1) \ cdot 9 \ cdot 2 ^ {2n-1} -2 ^ {n} (9 \ cdot 2 ^ {2n-1} -6 \ cdot 2 ^ {n-1} -3 \ cdot 2 ^ {n-1} +1) \\ & = 2 \ cdot 2 ^ {n} \ cdot 9 \ cdot 2 ^ {2n-1} -9 \ cdot 2 ^ {n} \ cdot 2 ^ {n-1} -2 ^ {n} (9 \ cdot 2 ^ {2n-1} -9 \ cdot 2 ^ {n-1} +1) \\ & = 2 ^ {n} (18 \ times 2 ^ {2n-1} -9 \ times 2 ^ {n-1} -9 \ times 2 ^ {2n-1 } +9 \ cdot 2 ^ {n-1} -1) \\ & = 2 ^ {n} (9 \ cdot 2 ^ {2n-1} -1) \\ & = 2 ^ {n} \ cdot например \\ & = b \ end {выровнено}}}$

Один показывает аналогично . ${\ Displaystyle \ sigma ^ {*} (б) = а}$

Делительная сумма как конечный ряд

Для каждого натурального числа функция делителя может быть представлена в виде ряда без явной ссылки на свойства делимости : ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle \ sigma (n) = \ sum _ {\ mu = 1} ^ {n} \ sum _ {\ nu = 1} ^ {\ mu} \ cos {2 \ pi {\ frac {\ nu n} {\ mu}}}}

Доказательство: функция

{\ Displaystyle T (N, \ mu) = {\ frac {1} {\ mu}} \ sum _ {\ nu = 1} ^ {\ mu} \ cos 2 \ pi {\ frac {\ nu n} { \ mu}}, \ quad n = 1,2, \ dots, \ quad \ mu = 1,2, \ dots}

становится 1, если является фактором , в противном случае остается равным нулю. Прежде всего, ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle n}$

{\ Displaystyle Т (п, \ му) = {\ гидроразрыва {1} {\ му}} \ lim _ {х \ к п} \ сумма _ {\ ню = 1} ^ {\ му} \ соз 2 \ пи {\ frac {\ nu x} {\ mu}} = \ lim _ {x \ to n} {\ frac {1} {2 \ mu}} \ left (\ sin 2 \ pi x \ cot {\ frac { \ pi x} {\ mu}} - 1+ \ cos 2 \ pi x \ right) = \ lim _ {x \ to n} {\ frac {\ sin 2 \ pi x \ cos {\ frac {\ pi x } {\ mu}}} {2 \ mu \ sin {\ frac {\ pi x} {\ mu}}}}}

Счетчик в последнем выражении всегда обнуляется . Знаменатель может стать нулевым, только если он является делителем . Но потом ${\ displaystyle x \ to n}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to n} {\ frac {\ sin 2 \ pi x \ cos {\ frac {\ pi x} {\ mu}}} {2 \ sin {\ frac {\ pi x} {\ mu}}}} = \ cos {\ frac {\ pi n} {\ mu}} \ lim _ {x \ to n} {\ frac {\ sin 2 \ pi x} {2 \ sin {\ frac {\ pi x} {\ mu}}}} \; = \; \ cos {\ frac {\ pi n} {\ mu}} \ lim _ {x \ to n} {\ frac {2 \ pi \ cos 2 \ pi x} {2 {\ frac {\ pi} {\ mu}} \ cos {\ frac {\ pi x} {\ mu}}}} \; = \; \ mu}

Только в этом случае утверждается, как указано выше. ${\ Displaystyle Т (п, \ му) = 1}$

Если теперь умножить на и добавить продукт по всем значениям к , то вклад в сумму делается только если это фактор . Но это в точности определение общей функции делителей ${\ Displaystyle Т (п, \ му)}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {k}}$ ${\ displaystyle \ mu = 1}$ ${\ Displaystyle \ му = п}$ ${\ displaystyle \ mu ^ {k}}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle \ sigma _ {k} (n) = \ sum _ {\ mu = 1} ^ {n} \ mu ^ {k-1} \ sum _ {\ nu = 1} ^ {\ mu} \ cos {2 \ pi {\ frac {\ nu n} {\ mu}}}, \ quad k = 0, \ pm 1, \ dots}

частным случаем которой является простая деленная сумма . ${\ displaystyle k = 1}$ ${\ Displaystyle \ sigma (п)}$

Смотри тоже

литература

Пол Эрдёш , Янош Сураньи : Вопросы теории чисел. (= Тексты для бакалавриата по математике ). 2-е издание. Springer Verlag, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк (и др.) 2003, ISBN 0-387-95320-5 ( MR1950084 - переведено с венгерского Барри Гуидули ).
Йожеф Шандор, Драгослав С. Митринович, Борислав Крстичи: Справочник по теории чисел. Я . Springer Verlag, Dordrecht 2006, ISBN 1-4020-4215-9 ( MR2186914 ).
Йожеф Шандор, Борислав Крстичи: Справочник по теории чисел. II . Kluwer Academic Publishers, Дордрехт / Бостон / Лондон 2004, ISBN 1-4020-2546-7 ( MR2119686 ).
Вацлав Серпинский : Элементарная теория чисел (= Математическая библиотека Северной Голландии . Том 31 ). 2-е исправленное и дополненное издание. Северная Голландия, Амстердам / Нью-Йорк 1988, ISBN 0-444-86662-0 ( MR0930670 ).

Languages