Проблема деления

Проблема деления - это математическая проблема, восходящая к Луке Пачоли (1494 г.). Блез Паскаль и Пьер де Ферма написали письма по этой проблеме.

формулировка

Два игрока A и B кладут в банк равную сумму денег E. На сумму G = 2E в банке вы играете в азартную игру, которая состоит из нескольких раундов. В каждом раунде подбрасывается честная монета. Для игры согласованы следующие правила:

1. Игра должна продолжаться до тех пор, пока один из двух игроков не выиграет n раз.
2. Первый, кто выиграет n раз, получает сумму в банке. Независимо от того, насколько близко было преимущество, другой ничего не получает.

Однако из-за форс-мажорных обстоятельств игра должна быть неожиданно остановлена ​​при счете a: b до принятия решения . Первое правило нарушено. Игра не может продолжаться или повторяться, и деньги должны быть немедленно разделены.

Теперь поставьте себя на место судьи, который должен «справедливо» распределить призовую сумму G в банке между двумя игроками. Обратите внимание, что слово «просто» здесь имеет юридическое, а не математическое значение.

предложение

Прошлый игрок утверждает, что игра закончилась незаконно. Он хочет , чтобы его использование E снова получить возмещение половины возвещает о G . В конце концов, он мог догнать и выиграть.

Встречное предложение

Ведущий игрок претендует на полную сумму денег. Он настаивает на принципе «все или ничего». Тем более, когда он явно лидирует, можно ожидать, что он тоже выиграет.

Два бескомпромиссных предложения не являются ни «неправильными», ни «правильными». Скорее, это зависит от чувства справедливости зрителя, оценивает ли он одно из предложений как «неправильное» или «правильное». Насколько тяжело второе правило, если первое уже нарушено?

Следующие два взгляда кажутся справедливыми:

• Если игра прерывается при ничьей, каждый получает половину, то есть свою ставку.
• Если есть лидер, он никогда не должен отставать от того, кто позади.

Классические компромиссные решения

Пачоли

Получает и B получает . ${\ displaystyle {\ frac {a} {a + b}} \, G}$${\ displaystyle {\ frac {b} {a + b}} \, G}$

Коэффициент деления рассчитан для оценки a: b . ${\ displaystyle a: b \,}$

Тарталья

Получает и B получает . ${\ displaystyle \ left ({\ frac {ab} {n}} + 1 \ right) E}$${\ displaystyle \ left ({\ frac {ba} {n}} + 1 \ right) E}$

Коэффициент деления равен . ${\ Displaystyle (а-б + п) :( б-а + п) \,}$

Кардано

A получает, а B получает${\ displaystyle {\ frac {\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {nb} k} {\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {na} k + \ sum \ limits _ {k = 1} ^ {nb} k}} \, G}$${\ displaystyle {\ frac {\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {na} k} {\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {na} k + \ sum \ limits _ {k = 1} ^ {nb} k}} \, G}$

Коэффициент деления равен . ${\ displaystyle {\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {nb} k}: {\ sum \ limits _ {k = 1} ^ {na} k}}$

Ферма и Паскаль

A получает, а B получает${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {a + b}} {2 ^ {2n-1}}} \ sum _ {k = 0} ^ {nb-1} {2n-1- (a + b) \ выберите k} \, G}$${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {a + b}} {2 ^ {2n-1}}} \ sum _ {k = 0} ^ {na-1} {2n-1- (a + b) \ выберите k} \, G}$

Коэффициент деления равен . ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {nb-1} {2n-1- (a + b) \ select k}: \ sum _ {k = 0} ^ {na-1} {2n-1 - (a + b) \ выбрать k}}$

Замечания

В цепочке

Предложение - Тарталья - Кардано - Ферма / Паскаль - встречное предложение

Предпочтение лидеру монотонно увеличивается слева направо.

Решение Ферма и Паскаля в конечном итоге кажется «самым справедливым» или «наиболее правильным», потому что оно делит сумму выигрыша в соответствии с индивидуальными вероятностями выигрыша в фиктивном продолжении игры. Чтобы решить эту проблему, оба предположили, что игроки, соревнующиеся друг с другом, имеют одинаковый уровень навыков. Это понятно, потому что Пачоли сформулировал задачу деления в 1494 году применительно к прерванной игре в мяч, но лишь позже она не совсем понятно связана с прерванной игрой на удачу.

литература

• Андреас Бюхтер, Ханс-Вольфганг Хенн: Элементарная стохастика: Введение в математику данных и случайности . Springer 2007, ISBN 9783540453819 , стр. 263-266

веб ссылки

• Развитие концепции вероятности с 1654 по 1718 год (pdf) - магистерская диссертация с проблемой деления

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Томас Брондер: Игра, шанс и коммерция. Теория и практика денежной игры между математикой, законом и реальностью . Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2016), XXIII, 313 стр., ISBN в мягкой обложке 978-3-662-48828-7 , электронная книга ISBN 978-3-662-48829-4 , проблема деления s. Стр. 12-15, DOI : 10.1007 / 978-3-662-48829-4