Биективная функция

Биективная функция

Биективности (к прилагательным биективном , что означает `` обратимым однозначного на «» - , следовательно, срок один-к-одному или по существу , соответствующей одно- , чтобы -он ) является математическим термином из области теории множеств . Он описывает особое свойство изображений и функций . Биективные образы и функции также называют биекциями . Биекции, связанные с математической структурой, часто имеют свои собственные названия, такие как изоморфизм , диффеоморфизм , гомеоморфизм , зеркальное отображение и т.п. Как правило, здесь должны выполняться дополнительные требования по содержанию рассматриваемой конструкции.

Чтобы проиллюстрировать это , можно сказать , что в биекция полное спаривание происходит между элементами в определении набора и целевой набор . Биекции относятся к своей области и диапазону ценностей настолько симметрично ; поэтому у биективной функции всегда есть обратная функция .

В случае взаимного соприкосновения набор определений и целевой набор всегда имеют одинаковую толщину . В случае взаимного соответствия между двумя конечными наборами эта общая мощность является натуральным числом , а именно точным количеством элементов в каждом из двух наборов .

Биекция множества на себя также называется перестановкой . Здесь тоже есть много собственных имен в математических структурах. Если биекция имеет другие свойства, сохраняющие структуру, говорят об автоморфизме .

Биекцию между двумя множествами иногда называют биективным соответствием .

определение

Be и наборы и быть функция , которая отображает от до , то есть . Затем называется биективным, если существует только один с . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle y \ in Y}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle е \ влево (х \ вправо) = у}$

Это означает: биективен тогда и только тогда, когда оба ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

(1) Инъективность :

Ни одно значение целевой величины не предполагается более одного раза . Другими словами: архетип каждого элемента целевого набора состоит не более чем из одного элемента . Он поэтому всегда следует из .${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle f (x_ {1}) = f (x_ {2})}$${\ displaystyle x_ {1} = x_ {2}}$

так же

(2) сюръективно :

Принимается каждый элемент целевого набора . Другими словами: целевой набор и набор изображений совпадают, то есть . Для каждого из есть (по крайней мере) один из с .${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle f (X)}$${\ Displaystyle е \ влево (Х \ вправо) = Y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle е (х) = у}$

Графические иллюстрации

• 

  Принцип биективности: каждая точка в наборе целей (Y) поражается ровно один раз.

• 

  Четыре биективных строго монотонно возрастающих вещественных непрерывных функции.

• 

  Четыре биективные строго монотонно убывающие вещественные непрерывные функции.

Примеры и контрпримеры

Множество действительных чисел будет обозначаться, множество неотрицательных действительных чисел . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$

• Функция биективна с обратной функцией .${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, x \ mapsto x + a}$${\ displaystyle f ^ {- 1} \ двоеточие \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, x \ mapsto xa}$
• Точно так же функция взаимно однозначна с обратной функцией .${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ Displaystyle г \ двоеточие \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, х \ mapsto ax}$${\ displaystyle g ^ {- 1} \ двоеточие \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}, x \ mapsto {\ frac {x} {a}}}$
• Пример: Если каждый ( моногамный ) женатый человек соотносится с его или ее супругом, это является взаимно однозначным отображением множества всех состоящих в браке людей на себя самого. Это даже пример самообратного отображения .

• Следующие четыре квадратные функции отличаются только своим определением или наборами значений:

${\ Displaystyle f_ {1} \ двоеточие \ mathbb {R} \ \ \ rightarrow \ mathbb {R}, \ \ \ x \ mapsto x ^ {2}}$

${\ displaystyle f_ {2} \ двоеточие \ mathbb {R} _ {0} ^ {+} \ rightarrow \ mathbb {R}, \ \ \ x \ mapsto x ^ {2}}$

${\ displaystyle f_ {3} \ двоеточие \ mathbb {R} \ \ \ rightarrow \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}, \ x \ mapsto x ^ {2}}$

${\ displaystyle f_ {4} \ двоеточие \ mathbb {R} _ {0} ^ {+} \ rightarrow \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}, \ x \ mapsto x ^ {2}}$

С этими определениями

${\ displaystyle f_ {1}}$ не инъективный, не сюръективный, не биективный

${\ displaystyle f_ {2}}$ инъективный, не сюръективный, не биективный

${\ displaystyle f_ {3}}$ не инъективный, сюръективный, не биективный

${\ displaystyle f_ {4}}$ инъективный, сюръективный, биективный

характеристики

• Если и - конечные множества с одинаковым количеством элементов и - функция, то: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f \ двоеточие от A \ до B}$
  • Является ли инъективны, то это уже биективен.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$
  • Если он сюръективен, то он уже биективен.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

• В частности, для функций конечного множества сами по себе справедливо следующее : ${\ displaystyle f \ двоеточие от A \ до A}$${\ displaystyle A}$
  • ${\ displaystyle f}$инъективно сюръективно биективно.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$
  • Обычно это неверно для бесконечных множеств. Они могут быть отображены инъективно на вещественные подмножества; существуют также сюръективные отображения бесконечного множества на самих себя, которые не являются биекциями. Такие сюрпризы более подробно описаны в статье «Отель Гильберта» , см. Также « Дедекиндова бесконечность» .

• Если функции и являются взаимно однозначными, то это также относится к конкатенации . Обратная функция тогда .${\ displaystyle f \ двоеточие от A \ до B}$${\ displaystyle g \ двоеточие от B \ до C}$ ${\ displaystyle g \ circ f \ двоеточие от A \ до C}$${\ displaystyle g \ circ f}$${\ displaystyle f ^ {- 1} \ circ g ^ {- 1}}$

• Является биективен, то есть инъективно и сюръективно.${\ displaystyle g \ circ f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$

• Является ли функцией и существует ли функция, которую два уравнения${\ displaystyle f \ двоеточие от A \ до B}$${\ displaystyle g \ двоеточие от B \ до A}$

${\ displaystyle g \ circ f = \ operatorname {id} _ {A}}$( = Идентичность в толпе )${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {A}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle f \ circ g = \ operatorname {id} _ {B}}$( = Идентичность в толпе )${\ displaystyle \ operatorname {id} _ {B}}$${\ displaystyle B}$

выполняется, то является биективным и , таким образом , является обратной функцией .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g = f ^ {- 1}}$

• Множество перестановок заданного базового набора , вместе с композицией в качестве ссылки, образует собой группу , так называемую симметричную группу из .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

История термина

После длительного использования формулировок типа «один-к-одному» потребность в более кратком обозначении наконец возникла в середине 20-го века в ходе последовательного теоретико-множественного представления всех математических подобластей. Термины биективный , инъективный и сюръективный были изобретены в 1950-х годах группой авторов Николя Бурбаки .

литература

• Хайнц-Дитер Эббингаус: Введение в теорию множеств . 4-е издание. Издательство Spectrum Academic, Гейдельберг [u. а.] 2003 г., ISBN 3-8274-1411-3 . 
• Герд Фишер: линейная алгебра . 17-е издание. Vieweg + Teubner, Висбаден 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4 . 
• Вальтер Геллерт, Герберт Кестнер , Зигфрид Нойбер (Hrsg.): Fachlexikon ABC Mathematik . Verlag Harri Deutsch, Тун и Франкфурт-на-Майне 1978, ISBN 3-87144-336-0 . 

веб ссылки

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Дон Загир : Дзета-функции и квадратичные поля: Введение в теорию высших чисел . Springer, 1981, ISBN 3-540-10603-0 , здесь стр. 94 ( ограниченный предварительный просмотр в поиске книг Google [по состоянию на 7 июня 2017 г.]). 
2. ↑ Гернот Строт : Алгебра: Введение в теорию Галуа . de Gruyter, Berlin 1998, ISBN 3-11-015534-6 , здесь стр. 100 ( ограниченный предварительный просмотр в поиске книг Google [по состоянию на 7 июня 2017 г.]). 
3. ^ Самые ранние известные применения некоторых слов математики.