Кривая Клелии

Кривая Клелии для c = 1/4 с направлением прохода (кривая проходит снизу вверх по осям координат, см. Также план этажа).

Кривые Клелии: контуры примеров, участки кривых в нижнем полушарии обозначены пунктиром. Нижние 4 кривые начинаются и заканчиваются на полюсах. Верхние кривые периодичны благодаря выбору (см .: розетки ).${\ displaystyle c}$

Клелия кривая является кривой на сфере с имуществом:

• Если сферическая поверхность описывается обычным образом градусами долготы (углами ) и градусами широты (углами ), применяется следующее:${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ varphi = c \; \ theta, \ quad c> 0}$.

Он был назван итальянским математиком и камальдолезом Гвидо Гранди в честь графини Клелии Борромео.

Частные случаи кривых Клелии появляются в геометрии как кривые Вивиана и сферические спирали . Они имеют практическое значение как наземные кривые спутников , орбиты которых являются круговыми и которые пролетают над полюсами. Если орбита спутника также геостационарна , то кривая земли является кривой Вивиана. ${\ displaystyle c = 1}$

Параметрическое представление

Если описать сферическую поверхность параметрическим представлением

${\ Displaystyle {\ begin {align} x & = r \ cdot \ cos \ theta \ cdot \ cos \ varphi \\ y & = r \ cdot \ cos \ theta \ cdot \ sin \ varphi \\ z & = r \ cdot \ sin \ тета \ конец {выровнено}}}$

и наборов , вы получите параметрическое представление кривой Клелии: ${\ Displaystyle \; \ varphi = с \ theta}$

• ${\ Displaystyle {\ begin {выровнен} x & = r \ cdot \ cos \ theta \ cdot \ cos c \ theta \\ y & = r \ cdot \ cos \ theta \ cdot \ sin c \ theta \\ z & = r \ cdot \ sin \ theta. \ end {выровнено}}}$

Примеры

Каждая кривая Клелии хотя бы раз встречается с двумя полюсами.

Сферическая спираль: ${\ Displaystyle \ четырехъядерный с \ geq 2 \, \ четырехъядерный - \ пи / 2 \ leq \ тета \ leq \ пи / 2}$

Сферическая спираль обычно начинается и заканчивается на одном из полюсов.

Кривая Вивиана: ${\ Displaystyle \ четырехъядерный с = 1 \, \ четырехъядерный 0 \ Leq \ тета \ Leq 2 \ pi}$

График полярной орбиты (спутника): ${\ Displaystyle \ квад с \ Leq 1 \, \ квад \ тета \ geq 0}$

В этом случае кривая периодическая, если рациональная (см. Розетку). Например: период в корпусе такой же . Если это не рационально, кривая не периодическая. ${\ Displaystyle \; с \ Leq 1 \;}$${\ displaystyle c}$ ${\ Displaystyle \; с = 1 / п \;}$${\ Displaystyle \; п \ CDOT 2 \ пи \;}$${\ displaystyle c}$

В таблице показаны только планы этажей соответствующих кривых. Четыре нижние кривые представляют собой сферические спирали. Верхние четыре кривые - периодические наземные треки с полярных орбит. В этом случае нижние части кривой находятся точно под верхними частями кривой. На среднем рисунке показан план кривой Вивиана. Типичное для них изображение в виде восьмерки получается только при проецировании по оси (высоте). ${\ Displaystyle \; с = 1/3 \;}$${\ displaystyle x}$

Отношение к другим кривым

• План этажа кривой Клелии представляет собой розетку .

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Архив McTutor

литература

• HA Pierer : Universal Lexicon of the Present and Past или последний энциклопедический словарь наук, искусства и ремесел. Verlag HA Pierer, 1844, стр. 82.

веб ссылки

• Клелия. На: Mathcurve.com. (Английский).