Вивиан окно

Окно Вивиани: пересечение сферы и соприкасающегося цилиндра

Светло - голубой полу сферической поверхности quadrierbar

Окно вивиана или кривая вивиана , названная в честь итальянского математика и физика Винченцо Вивиани , представляет собой 8-образную кривую на сфере, которую можно создать как пересечение сферы (радиуса ) и цилиндра с радиусом, который касается сферы . (Смотрите картинку). ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r / 2}$

В 1692 году Вивиани поставил задачу вырезать два окна из полусферы (радиуса ), чтобы остальную часть полушария можно было «возвести в квадрат». Приспособление к квадрату означает: вы можете построить квадрат с той же площадью, используя циркуль и линейку. Оказывается (см. Ниже), рассматриваемая территория есть. ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle 4r ^ {2}}$

Вертикальный цилиндр

Аналитическое описание

Для того чтобы можно было как можно проще показать сквариваемость, здесь предполагается, что

сфера описывается уравнением и${\ Displaystyle \; х ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = г ^ {2} \;}$

цилиндр является вертикальным и уравнение является достаточным.${\ Displaystyle \; х ^ {2} + y ^ {2} -rx = 0 \;}$

Цилиндр касается шара в точке ${\ Displaystyle (г, 0,0) \.}$

Свойства кривой

Этаж, фасады и боковые планы

Земля, вид сверху и сбоку

Исключая или соответственно из уравнений, ортогональная проекция кривой на ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle x}$- -плоскость - это круг с уравнением${\ displaystyle y}$${\ displaystyle \; (x - {\ tfrac {r} {2}}) ^ {2} + y ^ {2} = ({\ tfrac {r} {2}}) ^ {2} \.}$

${\ displaystyle x}$- -плоскость параболы с уравнением${\ displaystyle z}$${\ Displaystyle \; х = - {\ tfrac {1} {r}} z ^ {2} + r \;.}$

${\ displaystyle y}$- -плоскость алгебраической кривой с уравнением${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \; z ^ {4} + r ^ {2} (y ^ {2} -z ^ {2}) = 0 \;.}$

Параметрическое представление

Для отображения параметров и определения содержания

Если поставить сферу со сферическими координатами

${\ displaystyle {\ begin {array} {cll} x & = & r \ cdot \ cos \ theta \ cdot \ cos \ varphi \\ y & = & r \ cdot \ cos \ theta \ cdot \ sin \ varphi \\ z & = & r \ cdot \ sin \ theta \ qquad \ qquad - {\ tfrac {\ pi} {2}} \ leq \ theta \ leq {\ tfrac {\ pi} {2}} \, \ - \ pi \ leq \ varphi \ leq \ pi \ ;, \ end {массив}}}$

и вы получите кривую ${\ Displaystyle \; \ varphi = \ theta, \;}$

• ${\ displaystyle {\ begin {array} {cll} x & = & r \ cdot \ cos \ theta \ cdot \ cos \ theta \\ y & = & r \ cdot \ cos \ theta \ cdot \ sin \ theta \\ z & = & r \ cdot \ sin \ theta \ qquad \ qquad - {\ tfrac {\ pi} {2}} \ leq \ theta \ leq {\ tfrac {\ pi} {2}} \. \ end {array}}}$

Легко проверить, что эта кривая не только лежит на сфере, но и удовлетворяет уравнению цилиндра. Однако эта кривая составляет только половину (красная) кривой Вивиани, а именно часть от нижнего левого угла до верхнего правого. Другая часть (зеленая, снизу справа вверх слева) получается из отношения${\ displaystyle \; \ color {зеленый} \ varphi = - \ theta \;.}$

Задачу Вивиани легко решить с помощью этого представления параметров.

Площадь оставшейся площади

Содержимое верхней правой четверти окна Vivian (см. Рисунок) получается с помощью интеграла по поверхности :

${\ displaystyle \ iint _ {O_ {Kug}} r ^ {2} \ cos \ theta \, \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ varphi = r ^ {2} \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} \ int _ {0} ^ {\ theta} \ cos \ theta \, \ mathrm {d} \ varphi \ mathrm {d} \ theta = r ^ {2} ({\ frac {\ pi } {2}} - 1) \.}$

Общая площадь области , ограниченной кривой Вивиан, таким образом , и ${\ displaystyle 2 \ pi r ^ {2} -4r ^ {2}}$

• содержимое поверхности полусферы ( ) без содержимого окна Вивиана равно квадрату диаметра сферы.${\ displaystyle 2 \ pi r ^ {2}}$${\ Displaystyle \; 4r ^ {2} \;}$

Отношение к другим кривым

• Высота (см выше) является лемниската по Gerono .
• Кривая Вивиана - это частный случай кривой Клелии . Когда есть кривая Клелии${\ Displaystyle \; \ varphi = с \; \ theta \;.}$

Кривая Вивиана как пересечение сферы с конусом (розовый)

Если вычесть уравнение цилиндра 2 × из сферического уравнения и выполнить квадратичное сложение, уравнение получится

${\ displaystyle (xr) ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2} \;.}$

Это уравнение описывает перпендикулярный круговой конус с вершиной в точке , толстой кишке кривой Вивиана. Так это применимо ${\ Displaystyle \; (г, 0,0) \;}$

• Кривая Вивиана также является результатом разреза

а) сфера с конусом с уравнением${\ Displaystyle \; (xr) ^ {2} + y ^ {2} = z ^ {2} \;}$

а также разрез

б) цилиндр с этим конусом.

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Куно Фладт: Аналитическая геометрия специальных поверхностей и пространственных кривых. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3322853659 , 9783322853653, стр.97.
2. ↑ К. Штрубекер : Лекции по начертательной геометрии. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967, p. 250.