Цифровой фильтр

Цифровой фильтр представляет собой математический фильтр для манипулирования сигнала , таких как блокирование или давая определенный частотный диапазон до конца. Отличие от аналогового фильтра заключается в его реализации: аналоговые фильтры состоят из пассивных электронных компонентов, таких как конденсаторы , катушки , резисторы или активно с операционными усилителями . Цифровые фильтры реализованы с помощью логических модулей, таких как ASIC , FPGA, или в виде последовательной программы с процессором сигналов .

характеристики

Блочная структура цифрового БИХ-фильтра

Другой важной особенностью цифровых фильтров является то, что они обрабатывают не непрерывные сигналы, а только сигналы с дискретным временем и значениями. Время дискретного сигнал состоит в периодической последовательности во время только отдельных импульсов, которые представляют собой ход сигнала с течением времени, соответствующих значения выборок . Значение выборки дискретно , поскольку цифровое представление чисел обеспечивает только конечное разрешение.

Поведение цифровых фильтров легче воспроизвести. Некоторые типы фильтров, такие как так называемые КИХ-фильтры, могут быть реализованы только как цифровые фильтры, а не как аналоговая схема фильтра. Цифровые фильтры в сочетании с аналого-цифровыми преобразователями и цифро-аналоговыми преобразователями также все чаще заменяют структуры фильтров, которые ранее были реализованы в чисто аналоговой форме. Цифровые фильтры представляют собой основу цифровой обработки сигналов и используются, например, в технологиях связи .

Непрерывные передаточные функции фильтра и аналоговые фильтры , образованные из них , таких как фильтры Баттерворт , фильтры Бесселя , фильтры Чебышева или эллиптических фильтры могут быть смоделированы после адаптации передаточной функции фильтра с конечным, дискретным спектром в виде цифровых БИХ - фильтров с соответствующим выбранными коэффициентами фильтра .

Математическое определение

Абстрактный цифровой фильтр - это оператор, который назначает ему дискретные по времени цифровые сигналы . Часто для простоты описания предполагается, что сигнал имеет действительные числа в качестве значений; То есть квантование выборок (то есть округление до одного из конечного числа значений битового представления) цифрового сигнала не принимается во внимание. Дискретный по времени сигнал x - это карта, которая представляет каждую точку дискретного эквидистантного множества

{\ displaystyle \ Gamma = \ {t_ {n}: = t_ {0} + n \ Delta t, n \ in \ mathbb {Z} \}}

присваивает номер. Это также может быть следствием его функциональных значений.

{\ displaystyle x [n] = x_ {n}: = x (t_ {n})}

можно указать. Обозначения с квадратными скобками предпочтительнее в информатике, чем с индексом в математике.

Основные функции (конечной, нерекурсивной) операции фильтрации заключаются в следующем: в каждый момент времени или точку из сетки фиксируется окрестность ближайших точек времени, например Б. два балла до и после. Форма этой среды остается неизменной во времени. Если среда содержит только точки, которые предшествовали ей по времени, фильтр называется причинным .

Кортеж значений теперь доступен в своей среде в любой момент времени . В этом кортеже всегда используется одна и та же функция, например B. Максимальное образование, образование среднего значения, средневзвешенные значения, ... Если эта функция является линейной, фильтр называется линейным , в противном случае - нелинейным.

Если рассматривать семейство сигналов, которые являются результатом друг друга из-за временного сдвига, и генерировать семейство сигналов, преобразованных фильтром, то отфильтрованные сигналы отличаются друг от друга точно таким же временным сдвигом. Фильтр не зависит от времени. Преобразования сигналов с этими характеристиками также называются системы LTI называют, английским языком для L Inear Т IME Я инвариантном. Если рассматривать дискретный сигнал как последовательность коэффициентов разложения в ряд Фурье , т.е. ЧАС. значения сигнала в виде интегралов Фурье , то система LTI способна иметь амплитуды | f (s) | отдельных частот и повернуть его по фазе arg (f (s)) по сравнению с входным сигналом . ${\ displaystyle \ textstyle x_ {n} = \ int _ {- 1/2} ^ {1/2} \; f (s) \ cdot e ^ {i2 \ pi sn} \, ds}$

Операторы свертки как системы LTI

Оператор свертки задается последовательностью коэффициентов f , которая действует на дискретный сигнал x путем свертки :

{\ displaystyle x \ mapsto y: = f * x \ ;, \; y_ {n} = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f_ {k} \ cdot x_ {nk}}

Эта сумма хорошо определена в следующих случаях:

x произвольно, а f конечно в результате, так что сумма конечна,
x ограничен, а f абсолютно суммируем ⇒ y ограничен,
x можно «суммировать квадратами», а f имеет ограниченную частотную характеристику ⇒ y можно «суммировать квадратами»,
x можно складывать абсолютно, а f можно складывать абсолютно ⇒ y можно складывать абсолютно.

Это означает

x ограничен, если −K <x _n <K для некоторого K и всех n ∈ ℤ ,
x "суммируемый квадратами ", если серия квадратов сходится
${\ Displaystyle E (x): = \ | x \ | _ {2} ^ {2}: = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | x_ {n} | ^ {2} < \ infty}$ ,
f конечно, если существует конечное подмножество I в ℤ такое, что f _n ≠ 0 выполняется только для n ∈ I ,
f можно суммировать абсолютно, если ряд сумм сходится
${\ displaystyle \ | е \ | _ {1}: = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | f_ {n} | <\ infty}$ ,
е из ограниченной частотной характеристики , когда ряд Фурье становится е
${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi): = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} f_ {k} e ^ {- ik \ xi}}$

сходится почти всюду и (существенно) ограничено.

Как видите, импульсная характеристика оператора свертки во всех этих случаях представляет собой последовательность f .

Для конечного фильтра набор I также называется несущей, разница между начальной и конечной точкой несущей называется длиной фильтра . Элементы несущей часто называют ответвлениями , их количество на единицу больше длины сигнала. Только этот первый, конечный случай соответствует описанному во введении. Набор I определяет среду, которая используется для определения отфильтрованных значений, члены f определяют линейную функцию значений этой среды.

В абсолютно суммируемом фильтре последовательность Р второго случая имеет не только ограничена, но даже непрерывный частотный отклик. Это изменение амплитуды элементарных колебаний с при. Они ограничены, поэтому определяется и ${\ displaystyle е (\ omega) = (e_ {n} (\ omega): п \ in \ mathbb {Z})}$ ${\ Displaystyle е_ {п} (\ омега): = \ ехр (в \ омега) = \ соз (п \ омега) + я \ грех (п \ омега)}$ ${\ Displaystyle е * е (\ омега)}$

{\ Displaystyle [е * е (\ omega)] _ {n} = \ сумма f_ {k} e_ {nk} (\ omega) = e_ {n} (\ omega) \ sum f_ {k} e ^ {- ik \ omega} = {\ hat {f}} (\ omega) e_ {n} (\ omega)}

.

Идеальные частотно-избирательные фильтры имеют только значения 0 и 1 в своей частотной характеристике. Возникающие скачки могут быть с трудом аппроксимированы только с помощью постоянных частотных характеристик, которые можно суммировать, и даже хуже с полиномиальными частотными характеристиками конечных фильтров.

Для рядов Фурье , которые существуют только в третьем случае (как функции L²), применяется соотношение:

{\ Displaystyle {\ шляпа {y}} (\ xi) = {\ шляпа {f}} (\ xi) \ cdot {\ hat {x}} (\ xi)}

.

Сумма квадратов E ( x ) также известна как «энергия» сигнала. Из-за идентичности Парсеваля

{\ displaystyle \ | x \ | _ {2} ^ {2} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ | {\ hat {x}} \ | _ {2} ^ {2}: = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | {\ hat {x}} (\ xi) | ^ {2} \, d \ xi}

ортогональный пробой сигнала может быть достигнут с использованием частотно-избирательных фильтров.

Конечные частные случаи

Если носитель фильтра f конечной длины, значит, фильтр как система FIR называется FIR для конечной импульсной характеристики (англ. Finite Impulse Response ). Эти фильтры также называют нерекурсивными или реализуемыми без обратной связи .

Если носитель фильтра ф не конечной длины, так что фильтр в качестве системы БИХ называется, IIR для бесконечной импульсной характеристикой (английский с бесконечной импульсной характеристикой ). Среди них есть класс фильтров f , которые называются рекурсивными или реализуемыми с обратной связью, которые могут быть представлены как частное от конечных фильтров, т.е. ЧАС. существуют две конечные последовательности a и b такие, что a * f = b в произведении свертки . Только такие бесконечные фильтры вообще могут быть реализованы.

Преимущества и недостатки цифровых фильтров

Цифровые фильтры играют важную роль в коммуникационных технологиях . По сравнению с аналоговыми фильтрами они имеют важное преимущество в том, что их технические данные всегда точно соблюдаются.

преимущества

отсутствие колебаний из- за допуска компонентов
отсутствие старения компонентов
при производстве не требуется ручная регулировка , что ускоряет окончательное тестирование устройств
возможные функции фильтрации, которые сложно или невозможно реализовать с помощью аналоговых фильтров, например фильтры с линейной фазой.

Недостатки цифровых фильтров

ограниченный частотный диапазон (из-за конечных частот дискретизации )
ограниченный диапазон значений (через квантование значений)
Из-за внутренних операций округления, усечения и ограничения для ограничения длины слова цифровые фильтры на практике демонстрируют шум квантования и другие нелинейные эффекты, которые особенно заметны в рекурсивных фильтрах более высокого порядка и более тонком квантовании, использовании чисел с плавающей запятой, адаптированных структурах фильтров. например, может потребоваться использование цифровых волновых фильтров .
В случае неэлектрических входных и выходных переменных - дополнительные усилия для преобразования.

Классификация цифровых фильтров

Частотные линейные фильтры

По структуре можно выделить два класса цифровых фильтров:

Нерекурсивные фильтры: Фильтр без обратной связи
Рекурсивные фильтры: Фильтр с обратной связью

Второе различие можно сделать на основе импульсной характеристики:

КИХ-фильтр (конечная импульсная характеристика): Фильтр с конечной длинной импульсной характеристикой . КИХ-фильтры обычно не содержат обратной связи. Но есть также специальные структуры FIR-фильтров с обратной связью, одним из примеров которых являются CIC-фильтры .
БИХ-фильтр (бесконечная импульсная характеристика): Фильтры с бесконечно длинной импульсной характеристикой, всегда имеют ответвления обратной связи.

КИХ-фильтры в основном стабильны, даже с рекурсивными элементами. Это связано с тем, что нерекурсивные формы имеют только нули и тривиальные полюсы в начале координат передаточной функции, а нетривиальные полюса рекурсивных форм КИХ-фильтра всегда находятся на единичной окружности. Что касается критерия устойчивости, нули не подвергаются никаким ограничениям в их положении на диаграмме полюс-нуль . Если все они находятся внутри единичного круга , говорят о минимально-фазовой системе; если хотя бы один находится снаружи, то это не минимально-фазовая система. При разработке КИХ - фильтра, оконная используется в большинстве случаев для снижения на эффект утечки .

БИХ-фильтры стабильны только в том случае, если все полюса лежат внутри единичной окружности. Если простые полюса лежат на единичной окружности, система условно устойчива; ЧАС. в зависимости от входного сигнала. Как только два или более полюса находятся в одной точке единичной окружности или даже только один полюс выходит за пределы единичной окружности, возникает нестабильный фильтр.

Преимущество БИХ-фильтров состоит в том, что в передаточной функции они также имеют полюсы в дополнение к нулям и, таким образом, обеспечивают более высокое качество фильтра . Вычисление БИХ-фильтра более сложное, чем вычисление КИХ-фильтра, и оно также должно включать исследование стабильности квантованных коэффициентов. Метод Прони предлагает надежный метод определения коэффициентов БИХ-фильтра .

На практике определение коэффициента выполняется с помощью таких программ, как MATLAB .

Фильтры искажения частоты

(на основе преобразования нижних частот-нижних частот )

Больше невозможно различить эти фильтры на основе импульсной характеристики.

WFIR-фильтры, деформированные FIR - стабильны. Эти фильтры основаны на КИХ-фильтре, который, однако, имеет частотные искажения. У них всегда есть бесконечный импульсный отклик.
WIIR-фильтры с деформированным IIR - также стабильны, только если все полюса лежат внутри единичной окружности. Они также относятся к фильтрам с частотными искажениями. Они не могут быть реализованы напрямую, так как для удаления мгновенных петель требуется отображение коэффициентов.

Многоскоростной фильтр

Они используются для преобразования между различными частотами дискретизации и предотвращения появления зеркальных спектров или наложения спектров . Примеры нескольких рейт фильтров являются фильтры CIC .

литература

Карл-Дирк Каммейер, Кристиан Крошель: Цифровая обработка сигналов . 6-е издание. Teubner, Штутгарт 2006, ISBN 3-8351-0072-6 .

Languages