Ряд Фурье

Жозеф Фурье

Ряд Фурье , в соответствии с Джозефа Фурье (1768-1830), является разложение в ряд в периодическом , раздел-накрест непрерывной функции в функциональных рядов из синусов и косинусов . Базисные функции ряда Фурье образуют хорошо известный пример ортонормированного базиса . В контексте теории гильбертовых пространств развитие в соответствии с любой полной ортонормированной системой также называется рядами Фурье. Обобщением является преобразование Фурье . Изучение рядов Фурье является частью анализа Фурье (классический гармонический анализ).

история

Математики, такие как Эйлер , Лагранж или Бернулли, уже были знакомы с рядами Фурье для некоторых функций еще в 18 веке . В начале XIX века Фурье утверждал в своей работе « Аналитическая теория де ля шалер» (1822), что такие последовательные разработки существуют для всех функций. Это утверждение первоначально было отвергнуто такими ведущими математиками, как Коши и Абель .

В 1829 году Дирихле удалось доказать, что утверждение Фурье верно по крайней мере для липшицевых функций. В 1876 ​​году Дюбуа-Реймон нашел непрерывную функцию, ряд Фурье которой расходится . В 20 веке было окончательно осознано, что существуют сходящиеся ряды Фурье для непрерывных или кусочно-непрерывных функций, если понятие сходимости ослаблено соответствующим образом ( Леннарт Карлесон ).

Эпициклическую теорию можно рассматривать как раннюю геометрическую предварительную форму приближения рядом Фурье .

Математические основы

Сигнал, выделенный жирным шрифтом, разбивается на два сигнала, нарисованных тонкими линиями с помощью анализа Фурье. Положительные и отрицательные полуколебания выглядят одинаково, потому что добавлен компонент с трехкратной частотой.

Здесь положительная и отрицательная полуколебания различаются, потому что была добавлена составляющая с удвоенной частотой.

2π-периодические функции

Мечта Гильберта

Отправной точкой наших рассуждений является количество всех -периодических функций по . На этом множестве мы можем определить сложение и скалярное умножение точка за точкой, т.е. т.е. быть определена через и через (с ). С помощью этих отображений становится векторным пространством. ${\ Displaystyle V = \ left \ {\ mathbb {R} / 2 \ pi \ to \ mathbb {C} \ right \}}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle + \ двоеточие V ^ {2} \ to V}$${\ Displaystyle \ влево (е + г \ вправо) \ влево (т \ вправо): = е \ влево (т \ вправо) + г \ влево (т \ вправо)}$${\ Displaystyle \ cdot \ двоеточие \ mathbb {C} \ times V \ to V}$${\ Displaystyle \ влево (\ лямбда е \ вправо) \ влево (т \ вправо): = \ лямбда е \ влево (т \ вправо)}$${\ Displaystyle т \ в \ mathbb {R} / 2 \ pi}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Теперь определим (частичную) функцию в векторном пространстве : ${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle \ langle.,. \ rangle _ {V}}$

${\ displaystyle \ left \ langle.,. \ right \ rangle _ {V}: = {\ begin {cases} V ^ {2} & \ to \ mathbb {C} \\ (f, g) & \ mapsto \ langle f, g \ rangle _ {V}: = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) {\ overline {g \ left (t \ right)}} \ mathrm {d} t \ end {case}}}$

Следует отметить, что on не полностью определен, потому что интеграл не существует ни для одного . На подпространстве из которых через ${\ displaystyle \ left \ langle.,. \ right \ rangle _ {V}}$${\ Displaystyle V ^ {2}}$${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) {\ overline {g \ left (t \ right)}} \ mathrm {d} t}$${\ displaystyle f, g \ in V}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {2} \ left (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ right)}$${\ displaystyle V}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {2} \ left (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ right): = \ left \ {f \ двоеточие \ mathbb {R} / 2 \ pi \ to \ mathbb {C} \ mid f {\ text {Measurable}}, \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ left | f (t) \ right | ^ {2} \ mathrm {d} t <\ infty \ right \}}$

определено, но определено везде. Поэтому мы ограничимся подпространством для дальнейшего рассмотрения и поэтому определим функцию ${\ displaystyle \ left \ langle.,. \ right \ rangle _ {V}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {2} \ left (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ right)}$

${\ displaystyle \ left \ langle.,. \ right \ rangle ^ {*}: = {\ begin {cases} {\ mathcal {L}} ^ {2} \ left (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ справа) \ times {\ mathcal {L}} ^ {2} \ left (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ right) & \ to \ mathbb {C} \\ (f, g) & \ mapsto \ left \ langle f, g \ right \ rangle ^ {*}: = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) {\ overline {g \ left (t \ right)}} \ mathrm {d} t \ end {case}}}$

Следует отметить , что это положительно полуопределенной эрмитова форма полуторалинейная . Применимо следующее: ${\ Displaystyle \ langle.,. \ rangle ^ {*}}$

${\ displaystyle \ forall f \ in {\ mathcal {L}} ^ {2} \ left (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ right): \, \ left \ langle f, f \ right \ rangle ^ { *} = 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad f = 0 {\ text {почти везде}}}$

Мы определяем как и ${\ displaystyle N}$${\ Displaystyle N: = \ left \ {е \ in {\ mathcal {L}} ^ {2} \ left (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ right) \ mid \ left \ langle f, f \ right \ rangle ^ {*} = 0 \ right \}}$

${\ displaystyle L ^ {2} \ left (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ right): = {\ mathcal {L}} ^ {2} \ left (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ right ) / N}$

Изображение

${\ displaystyle \ left \ langle.,. \ right \ rangle: = {\ begin {case} L ^ {2} \ left (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ right) \ times L ^ {2} \ left (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ right) & \ to \ mathbb {C} \\ ([f], [g]) & \ mapsto \ left \ langle f, g \ right \ rangle = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) {\ overline {g \ left (t \ right)}} \ mathrm {d} t \ end { случаи}}}$

поэтому является положительно определенной эрмитовой полуторалинейной формой. реагирует таким образом на предгильбертово пространство. Поскольку полно, существует даже гильбертово пространство. ${\ Displaystyle L ^ {2} \ влево (\ mathbb {R} / 2 \ пи \ вправо)}$${\ displaystyle \ left \ langle.,. \ right \ rangle}$${\ Displaystyle L ^ {2} \ влево (\ mathbb {R} / 2 \ пи \ вправо)}$${\ Displaystyle L ^ {2} \ влево (\ mathbb {R} / 2 \ пи \ вправо)}$

В дальнейшем мы не будем делать строгого различия между функциями в и остальными классами в . ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {2} \ left (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ right)}$${\ Displaystyle L ^ {2} \ влево (\ mathbb {R} / 2 \ пи \ вправо)}$

Ортонормированная система

Теперь посмотрим на толпу . (Эта сумма определена корректно , так как функция относительно. All является периодической.) Так как очевидно , верно, порождает подпространство в . Поскольку векторы в линейно независимы, является базисом . поэтому имеет размер . ${\ Displaystyle B = \ left \ {\ mathbf {e} _ {k}: \ mathbb {R} / 2 \ pi \ to \ mathbb {C}, t \ mapsto \ exp \ left (\ mathrm {i} kt \ right) \ mid k \ in \ mathbb {Z} \ right \}}$${\ Displaystyle \ ехр \ влево (\ mathrm {я} кт \ вправо)}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle к \ в \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ Displaystyle B \ substeq L ^ {2} \ влево (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ right)}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle W}$${\ Displaystyle L ^ {2} \ влево (\ mathbb {R} / 2 \ пи \ вправо)}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Следующее применимо к любым двум векторам : ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {k}, \ mathbf {e} _ {l} \ in B}$

${\ displaystyle \ langle \ mathbf {e} _ {k}, \ mathbf {e} _ {l} \ rangle = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} k \ neq l \\ 1 & {\ text {if}} k = l \ end {case}}}$

Что касается внутреннего продукта, то есть таким образом , ортонормированный базис . ${\ displaystyle \ left \ langle.,. \ right \ rangle}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle W}$

Примечание. Неслучайно функции в взаимно ортонормированы! Внутренний продукт был намеренно определен как ортонормированный базис. ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ left \ langle.,. \ right \ rangle}$${\ displaystyle B}$

Ряды Фурье от 2π-периодических функций

Теперь мы можем формально представить каждую функцию в виде ряда: ${\ Displaystyle е \ в L ^ {2} \ влево (\ mathbb {R} / 2 \ пи \ вправо)}$

${\ displaystyle f (t) = \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} c_ {k} \ mathbf {e} _ {k} (t) \ quad {\ text {with}} c_ {k} \ in \ mathbb {C}}$

Мы называем этот формальный ряд в ряд Фурье от . Воспользовавшись полуторалинейностью и ортонормированностью, следует ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ left \ langle.,. \ right \ rangle}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle \ langle f, \ mathbf {e} _ {k} \ rangle = \ left \ langle \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} c_ {n} \ mathbf {e} _ {n}, \ mathbf {e} _ {k} \ right \ rangle = \ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} c_ {n} \ left \ langle \ mathbf {e} _ {n}, \ mathbf {e} _ {k} \ right \ rangle = c_ {k} \ quad \ forall k \ in \ mathbb {Z}}$

и, таким образом

${\ displaystyle c_ {k} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f \ left (t \ right) {\ overline {\ mathbf {e} _ {k} \ left (t \ right)}} \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) \ mathbf {e} _ {- k} \ left (t \ right) \ mathrm {d} t \ quad \ forall k \ in \ mathbb {Z}}$

Таким образом, мы можем вычислить значения . Следует, однако, отметить, что сериал ${\ displaystyle c_ {k}}$

${\ displaystyle \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} c_ {k} \ mathbf {e} _ {k} (t) = \ lim _ {N \ to \ infty} \ sum _ {k = - N} ^ {N} c_ {k} \ mathbf {e} _ {k} (t)}$

не обязательно сходился против . Поэтому необходимо изучить поведение сходимости для разных классов функций. ${\ displaystyle f (t)}$

Однако верно, что тогда и только тогда и только тогда, когда конечное число не равно 0 . Это следует непосредственно из того, что from генерируется. Как следствие, ряд Фурье сходится при в любом случае. ${\ displaystyle c_ {k}}$${\ displaystyle f \ in W}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f \ in W}$

Преобразования Фурье и коэффициенты Фурье 2π-периодических функций

Функция

${\ displaystyle {\ hat {f}}: = {\ begin {case} \ mathbb {Z} & \ to \ mathbb {C} \\ k & \ mapsto c_ {k} = \ langle f, \ mathbf {e } _ {k} \ rangle \ end {case}}}$

который дает коэффициенты ряда Фурье a -периодической функции , мы называем преобразованием Фурье функции . Мы называем коэффициенты Фурье . Функции образуют векторное пространство относительно поточечного сложения и умножения. ${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ Displaystyle е \ в L ^ {2} \ влево (\ mathbb {R} / 2 \ пи \ вправо)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle c_ {k}}$${\ displaystyle {\ hat {f}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье 2π-периодических функций

Изображение

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}: = {\ begin {case} L ^ {2} \ left (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ right) & \ to \ mathbb {C} ^ {\ mathbb {Z}} \\ f & \ mapsto {\ hat {f}} \ end {case}}}$

который преобразует функции в их преобразования Фурье , мы называем преобразованиями Фурье ( -периодических функций). Преобразование Фурье - это линейное отображение между двумя векторными пространствами, т. Е. то есть применяется ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ hat {f}}}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle \ forall \ lambda \ in \ mathbb {C} \ forall f, g \ in L ^ {2} \ left (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ right): \ quad {\ widehat {\ lambda f + g}} = {\ mathcal {F}} \ left \ {\ lambda f + g \ right \} = \ lambda {\ mathcal {F}} \ left \ {f \ right \} + {\ mathcal { F}} \ left \ {g \ right \} = \ lambda {\ hat {f}} + {\ hat {g}}}$

Так как ряды Фурье функций по норме почти всюду сходятся, отсюда следует, что . В противном случае ряд Фурье не сходился бы. Для отображения это означает, что оно не сюръективно. ${\ Displaystyle е \ в L ^ {2} \ влево (\ mathbb {R} / 2 \ пи \ вправо)}$${\ displaystyle L ^ {2}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {k \ to \ infty} c_ {k} = \ lim _ {k \ to \ infty} c _ {- k} = 0}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Мы также можем использовать линейное отображение

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1}: = {\ begin {case} {\ mathcal {F}} \ left \ {L ^ {2} \ left (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ right) \ right \} & \ to L ^ {2} \ left (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ right) \\ {\ hat {f}} = \ left (c_ {k} \ right ) _ {k \ in \ mathbb {Z}} & \ mapsto \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} c_ {k} \ mathbf {e} _ {k} \ end {cases}}}$

определять. Фигуру мы называем обратным преобразованием Фурье ( -периодических функций). Это применимо . ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1}}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ left \ {{\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ left \ {{\ hat {f}} \ left (k \ right) \ right \} \ right \} = {\ hat {f}} \ left (k \ right)}$

Формы представительства

Вышеописанное представление ряда Фурье в виде суммы комплексных экспоненциальных функций является в определенном смысле наиболее компактным математическим представлением, но имеет тот недостаток, что комплексные коэффициенты Фурье обычно встречаются и для действительных функций . Однако ряд Фурье можно представить и по-другому. ${\ displaystyle c_ {k}}$

Представление в синус-косинусной форме

Ряд Фурье можно также использовать в виде

${\ displaystyle f (t) \ sim {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left (a_ {k} \ cos \ left (kt \ справа) + b_ {k} \ sin \ left (kt \ right) \ right)}$

представлять. Следующее далее применяется к коэффициентам Фурье

${\ displaystyle a_ {k} = c_ {k} + c _ {- k} \ quad {\ text {for}} k \ geq 0}$

${\ displaystyle b_ {k} = \ mathrm {i} \ left (c_ {k} -c _ {- k} \ right) \ quad {\ text {for}} k \ geq 1}$

Коэффициенты Фурье можно получить через

${\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) \ cdot \ cos \ left (kt \ right) \ mathrm { d} t \ quad {\ text {for}} k \ geq 0}$

${\ displaystyle b_ {k} = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) \ cdot \ sin \ left (kt \ right) \ mathrm { d} t \ quad {\ text {for}} k \ geq 1}$

также рассчитывать напрямую. Если является действительным знаком, то получаются действительные коэффициенты Фурье. ${\ displaystyle f}$

Представление в амплитудно-фазовой форме

Для вещественнозначных функций также существует представление ряда Фурье в виде ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f (t) \ sim {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} A_ {k} \ cos \ left (kt- \ varphi _ {k} \ right)}$

с возможным. Из-за ${\ displaystyle A_ {k} \ in \ mathbb {R} ^ {+}}$

${\ displaystyle \ cos \ left (kt- \ varphi _ {k} \ right) = \ cos \ left (kt \ right) \ cos \ left (- \ varphi _ {k} \ right) - \ sin \ left ( kt \ right) \ sin \ left (- \ varphi _ {k} \ right)}$

следует

${\ displaystyle A_ {k} \ cos \ left (kt- \ varphi _ {k} \ right) = a_ {k} \ cos \ left (kt \ right) + b_ {k} \ sin \ left (kt \ right )}$

С участием

${\ displaystyle a_ {k} = A_ {k} \ cos \ left (- \ varphi _ {k} \ right), \ quad b_ {k} = - A_ {k} \ sin \ left (- \ varphi _ { k} \ right)}$

Следовательно, следует

${\ displaystyle {\ sqrt {a_ {k} ^ {2} + b_ {k} ^ {2}}} = {\ sqrt {A_ {k} ^ {2} \ cos ^ {2} \ left (- \ varphi _ {k} \ right) + A_ {k} ^ {2} \ sin ^ {2} \ left (- \ varphi _ {k} \ right)}} = A_ {k} {\ sqrt {\ cos ^ {2} \ left (- \ varphi _ {k} \ right) + \ sin ^ {2} \ left (- \ varphi _ {k} \ right)}} = A_ {k}}$

Угол получается из ${\ displaystyle \ varphi _ {k} \ in \ left [0,2 \ pi \ right)}$

${\ displaystyle \ varphi _ {k} = \ arccos {\ frac {a_ {k}} {A_ {k}}} = \ arcsin {\ frac {b_ {k}} {A_ {k}}}}$

(Примечание: в литературе угол часто указывается в форме арктангенса. Поскольку функция тангенса является только -периодической, в таком представлении необходимо различать регистр. Однако, если угол вычисляется с помощью арккосинуса или арксинуса , преимущество состоит в том, что не нужно делать никаких различий между регистрами, потому что функции синуса и косинуса являются -периодическими!) ${\ displaystyle \ varphi _ {k}}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle 2 \ pi}$

Обобщения

Функции с периодом T

Из-за -периодичности комплексной экспоненциальной функции ряд Фурье для -периодических функций был определен выше , чтобы получить простое представление. Поскольку -периодическая функция может быть преобразована в -периодическую функцию , это не ограничение. ${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$${\ displaystyle f (t): = {\ тильда {f}} \ left ({\ tfrac {T} {2 \ pi}} t \ right)}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle f}$

Кроме того, ряд Фурье a -периодической функции можно представить аналогично -периодическому случаю . Здесь скалярное произведение превращается в пространство${\ displaystyle T}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {к \ in \ mathbb {Z}} c_ {k} \ mathbf {e} _ {k} (t)}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R} / T)}$

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle: = {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} f (t) {\ overline {g (t)}} \, \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- {\ frac {T} {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} f (t) {\ overline { g (t)}} \, \ mathrm {d} t}$

использовал. В -периодическом случае определяется как в -периодическом случае, применяется следующее (с "новым" и скалярным произведением) ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {k} (t): = \ exp \ left ({2 \ pi kt \ over T} \ right).}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {k}}$

${\ displaystyle c_ {k} = \ langle f, \ mathbf {e} _ {k} \ rangle.}$

Связь с преобразованием Фурье для непериодических функций

Ряды Фурье можно использовать только для описания периодических функций и их спектра. Чтобы также иметь возможность описывать непериодические функции спектрально, выполняется предельный переход периода . Это позволяет добиться желаемого разрешения по частоте, что приводит к исчезновению комплексного амплитудного спектра. По этой причине комплексный спектр плотности амплитуды вводится , начиная с комплексного ряда Фурье, первоначально для дискретных аргументов : ${\ displaystyle T \ to \ infty}$${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle \ omega = п {\ tfrac {2 \ pi} {T}}}$

${\ Displaystyle F (\ omega) = \ int _ {c - {\ frac {T} {2}}} ^ {c + {\ frac {T} {2}}} f (t) \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ omega t} \ mathrm {d} t \,.}$

За формированием предельного значения (одновременно ) сразу следует преобразование Фурье : ${\ displaystyle T \ to \ infty}$${\ Displaystyle п \ к \ infty}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} (f) (\ omega) = \ lim _ {T \ to \ infty} F (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t ) \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ omega t} \ mathrm {d} t \,.}$

Общие внутренние продукты

У нас есть ряд Фурье для внутреннего произведения

${\ displaystyle \ left \ langle.,. \ right \ rangle: = {\ begin {case} L ^ {2} \ left (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ right) \ times L ^ {2} \ left (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ right) & \ to \ mathbb {C} \\\ left \ langle f, g \ right \ rangle & \ mapsto {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) {\ overline {g \ left (t \ right)}} \ mathrm {d} t \ end {case}}}$

Определяются. Однако можно также рассмотреть другие внутренние продукты, что означает, что другие векторы ортогональны друг другу. Поскольку коэффициенты Фурье определяются со ссылкой на ортонормированную систему, в результате получаются другие коэффициенты. Поскольку многие свойства преобразования Фурье основаны на использовании ортогональности тригонометрических функций, свойства преобразования Фурье также изменяются при использовании других внутренних произведений.

Пусть гильбертово пространство с ортонормированному . Затем вы можете пройти через каждый элемент гильбертова пространства ${\ displaystyle (H, \ langle.,. \ rangle _ {H})}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle f \ in H}$

${\ displaystyle f = \ sum _ {u \ in S} \ langle f, u \ rangle _ {H} \, u}$

представлять. Это представление ряда также называется (обобщенным) рядом Фурье.

Ряд Фурье и симметрия

Обобщения ряда Фурье, которые также могут быть описаны как представления в ортонормированных базисах, но также обладают определенными свойствами по отношению к симметриям, подобным ряду Фурье, исследуются с помощью гармонического анализа . Двойственности Понтрягина обобщает ряд Фурье для функций на любых абелевые локально компактных топологических группах , а теорема Петера-Вейль относится к компактным топологическим группам.

Примеры

Треугольный импульс

Различные приближения треугольного импульса

Функция треугольника может быть аппроксимирована синусом и косинусом в зависимости от желаемого положения фазы. С пиковым значением ряды Фурье: ${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {rl} f (t) = & - {\ frac {8h} {\ pi ^ {2}}} \ left [{\ cos {\ omega t} + {\ frac { 1} {3 ^ {2}}} \ cos {3 \ omega t} + {\ frac {1} {5 ^ {2}}} \ cos {5 \ omega t} + \ cdots} \ right] \\ [.6em] = & - {\ frac {8h} {\ pi ^ {2}}} \ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ dfrac {\ cos ((2k-1) \ омега t)} {(2k-1) ^ {2}}} \ end {array}}}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {rl} f (t) = & {\ frac {8h} {\ pi ^ {2}}} \ left [{\ sin {\ omega t} - {\ frac {1 } {3 ^ {2}}} \ sin {3 \ omega t} + {\ frac {1} {5 ^ {2}}} \ sin {5 \ omega t} \ mp \ cdots} \ right] \\ [.6em] = & {\ frac {8h} {\ pi ^ {2}}} \ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k-1} {\ dfrac { \ sin ((2k-1) \ omega t)} {(2k-1) ^ {2}}} \ end {array}}}$

Прямоугольный импульс

Различные приближения прямоугольного импульса

Прямоугольная волна определяется как

${\ displaystyle f (t) = {\ begin {case} h, & {\ mbox {if}} 0 \ leq t <T / 2 \\ - h, & {\ mbox {if}} T / 2 \ leq t <T \ end {cases}} \ qquad f (t + T) = f (t)}$

Ряд Фурье для этого равен

${\ Displaystyle {\ begin {align} е (т) = & {\ tfrac {4h} {\ pi}} \ left [\ sin \ omega t + {\ tfrac {1} {3}} \ sin 3 \ omega t + {\ tfrac {1} {5}} \ sin 5 \ omega t + {\ tfrac {1} {7}} \ sin 7 \ omega t + \ cdots \ right] \\ = & {\ tfrac {4h } {\ pi}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ dfrac {\ sin \ left ((2k-1) \ omega t \ right)} {2k-1}} \ end {выровнено }}}$

Эта функция показывает, что прямоугольная волна может быть представлена бесконечным числом гармоник . Он содержит нечетные гармоники, амплитуда которых уменьшается с увеличением частоты . Из-за этого прямоугольный сигнал также часто используется для тестирования электронных схем, поскольку таким образом распознается частотное поведение этой схемы.

В общем, все периодические колебания с длительностью периода основного колебания и любым курсом в пределах периода содержат нечетные гармоники только в том случае, если применимо следующее: ${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle f (t + {\ tfrac {T} {2}}) = - f (t)}$

Фурье-синтез прямоугольного сигнала

На рисунке справа показан синтез прямоугольной волны Фурье . Диаграммы в первом столбце показывают вибрацию, добавленную в соответствующую строку. На диаграммах во втором столбце показаны все учтенные до сих пор вибрации, которые затем добавляются к диаграммам в третьем столбце, чтобы максимально приблизиться к генерируемому сигналу. Колебание от первой линии называется основным колебанием, все остальные, которые добавляются, являются гармониками. Чем больше учитывается таких кратных основной частоты, тем ближе к идеальному прямоугольному сигналу. Благодаря синтезу Фурье в точках разрыва прямоугольного сигнала формируется так называемый выброс , который не исчезает даже при большем приближении. Это явление называется феноменом Гиббса , оно показывает постоянное и независимое от полосы пропускание выброса около 18% от полного скачка. В четвертом столбце показан амплитудный спектр, нормированный на основное колебание .

Пилообразный пульс (нарастающий)

Различные аппроксимации пилообразного импульса

Аналогичным образом точечно-симметричные функции могут быть аппроксимированы синусоидальными членами. Фазовый сдвиг здесь достигается чередованием знаков:

${\ displaystyle {\ begin {array} {rl} f (t) = & - {\ frac {2h} {\ pi}} \ left [{\ sin {\ omega t} - {\ frac {1} {2 }} \ sin {2 \ omega t} + {\ frac {1} {3}} \ sin {3 \ omega t} \ mp \ cdots} \ right] \\ [. 6em] = & - {\ frac { 2h} {\ pi}} \ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k-1} {\ dfrac {\ sin k \ omega t} {k}} \ end { множество}}}$

Синусоидальный импульс

Различные приближения синусового импульса

${\ displaystyle {\ begin {array} {rl} f (t) = & h \ left | \ sin {\ omega t} \ right | \\ [. 6em] = & {\ frac {4h} {\ pi} } \ left [{\ frac {1} {2}} - {\ frac {\ cos {2 \ omega t}} {3}} - {\ frac {\ cos {4 \ omega t}} {15}} - {\ frac {\ cos {6 \ omega t}} {35}} - \ cdots \ right] \\ [. 6em] = & {\ frac {2h} {\ pi}} - {\ frac {4h} {\ pi}} \ sum \ limits _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ dfrac {\ cos {2k \ omega t}} {(2k) ^ {2} -1}} \ end {array} }}$

Утверждения сходимости рядов Фурье

Вы можете без колебаний построить ряд Фурье для периодической функции, но этот ряд не обязательно должен сходиться. Если это так, то в результате этого преобразования не будет получено никакой дополнительной информации. Если ряд сходится, должно быть ясно, в каком смысле имеет место сходимость. Чаще всего исследуют ряды Фурье на предмет поточечной сходимости , равномерной сходимости или сходимости по норме. ${\ displaystyle L ^ {2}}$

Разложение периодической функции с периодом в ряд Фурье возможно в следующих случаях, которые постепенно становятся все более общими: ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle T> 0}$

1. Самая сильная сходимость - это абсолютная сходимость . Если Гёльдер непрерывен с порядком , то абсолютный ряд Фурье (а значит, и равномерно) сходится к ( Сергею Натановичу Бернштейну ) всюду .${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ alpha> 1/2}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$
2. если она непрерывна и непрерывно дифференцируема по сечениям, то ряд Фурье равномерно (а значит, поточечно) сходится к .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$
3. если ограниченное общее изменение за период, ряд Фурье функции сходится поточечно для всех к среднему левому и правому пределу . В частности, ряд сходится Фурье от всюду , где это непрерывно. Сходимость также равномерна на каждом отрезке, на котором непрерывна.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (е (х + 0) + е (х-0))}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle I \ подмножество \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f}$
4. когда в течение ограниченного периода функциональное пространство принадлежит, то ряд Фурье сходится в смысле стандарта L² относительно .${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [c, c + T]}$${\ displaystyle L ^ {2} ([c, c + T])}$${\ displaystyle f}$

Ниже перечислены некоторые важные теоремы о сходимости рядов Фурье.

Теорема Дирихле

Питер Густав Лежен Дирихле доказал, что ряд Фурье дифференцируемой периодической функции сходится точка за точкой к выходной функции. При условии, что он даже непрерывно дифференцируемый, утверждение может быть улучшено. ${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle f}$

Пусть - непрерывно дифференцируемая периодическая функция, тогда ряд Фурье равномерно сходится к . ${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Теорема Карлесона

Теорема Карлесона - это глубокий результат сходимости ряда Фурье.

Пусть - функция , интегрируемая с квадратом , тогда ряд Фурье сходится почти всюду . ${\ Displaystyle е \ в L ^ {2} ([- \ пи, \ пи])}$${\ displaystyle f}$

Это утверждение верно даже для всех пространств и в этой общей форме называется теоремой Карлесона - Ханта. Колмогоров смог показать в 1923 году контрпримером, что утверждение ложно. Николай Николаевич Лусин заподозрил правильность теоремы Карлесона еще в 1915 году, но не смог ее доказать. Леннарт Карлесон смог доказать это только в 1964 году.${\ Displaystyle L ^ {p}}$${\ displaystyle p \ in {}] 1, \ infty [}$${\ displaystyle p = 1}$

Теорема Фейера

Леопольд Фейер доказал, что средние арифметические частичные суммы ряда Фурье непрерывной периодической функции равномерно сходятся к функции. ${\ displaystyle 2 \ pi}$

Позвольте быть непрерывной, периодической функцией и ряд Фурье . П - я частичная сумма этой серии описывается. Тогда теорема Фейера утверждает, что частичные суммы равномерно сходятся к . Так это правда ${\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle \ textstyle S (f) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {k} e ^ {ikx}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ textstyle s_ {n} (f) = \ sum _ {k = -n} ^ {n} c_ {k} e ^ {ikx}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {m + 1}} \ sum _ {n = 0} ^ {m} s_ {n} (f)}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ lim _ {m \ to \ infty} {\ frac {1} {m + 1}} \ sum _ {n = 0} ^ {m} s_ {n} (f) = \ lim _ {m \ to \ infty} {\ frac {1} {m + 1}} \ sum _ {n = 0} ^ {m} \ sum _ {k = -n} ^ {n} c_ {k} e ^ {ikx } = f (x)}$,

где сходимость равномерная.

Феномен Гиббса

Явление Гиббса на прямоугольной кривой

Вблизи точек скачка в рядах Фурье происходят типичные выбросы и недолеты, составляющие около 9% от половины высоты прыжка. Этот эффект имеет далеко идущие последствия при обработке сигналов.

Математическая причина этого заключается в том, что для прерывных функций и ${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {L}} ^ {2} \ left (\ mathbb {R} / 2 \ pi \ right)}$

${\ displaystyle f_ {n} (t) = \ sum _ {k = -n} ^ {n} c_ {k} \ mathbf {e} _ {k} (t) \ quad {\ text {with}} c_ {k} = {\ hat {f}} (k) \ in \ mathbb {C} {\ text {и}} n \ in \ mathbb {N}}$

хотя есть сходимость в смысле нормы, последовательность, как правило, не сходится равномерно. ${\ displaystyle L ^ {2}}$${\ displaystyle \ left (\ left | f_ {n} -f \ right | \ right) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

литература

• Горацио Скотт Карслоу : Введение в теорию рядов и интегралов Фурье , Macmillan 1921, Архив
• Гарри Дим , Генри П. Маккин : ряды Фурье и интегралы , Academic Press 1972
• Роберт Эдмунд Эдвардс : Ряд Фурье. Современное введение , 2 тома, Тексты для выпускников по математике , Springer, 1979, 1982
• Годфри Гарольд Харди , Вернер Вольфганг Рогозинский : ряд Фурье , Cambridge UP 1944, 1956
• Дэвид В. Каммлер: Первый курс анализа Фурье , Cambridge UP 2007
• Ицхак Кацнельсон : Введение в гармонический анализ , Wiley 1968, Dover 197
• Томас Уильям Кёрнер : анализ Фурье , Cambridge UP 1988
• Йорг Ланге, Татьяна Ланге : преобразование Фурье для описания сигнала и системы. Компактный, наглядный, интуитивно понятный. Springer Vieweg 2019, ISBN 978-3-658-24849-9 .
• Эдвард Чарльз Титчмарш : Введение в теорию интегралов Фурье , Oxford, Clarendon Press, 1948.
• Антони Зигмунд : Тригонометрические ряды , Кембридж, UP 1978

веб ссылки

• Грант Сандерсон : Но что такое ряд Фурье? От теплового потока к рисункам по кругу. (Интернет-видео) В: YouTube . 30 июня 2019 г. (американский английский).; доступ 2 апреля 2020 г. 
• Java-апплет Фальстада для серии Фурье Этот Java-апплет может использоваться для демонстрации разработки рядов Фурье.
• Math-Online Fourier Applet Еще один апплет для построения рядов Фурье.
• Бернхард Риман: О представимости функции тригонометрическим рядом
• Спектры периодических функций времени (PDF) Разложение Фурье физически с помощью графической иллюстрации. (311 КБ)
• Майкл Гэдтке: Фурье - как можно проще Сложные сигналы от собственных колебаний - ряды Фурье, синтез Фурье и анализ Фурье
• Видео: комплексный ряд Фурье . Jörn Loviscach 2011, предоставлено Библиотекой технической информации (TIB), doi : 10.5446 / 10267 .
• Видео: Ряд Фурье как разложение векторов; Ортонормированный базис, скалярное произведение . Йорн Loviscach 2012, доступен в информационной технической библиотеке (ИРТ), DOI : 10,5446 / 10335 .
• Видео: ряд Фурье прямоугольной волны . Jörn Loviscach 2011, предоставлено Библиотекой технической информации (TIB), doi : 10.5446 / 10336 .

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Поль Дю Буа-Реймон: Исследования сходимости и расходимости формул представления Фурье , трактаты математико-физического класса Баварской академии наук К., 1876 г., том 13, страницы 1–103.
2. ↑ Рами Шакарчи, Элиас М. Штейн: Анализ Фурье: Введение . Princeton University Press, Princeton 2003, ISBN 0-691-11384-X . 
3. ^ А. Зигмунд: Тригонометрический ряд. Том 1, Cambridge UP, 2002, с. 240.
4. ^ А. Зигмунд: Тригонометрический ряд. , Cambridge University Press, гл. II, §8.
5. ↑ Санкт-Геббельс, Санкт-Риттер: Понимание и применение математики - от основ до рядов Фурье и преобразований Лапласа. Спектр, Гейдельберг 2011, ISBN 978-3-8274-2761-8 , стр. 696, 704-706
6. ↑ С.А. Теляковский: Теорема Карлесона . В: Michiel Hazewinkel (Ed.): Encyclopedia of Mathematics . Springer-Verlag и EMS Press, Берлин 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (английский, онлайн ). Шаблон: EoM / id