Двенадцатеричная система

Двенадцатеричные цифры согласно Dozenal Society of Great Britain ( шрифт : Symbola 8.0 )

Система двенадцатеричной (также двенадцать системы ) представляет собой система ценностей места для представления чисел . Он использует основание двенадцати , так что это «12-адическая система значений». Это означает: в отличие от обычной десятичной системы (с основанием десять) здесь двенадцать цифр , так что вторая цифра требуется только для натуральных чисел от двенадцати.

В двенадцатеричной системе число 10 означает не десять, а 1 дюжина + 0 (т.е. двенадцать), а число 0,1 означает не десятую, а двенадцатую.

характеристики

У любого числа меньше двенадцати такая хорошая делимость . Двенадцать имеет четыре нетривиальных множителя: 2, 3, 4 и 6, это очень сложное число . Это дает практические преимущества при использовании в качестве калибровочной единицы. Напротив, у десятки есть только два нетривиальных множителя: 2 и 5.

Все пять самых элементарных дробей ( ¹ ⁄ ₄ , ¹ ⁄ ₃ , ¹ ⁄ ₂ , ² ⁄ ₃ и ³ ⁄ ₄ ) имеют краткое конечное представление в двенадцатеричной системе:

¹ ⁄ ₄ = 0,3₍₁₂₎
¹ ⁄ ₃ = 0,4₍₁₂₎
¹ ⁄ ₂ = 0,6₍₁₂₎
² ⁄ ₃ = 0,8₍₁₂₎
³ ⁄ ₄ = 0,9₍₁₂₎

В десятичной системе эти дроби представлены следующим образом:

¹ ⁄ ₄ = 0,25
¹ ⁄ ₃ = 0,33333 ...
¹ ⁄ ₂ = 0,5
² ⁄ ₃ = 0,66666 ...
³ ⁄ ₄ = 0,75

Двенадцатеричную систему иногда называли «оптимальной системой счисления».

использовать

Известно лишь несколько культур, использующих двенадцатеричную систему. Деление и группировка на 12 культурно очень широко распространено и примерно проявляется в концепции дюжины, основной части (12 дюжин), в два раза по 12 часов в день, 12 месяцев в году, 12 знаков зодиака , 12 знаков в Китайская астрология и разделение старых единиц измерения (например, дюймов и футов ). Однако это еще не указание на двенадцатеричную систему.

В римских цифрах дроби основаны на базе 12. Двенадцатая часть на латыни называется Uncia - слово, которое позже стало мерой веса « унция ».

Разговорные числа языков плато в Нигерии представляют собой настоящие двенадцатеричные системы. Непальский язык чепанг и язык махл коренного населения атолла Миникой также используют двенадцатеричную систему.

В немецком и других германских языках слова для одиннадцати и двенадцати образованы иначе, чем следующие цифры. Хотя двенадцатеричной системы нет, она интерпретируется как лингвистический указатель на то, что десятичная система индоевропейцев могла смешаться с ранее авторитетной двенадцатеричной системой, когда образовывались числа .

Группы, которые хотят продвигать популярность и использование двенадцатеричной системы в наше время, включают « Общество дюжин Америки» (основано в 1944 г.) и Общество «Дюдиналь» в Великобритании (основано в 1959 г.).

Двенадцатеричный счет с фалангами

В обычной десятичной системе ( система 10) вы считаете десятью пальцами (2 раза по 5) обеих рук. В некоторых частях света, однако, был счет с помощью фаланги , что приводило к числу двенадцать одной рукой и даже к числу 144 (156) двумя руками.

Для этого большой палец основной счетной руки касается фаланг последовательно от мизинца до указательного пальца (4 пальца по 3 фаланги каждый). С другой стороны, полная дюжина затем хранится в той же системе.

Подробно рассмотрите счет одной и двумя руками с помощью фаланг и пальцев .

Система двойного десятичного счета, с одной стороны, засвидетельствована в Индии , Индокитае , Пакистане , Афганистане , Иране , Турции , Ираке и Египте .

Представление чисел

Цифры

В двенадцатеричной системе требуется на две цифры больше, чем в десятичной. Общество дюжины Великобритании использует символы, предложенные Исааком Питманом, в дополнение к цифрам от 0 до 9.2для десяти и3для одиннадцати (цифры 2 и 3 повернуты на 180 градусов).

Общество дюжины Америки использует вместо десяти и одиннадцати. Если эти символы недоступны, в качестве альтернативы можно использовать X и E. Число с десятичным представлением 278, таким образом, записывается дуодецимально как «1E2» . ${\ Displaystyle (1 \ cdot 12 ^ {2} +11 \ cdot 12 ^ {1} +2 \ cdot 12 ^ {0})}$

Представление в компьютерных системах

Символы и содержатся в Unicode , начиная с версии 8.0.0 (июнь 2015) как ↊ U + 218A оказалось цифра два и ↋ U + 218B оказалось три цифры в блоке цифр на основе предложения с 2013 года в качестве специальных символов без собственного числового значения .

Эти символы можно представить в LaTeX , загрузив пакет \usepackage{tipx}как \textturntwoили \textturnthree.

Эти символы также используются в этой статье.

Персонажи и , с другой стороны, недоступны ни в одном общедоступном стандарте символов (по состоянию на июнь 2015 г.). Заявка на включение в Unicode не была принята в июне 2013 года в отношении этих символов. В импровизированном, они могут быть представлены отдаленно похожими символами (U + 1D4B3 математический сценарий капитала х ) и ℰ (U + 2130 сценарий капитала е ). ( Греческое «хи» менее подходит, так как это строчная буква с нижним нижним элементом и не отображается на одном уровне с другими числовыми символами.) ${\ Displaystyle х \!}$

Для простоты многие компьютерные программы для преобразования в различные системы оснований используют буквы A и B для обозначения десяти и одиннадцати, исходя из использования в шестнадцатеричной системе .

Целые и рациональные числа

Представление чисел аналогично представлению в широко используемой десятичной системе с той разницей, что значение цифр определяется не соответствующей степенью десяти, а соответствующей степенью двенадцати. Например, последовательность цифр 234 представляет собой не двести тридцать четыре (как в десятичной системе), а триста двадцать восемь, потому что в двенадцатеричной системе значение рассчитывается следующим образом:

{\ displaystyle 234 _ {(12)} = 2 \ cdot 12 ^ {2} +3 \ cdot 12 ^ {1} +4 \ cdot 12 ^ {0} = 288 + 36 + 4 = 328 _ {(10) }}

Индексы указывают используемую основу.

Как и в десятичной системе, двенадцатеричные дроби конечны, например

¹ ⁄ ₂ = 0,6₍₁₂₎

¹ ⁄ ₃ = 0,4₍₁₂₎

¹ ⁄ ₄ = 0,3₍₁₂₎

¹ ⁄ ₆ = 0,2₍₁₂₎

¹ ⁄ ₈ = 0,16₍₁₂₎

¹ ⁄ ₉ = 0,14₍₁₂₎

¹ ⁄ ₁₂ = 0,1₍₁₂₎

или периодически вроде

¹ ⁄ ₅ = 0, 2497 ₍₁₂₎

¹ ⁄ ₇ = 0,186↊35 ₍₁₂₎

¹ ⁄ ₁₀ = 0,1 2497 ₍₁₂₎

¹ ⁄ ₁₁ = 0, 1 ₍₁₂₎

Как и в десятичной системе, отрицательные числа записываются со знаком минус.

Основы арифметики

Аналогично числам в десятичной системе, обычные арифметические операции сложения , вычитания , умножения и деления могут выполняться с двенадцатеричными числами . Требуемые алгоритмы в основном те же, только таблица умножения и таблица сложения становятся больше из-за большего количества цифр.

Малые таблицы умножения в двенадцатеричной системе счисления
*	1	2	3	4-й	5	Шестой	7-е	8-е	9	↊	↋	10
1	1	2	3	4-й	5	Шестой	7-е	8-е	9	↊	↋	10
2	2	4-й	Шестой	8-е	↊	10	12-е	14-е	16	18-е	1↊	20-е
3	3	Шестой	9	10	13-е	16	19-е	20-е	23	26 год	29	30-е
4-й	4-й	8-е	10	14-е	18-е	20-е	24	28 год	30-е	34	38	40
5	5	↊	13-е	18-е	21 год	26 год	2↋	34	39	42	47	50
Шестой	Шестой	10	16	20-е	26 год	30-е	36	40	46	50	56	60
7-е	7-е	12-е	19-е	24	2↋	36	41 год	48	53	5↊	65	70
8-е	8-е	14-е	20-е	28 год	34	40	48	54	60	68	74	80
9	9	16	23	30-е	39	46	53	60	69	76	83	90
↊	↊	18-е	26 год	34	42	50	5↊	68	76	84	92	↊0
↋	↋	1↊	29	38	47	56	65	74	83	92	↊1	↋0
10	10	20-е	30-е	40	50	60	70	80	90	↊0	↋0	100

Делимость числа в двенадцатеричной системе счисления

В системе 12 во многих случаях делимость данного многозначного числа может быть определена легче, чем в десятичной системе счисления. Делители 5 и 7 являются исключением, поскольку они взаимно просты с 12. Для коэффициентов от 2 до 13 ₍₁₀₎ = 11 ₍₁₂₎ применяются следующие правила:

Двенадцатеричное число - это ...

... делится на 2, если последняя цифра (слева, однозначная) четная.

... делится на 3, если последняя цифра делится на 3, то есть 0, 3, 6 или 9.

... делится на 4, если последняя цифра равна 0, 4 или 8.

... при использовании периодической последовательности (a делится на 5 _n ) = (1, 2; -1; -2) взвешенная сумма делится на пятую

Пример: перекрестная сумма числа 37056 ₍₁₂₎ получается из 1 6 + 2 5 1 0 2 7 + 1 3 = 5. ${\ displaystyle \ cdot}$ ${\ displaystyle \ cdot}$ ${\ displaystyle -}$ ${\ displaystyle \ cdot}$ ${\ displaystyle -}$ ${\ displaystyle \ cdot}$ ${\ displaystyle \ cdot}$

Цифры данного числа умножаются, начиная справа, на множители из последовательности, через каждые четыре цифры последовательность повторяется. Образованная таким образом сумма также может быть отрицательной. Если результат - как здесь - делится на 5, данное число также делится на 5. Коэффициенты последовательности также можно варьировать по модулю 5, т.е. ЧАС. последовательность (a _n ) = (1; 2; 4; 3) также подойдет.

... делится на 6, если последняя цифра - 0 или 6.

... делится на 7, если контрольная сумма, взвешенная с использованием периодической последовательности (a _n ) = (1; 2; -1; -2), делится на 5. (Сравните делимость на 5).

... делится на 8, если их передняя только последняя цифра и последняя цифра 0 или 8, или предпоследняя цифра нечетная, а последняя - четыре.

... делится на 9 в каждом из следующих случаев:

1-я предпоследняя цифра = 0 mod 3, последняя цифра ${\ displaystyle \ in \ {0.9 \}}$

2-я последняя цифра = 1 mod 3, последняя цифра = 6

3. Предпоследняя цифра = 2 mod 3, последняя цифра = 3. (Например, все числа, оканчивающиеся на… 23,… 53,… 83. Или на… делятся на 9). ${\ displaystyle \ varepsilon 3}$

... делится на ₍₁₂₎ (т.е. здесь на число 10 в системе 12), если делится на 2 и на 5 (см. там). ${\ Displaystyle \ varkappa}$

... делится на (= 11 ₍₁₀₎ ), если ваша (простая) контрольная сумма делится на 11. ${\ Displaystyle \ varepsilon}$

... делится на 10 ₍₁₂₎ = 12 _(10), если последняя цифра = 0.

... делится на 11 ₍₁₂₎ = 13 _(10), если ваша переменная контрольная сумма делится на 13. Цифры поочередно складываются и вычитаются, т.е. ЧАС. они взвешиваются с помощью последовательности (a _n ) = (1; -1; 1; -1; ...), см. делимость на 5.

Преобразование в другие системы счисления значений

Первые натуральные числа представлены в двенадцатеричной системе следующим образом:

Двенадцатеричная система	0	1	2	3	4-й	5	Шестой	7-е	8-е	9	↊	↋	10	11	12-е	13-е	14-е	15-е	16	17-е	18-е	19-е	1↊	1↋	20-е
Десятичная система	0	1	2	3	4-й	5	Шестой	7-е	8-е	9	10	11	12-е	13-е	14-е	15-е	16	17-е	18-е	19-е	20-е	21 год	22-е	23	24

От двенадцатеричной системы к десятичной

Чтобы получить десятичное число из двенадцатеричного числа, указанные кратные степени 12 складываются, то есть значение числа вычисляется в соответствии с определением 12-адической системы значений:

234 ₍₁₂₎ = 2 x 12 ² + 3 x 12 ¹ + 4 x 12 ⁰ = 288 + 36 + 4 = 328.

Из десятичной системы в двенадцатеричную

Один из способов преобразовать десятичное число в двенадцатеричную систему - это посмотреть на остатки от деления, которые возникают при делении числа на основание 12.

В примере 328 _{(10) это} будет выглядеть так:

328: 12 = 27 Rest 4,
 27: 12 = 2 Rest 3,
  2: 12 = 0 Rest 2.

Теперь искомую числовую последовательность можно считать снизу вверх : 234 ₍₁₂₎ .

веб ссылки

Викисловарь: двенадцатеричная система - объяснение значений, происхождение слов, синонимы, переводы

Индивидуальные доказательства

↑ Джордж Дурос: Юникодные шрифты для древних сценариев. Проверено 19 июня 2015 года .
↑ Георгий Дворский: Почему мы должны перейти на систему подсчета Base-12 . 18 января 2013 г. Проверено 21 декабря 2013 г.
^ Герхард, Людвиг (1987): Некоторые замечания о числовых системах языков плато. В: Africa and Overseas 70: 19–29.
↑ Жорж Ифра: Всеобщая история чисел . Лицензионное издание две тысячи и одно издание. Campus, Франкфурт-на-Майне 1993, ISBN 978-3-86150-704-8 , Das Sexagesimalsystem, стр. 69–75 и 90–92 (французский: Histoire universelle des chiffres . Перевод Александра фон Платена).
↑ Исаак Питман (Ред.): Тройка (двенадцать брутто) Самоцветов Мудрости. Лондон 1860 г.
^ ^A^b Карл Пентцлин: Предложение о кодировании двенадцатеричных цифр в UCS. (PDF; 276 кБ) ISO / IEC JTC1 / SC2 / WG2, документ N4399, 30 марта 2013 г., по состоянию на 29 июня 2013 г. (на английском языке).
↑ Скотт Пакин: Полный список символов LaTeX. (PDF, 21,2 MB) 5 мая 2021, в архиве с оригинала июля 18, 2021 ; Проверено 19 июля 2021 года ( на английском языке, см таблицы « tipxфонетические символы»; оригинал ссылка приводит к зеркальному серверу в CTAN , а для архива ссылки см файла: Всеобъемлющее LaTeX Symbol List.pdf ).

[1] Джордж Дурос: Юникодные шрифты для древних сценариев. Проверено 19 июня 2015 года .

[io9-2] Георгий Дворский: Почему мы должны перейти на систему подсчета Base-12 . 18 января 2013 г. Проверено 21 декабря 2013 г.

[3] Герхард, Людвиг (1987): Некоторые замечания о числовых системах языков плато. В: Africa and Overseas 70: 19–29.

[Ifrah_2-4] Жорж Ифра: Всеобщая история чисел . Лицензионное издание две тысячи и одно издание. Campus, Франкфурт-на-Майне 1993, ISBN 978-3-86150-704-8 , Das Sexagesimalsystem, стр. 69–75 и 90–92 (французский: Histoire universelle des chiffres . Перевод Александра фон Платена).

[5] Исаак Питман (Ред.): Тройка (двенадцать брутто) Самоцветов Мудрости. Лондон 1860 г.

[N4399-6] A^b Карл Пентцлин: Предложение о кодировании двенадцатеричных цифр в UCS. (PDF; 276 кБ) ISO / IEC JTC1 / SC2 / WG2, документ N4399, 30 марта 2013 г., по состоянию на 29 июня 2013 г. (на английском языке).

[LATEX-7] Скотт Пакин: Полный список символов LaTeX. (PDF, 21,2 MB) 5 мая 2021, в архиве с оригинала июля 18, 2021 ; Проверено 19 июля 2021 года ( на английском языке, см таблицы « tipxфонетические символы»; оригинал ссылка приводит к зеркальному серверу в CTAN , а для архива ссылки см файла: Всеобъемлющее LaTeX Symbol List.pdf ).

Languages