количество

Обзор некоторых распространенных диапазонов платежей. означает, что элементы диапазона платежей можно понимать как элементы диапазона платежей, сохраняя при этом существенные взаимосвязи . Реальные классы отмечены синим цветом.${\ Displaystyle A \ подмножество B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

Числа - это абстрактные математические объекты или объекты мысли, которые исторически возникли из представлений о величине и числе. Посредством измерения аспект наблюдения, который понимается как величина, связывается с числом, например, в случае подсчета . Поэтому они играют центральную роль в эмпирических науках .

В математике , которая формально изучает числа и их структуру, этот термин включает в себя различные концепции. Они развивались как обобщения существующих интуитивных представлений о числах , так что их также называют числами , хотя они мало связаны с понятиями, изначально связанными с измерениями. Некоторые из этих понятий имеют фундаментальное значение в математике и используются почти во всех подобластях .

В доисторические времена назад концепция достаточного количества натуральных чисел, которые можно использовать для подсчета, имеют фундаментальное значение. Уже неандертальцы создавали абстрактные фигуры (две вертикальные линии или красные помеченные пальцами сталагмитовых рук) в пещерах около 68000 лет назад. Примерно с 2000 г. до н.э. До н.э. египтяне и вавилоняне , рассчитанные с фракциями (рациональных чисел). В Индии понимание нуля и отрицательных чисел развилось в 7 веке нашей эры . Иррациональные числа, такие как или , необходимость в которых возникла из знаний Древней Греции (не позднее 4 века до нашей эры), были введены в период расцвета ислама . ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {5}}}$

Идея мнимых чисел , с помощью которых действительные числа позже были преобразованы в значимые комплексные числа , восходит к европейскому Возрождению . Понятие реального числа могло быть адекватно разъяснено только в 19 веке. В конце 19 века впервые появилась возможность придать бесконечным размерам более точное значение, чем числа. Натуральные числа также были впервые определены аксиоматически . С появлением первых удовлетворительных основ математики, созданных в начале 20 века , даже самым важным числовым терминам было дано полностью формальное определение и значение, соответствующее сегодняшним стандартам.

Понятие числового обозначения - это числа (специальные цифры ; для иллюстрации определенных цифр используются символы ), числовые шрифты (такое написание чисел, как с помощью чисел с использованием определенных правил.), Цифры ( цифры , используемые для обозначения определенных числовых слов ) и Числа ( идентификаторы , которые сами могут быть числами или - обычно содержащими цифры - символьными строками ).

этимология

Немецкое слово номер , вероятно , восходит к древнему германскому слову * тало ( расчет , число , речь ), которая, вероятно , корень старых высоких немецких слов Zala ( порядка , аккуратность представления , отчет , перечисление ) и Zalon ( отчет , CALCulate , подсчитать , посчитать , числа ) есть. От Zala был средневерхненемецком Zale или žal , к которому сегодняшнее слово графа назад.

Первобытное германское слово, вероятно, происходит от примитивного индоевропейского этимона * del- ( стремиться , вычислять , корректировать ). Также возможна связь с примитивным индоевропейским * DEL ( сплит ); тогда исходное значение могло бы быть «зазубриной».

история

предыстория

О понимании числа людей в период до появления первой письменной традиции вряд ли можно сказать безопасно из-за отсутствия доказательств. О важности регулярного расположения линий или выемок, сохранившихся с этого периода, обычно можно только догадываться.

С другой стороны, соответствующие языки, исторически задокументированные предшествующие культуры как можно раньше или родственные языки, которые все еще существуют сегодня, а также известные языки старых схожих культур могут предоставить информацию об идее Числа в доисторической культуре . Систематически сравнивая разные языки, можно определить совпадения и различия между ними, так что можно определить особенности каждого языка и языковой группы и в определенной степени найти общее или различное происхождение. Это также приводит к структурам для цифр, которые позволяют делать выводы о понимании чисел.

Фундаментальная концепция числа, которую можно распознать повсюду в человеческих языках - идея чисел - представляет собой представление о различном числе или количестве определенных объектов, что наиболее близко соответствует концепции кардинального числа в современной математике . Вначале, вероятно, существовало элементарное противопоставление единственного и множественного числа , за которым последовало дальнейшее разделение множественного числа. В языке пираха в Бразилии, например, только три или даже два слова («мало» и «много») известны относительными размерами. Попытки научить счету некоторых представителей этого народа не увенчались успехом. Есть также этнологические отчеты о народе в Южной Африке и о многих австралийских коренных народах, которые знают только цифры «один», «два» и «много» на своих языках. То же самое можно найти в индоевропейских языках в виде Singular , то двойной (например , в переводе с греческого, латыни и ранее также в германских языках) и множественного числа от существительных .

Чтобы иметь возможность различать «многое» и говорить более точные числа, другие народы использовали дополнительные числительные. Максимум до десяти (для больших чисел цифры будут слишком длинными) это возможно, просто добавляя «два» так часто, как оно содержится в соответствующем числе, а с нечетным числом добавляется «единица». . Другой способ получения слов для больших чисел - это языки, которые изобрели свои собственные дополнительные слова, такие как «три», «четыре» или «пять» для меньших чисел, которые, в свою очередь, являются аддитивными или мультипликативными, например Б. «четыре-два» на восемь, подключенные к новым большим числам. Для образования чисел, значительно превышающих десять, необходимо объединить большие числа в новые, более крупные единицы и найти для них новые цифры , например, с шагом «десять», «сотня» и т. Д.

Таким образом, может быть сформировано такое большое количество объектов, что необходимо подсчитать соответствующее количество объектов для их точного обнаружения . Однако нет необходимости отделять числа от типа подсчитываемых объектов: в некоторых языках существуют так называемые классы подсчета, каждый из которых имеет собственное числовое слово для одного и того же числа. Другое слово используется для того же количества живых существ, что и для длинных предметов, третье слово для круглых предметов и дополнительные слова для других предметов.

При отстранении от типа объектов , то есть когда одно и то же числовое слово используется для одного и того же числа независимо от подсчитываемых объектов, числа приобретают независимость и воспринимаются как нечто свое. В случае индоевропейских языков это обычно наблюдается для чисел больше четырех. Первоначально, кажется, существовала градация четырех, позже числа, по-видимому, были расширены в несколько шагов (это можно узнать, например, в немецком языке по разнице между «тринадцатью» и «тремя и двадцатью»). В дополнение к резюме двух, трех или четырех, есть также языки с уровнями пять, десять, двенадцать или двадцать и их смешанные формы.

Первые высокие культуры

Фрагмент папируса Райнда, PBM 10057

После последнего ледникового периода (после 10 000 т. Н. Э.) В мезолите наступление климатических изменений привело к высыханию больших территорий Сахары на западе до монгольских степей на востоке. Растущее население пострадавших районов мигрировало в речные оазисы, где с течением времени сформировались более дифференцированные городские общества. С изобретением письма в ранних передовых культурах на Евфрате и Тигре ( Месопотамия ), на Ниле ( Древний Египет ), на Инде ( культура Инда ) и на Желтой реке ( древний Китай ) началось между концом 4-го века. и начало 3-го тысячелетия до н. э. Историческое время. С самого начала числительные создавались вместе с письмом, поскольку оба, очевидно, были необходимы для управления все более организованными обществами.

В Древнем Египте , самое позднее примерно с 3000 г. до н.э. Chr. Аддитивная система счисления для десятичного основания, используемого для представления натуральных чисел. В основные арифметические операции из сложения , вычитания , умножения и деления уже были проведены там. Для первых двух были специальные символы. Московский папирус и Папирус Райнда - оба написаны иератическим шрифтом в период между 2000 г. до н.э. - являются особенно важным свидетельством математических способностей этой культуры . До н.э. и 1800 г. до н.э. Отсюда в дополнение к натуральным числам можно получить специальное обозначение для стволовых дробей . Остальные соотношения систематически переводились в суммы стволовых дробей ( но также имели свой собственный символ). Мотивация древнеегипетской математики заключалась в основном в строительстве, землеустройстве и экономике, свидетельств нет. Однако есть и проблемы, которые можно интерпретировать как юмористические или развлекательные.${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}}}$

Существует также богатые математические доказательства из Месопотамии в древности . В шумерские времена там развивалась аддитивная система счисления, основанная на основаниях 10 и 60. С древних времен Вавилона между 1800 и 1600 годами до нашей эры. Существуют многочисленные находки с дальнейшими достижениями: была создана шестидесятеричная система значений , но с ограничением, заключающимся в том, что не было нулевой цифры, и поэтому обозначение было двусмысленным. В этой системе более общие рациональные числа также были представлены способом, соответствующим расширению десятичной дроби, используемому сегодня , т.е. То есть можно было использовать примерно и цифры. Дроби, которые не могут быть представлены таким образом или (говоря современным языком) логарифмами , как они фигурировали при расчете процентов , были представлены приблизительно. Систематические приближения также были сделаны в форме извлечения вавилонского корня . Кроме того, были найдены решения квадратных , кубических и биквадратичных уравнений . Эти уравнения были описаны в геометрических терминах ( квадрат, появляющийся на современном языке в таких уравнениях, был описан как площадь, из которой вычитается примерно длина стороны, так что величины, называемые площадями и длинами, могут быть добавлены, но дает довольно абстрактное, алгебраическое понимание окрестности). Эти достижения явились результатом практических нужд бизнеса, строительства и астрономии.${\ displaystyle {\ tfrac {1} {60}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {3600}}}$

Древняя Греция

Большое количество математических открытий дошло до нас из Древней Греции . Впервые (насколько известно) было явное понимание доказательств, с помощью которых результаты доказывались со строгостью, приближающейся к современной математике. Начиная с VI века до нашей эры, это имело особое значение. Школа пифагорейцев , основанная Пифагором Самосским (около 570–510 гг. До н.э.), на которого, вероятно, повлияли поездки в Египет, Месопотамию и, возможно, Индию. В этой религиозной группе математика отделилась от арифметики, которая возникает из повседневных потребностей, при этом (натуральные) числа играют центральную роль. Традиция этого периода в истории математики, включая Фалеса фон Милета , который предположительно жил немного раньше , все еще тонка, большинство документов относится к более позднему периоду, поэтому невозможно с уверенностью сказать, какие концепции были уже известны. там и с которой следовали Методологии.

По не совсем понятным причинам последующая греческая математика уделяла большое внимание геометрии , несмотря на влияние пифагорейцев, среди которых арифметика считалась фундаментальной. Важными действующими лицами здесь были Евдокс Книдский (* примерно между 397 и 390 годами до нашей эры, † примерно между 345 и 338 годами до нашей эры) и Евклид (примерно 360–280 годы до нашей эры).

Что касается концепции числа греков, необходимо сказать, что у них не было концепции рациональных чисел как алгебраических объектов или расширения натуральных чисел. Результаты, которые с современной точки зрения часто интерпретируются как утверждения о такой длине или площади, были сформулированы геометрически как утверждения о соотношении длины и площади: одна длина или площадь могут быть целым кратным другого, соответственно отношения между двумя такими кратные длины или площади сегодня можно понимать как (положительные - понятия, сопоставимые с отрицательными числами, отсутствовали) описывают рациональные числа, но они не были включены в греческое понимание чисел. Тем более, что в греческой математике не было иррациональных чисел - были только геометрические соотношения, не соответствующие соотношению двух целых чисел, кратных величине; говорят о несоизмеримости . Даже один не числился среди чисел в работе Евклида.

Существование несоизмеримых отношений произошло не позднее, чем со времен Аристотеля (384–322 до н.э.), который предоставил довольно общие доказательства, но, возможно, даже до 400 г. до н.э. Известен в Греции. Это показало невозможность пифагорейского подхода описать отношения, возникающие в геометрии, с помощью арифметики - в современной терминологии неадекватность рациональных чисел. Переход к геометрическому основанию, позволившему иметь дело с такими отношениями, в значительной степени приписывается Евдоксу, который сам был учеником важного пифагорейского архита Таранто , который видел в арифметике единственно возможное основание для доказательства.

Евдокс дал определение равенства двух геометрических отношений (длин или площадей): два отношения, следовательно, равны, если все - в современной интерпретации - рациональные отношения, которые меньше или больше одного отношения, также меньше или больше другого. Это определение аналогично даже применимо к сегодняшней концепции действительных чисел. Некоторые люди видели или видят здесь присутствие действительных чисел в греческой математике. Однако эти утверждения проблематичны: с одной стороны, понятие рациональных чисел даже не было доступно, с другой стороны, ничего не было сказано о существовании определенных отношений, так что они приблизительно упорядочены , а скорее отношения, заданные геометрией, были осмотрел. В любом случае это определение сделало возможным множество доказательств, методы которых, такие как метод исчерпания, считаются предшественниками сегодняшних концепций анализа , при этом определенные оценки уже играют центральную роль. Кроме того, Ричард Дедекинд говорит, что его вдохновил Евдокс, когда он определил реальные числа.

Архимед , картина Доменико Фетти 1620 года

Архимед Сиракузский (287–212 до н.э.), который на основе Евдокса предоставил особенно обширные доказательства определенных геометрических соотношений и определенных приближений, также считается первым человеком, который ввел бесконечно малые величины: в Палимпсесте Архимеда он применил принцип, сопоставимый с этим Принципом из Кавальерион , в котором поверхность разделена на бесконечное количество бесконечно малых линий. Даже тогда такая процедура не отвечала требованиям математического доказательства, но Архимед видел в этой механически мотивированной процедуре полезный инструмент для решения проблемы, а затем более простой способ найти правильное доказательство. Существование ненулевых бесконечно малых величин противоречит определению равенства Евдокса, а также так называемой аксиоме Архимеда, установленной самим Архимедом .

Определение чисел

Понятие числа не определяется математически, но является общим термином для различных математических понятий. Следовательно, в математическом смысле не существует такой вещи, как набор всех чисел или что-то подобное. Когда математика имеет дело с числами, она всегда говорит об определенных четко определенных диапазонах чисел , т. Е. ЧАС. только об определенных объектах нашего мышления с фиксированными свойствами, которые все небрежно называют числами . С конца XIX века числа определялись в математике исключительно с помощью логики, независимо от понятий пространства и времени. Были заложены краеугольные камни здесь Дедекиндом и Джузеппе Пеано с аксиоматизациями из натуральных чисел (см Аксиомы Пеано ). Дедекинд пишет об этом новом подходе:

Следует проводить различие между аксиоматическими определениями и теоретико- множественными определениями чисел: в первом случае существование определенных объектов со связями, определенными на них с определенными свойствами, постулируется в форме аксиом , например, в ранних аксиоматизации естественного и действительные числа Пеано и Дедекинда. В результате развития теории множеств Георгом Кантором была сделана попытка ограничиться теоретическими аксиомами множеств, как это принято в современной математике, например, в теории множеств Цермело-Френкеля (ZFC). Существование определенных наборов чисел и связей над ними с определенными свойствами затем выводится из этих аксиом. Иногда диапазон чисел определяется как особый класс . Теория аксиоматических множеств пытается быть единой, единообразной формальной основой для всей математики. Внутри него диапазоны номеров могут быть обработаны богатым образом. Обычно он формулируется в логике предикатов первого уровня , которая определяет структуру математических утверждений и возможности делать выводы из аксиом.

Элементарным примером теоретико-множественного определения множества чисел является определение натуральных чисел, введенное Джоном фон Нейманом как наименьшее индуктивное множество , существование которого постулируется в рамках теории множеств Цермело-Френкеля аксиомой бесконечности .

Порядковые и количественные числа обычно определяются как теоретико-множественные концепции , как и обобщение сюрреалистических чисел .

Например, аксиомы Пеано и определение действительных чисел, восходящее к Дедекинду, основаны, в отличие от ZFC, на логике предикатов второго порядка . В то время как логика предикатов первого уровня дает ясный, общепринятый ответ на вопрос, как должны быть сделаны правильные выводы , посредством чего они могут быть вычислены систематически , попытки прояснить это для логики предикатов второго уровня обычно приводят к необходимости введения сложной метатеории. который, в свою очередь, вводит теоретико-множественные концепции в металингвистических терминах , и от деталей которых зависят последующие возможности вывода в логике предикатов второго порядка. ZFC - кандидат в такую ​​теорию. Эти ограничения делают логику предикатов второго порядка в некоторой части философии математики непригодной для использования на фундаментальном уровне. С другой стороны, логики предикатов первого порядка недостаточно для формулирования некоторых важных интуитивных свойств натуральных чисел и обеспечения счетности (при их рассмотрении в теоретико-множественной метатеории, например, на основе теоремы Левенхайма-Сколема ).

Связывание номеров

Математика изучает отношения между математическими объектами и доказывает структурные свойства этих отношений. Элементарными примерами отношений, определенных между числами, являются общеизвестные арифметические операции ( базовые арифметические операции ) над рациональными числами (дробями), сравнения («меньше», «больше», «больше или равно» и т. Д.) Между рациональными числами и отношение делимости между целыми числами Числа («3 - делитель 9»). Кроме того, свойства определяются с использованием определенных чисел, например, свойство быть простым числом определяется для целых чисел .

Такие ссылки не следует понимать как произвольные операции, не зависящие от числовой концепции; скорее, определенные диапазоны номеров обычно считаются неотделимыми от определенных ссылок, поскольку они определяют структуру, которую необходимо существенно изучить. Например , говоря о натуральных числах , почти всегда используется, по крайней мере, их порядок (« », « »), который во многом определяет нашу концепцию натуральных чисел. ${\ displaystyle 1 <5}$${\ displaystyle 12 <19}$

В школьной математике , информатике и вычислительной математике мы имеем дело с процедурами , чтобы оценить такие ссылки на конкретных представлениях чисел ( арифметический ). Примером может служить письменное дополнение : используя представление чисел в системе значений знаков, здесь можно получить представление суммы двух чисел путем систематической обработки цифр . В информатике и вычислительной математике такие процедуры разрабатываются и проверяются на предмет их эффективности. Некоторые из этих методов являются фундаментальными для современных компьютеров .

В абстрактной алгебре одна имеет дело со структурой обобщений таких диапазонов чисел, при которой только существование связей с определенными свойствами предполагается для любого набора объектов, которые не однозначно определяют структуру связей, но множество различных конкретных структур с ними. Разрешить свойства ( модели ) (см. Алгебраическую структуру ). Ваши результаты могут быть применены к определенным диапазонам чисел, которые, в свою очередь, могут служить мотивацией и элементарными примерами в абстрактной алгебре.

Теория чисел рассматривала свойства (в широком смысле) чисел, касающиеся существования, частоты и распределения чисел с определенными свойствами. Однако трансфинитные свойства (в определенном смысле «бесконечные» числа) являются предметом теории множеств .

В математике такие связи, отношения и свойства понимаются как предикаты или отношения , включая функции .

Числовые диапазоны

Некоторые важные диапазоны чисел представлены здесь в их математическом контексте. В ходе истории математики вводилось все больше и больше числовых диапазонов, чтобы иметь возможность решать определенные проблемы в более общем плане, чем предыдущие числовые диапазоны. В частности, существующие диапазоны номеров были расширены за счет добавления дополнительных элементов в новые диапазоны номеров, чтобы иметь возможность говорить об определенных операциях в более общих терминах, см. Также статью о расширении диапазона номеров .

Для получения информации о диапазоне чисел см. Раздел, посвященный определению .

Натуральные числа

Die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, … oder 0, 1, 2, 3, 4, 5, … bilden diejenige Menge von Zahlen, die üblicherweise zum Zählen verwendet wird, wobei je nach Definition die Null mit eingeschlossen wird или нет. Натуральные числа указаны в порядке «меньшего». Существует наименьший элемент (ноль или один , в зависимости от определения ), и каждый элемент имеет преемника и меньше своего преемника. Начиная с самого маленького элемента снова и снова, человек, наконец, достигает каждого натурального числа, а затем все больше и больше, так что их бесконечно много. Натуральные числа также снабжены функциями сложения и умножения , так что каждые два натуральных числа могут быть приписаны сумме и произведению, которые снова являются натуральными числами. Эти операции являются ассоциативными и коммутативными , и они также совместимы друг с другом по смыслу дистрибутивные: . Эти три свойства также являются фундаментальными для многих более общих числовых областей, таких как целые, рациональные, действительные и комплексные числа. Порядок натуральных чисел в некоторых отношениях совместим со сложением и умножением : он инвариантен к сдвигу , т.е. т.е. для натуральных чисел также следует, что , помимо инвариантности сдвига, следует еще . ${\ Displaystyle а \ cdot (b + c) = а \ cdot b + a \ cdot c}$${\ displaystyle m, n, o}$${\ Displaystyle м \ leq п}$${\ Displaystyle м + о \ leq п + о}$${\ Displaystyle м \ cdot о \ leq п \ cdot o}$

Существование множества всех натуральных чисел обеспечивается в теории множеств аксиомой бесконечности .

Эта сумма обозначается как или . ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ mathbf {N}}$

Целые числа

В наборе натуральных чисел нет натурального числа для двух чисел , поэтому . В целом число расширить натуральные числа таким образом , что такое число существует для любых двух элементов . Для этого вы добавляете отрицательные числа к натуральным числам: для каждого натурального числа есть второе целое число , которое называется аддитивным обратным . Вышеупомянутое число , называемое разницей , кратко обозначается как . Это определяет вычитание целых чисел, которое, однако, является сокращенной формой. ${\ Displaystyle п <м}$${\ displaystyle d}$${\ Displaystyle м + d = п}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle -n}$${\ Displaystyle п + (- п) = 0}$${\ displaystyle d}$${\ Displaystyle п + (- м)}$${\ displaystyle nm}$

Порядок над натуральными числами распространяется на целые числа. Больше нет ни малейшего элемента; у каждого элемента есть предшественник и последователь (предшественник - тот , тот - и т. д.). Совместимость с добавкой, инвариантность к сдвигу, сохраняется. Кроме того, произведение двух целых чисел больше нуля всегда больше нуля. ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle -2}$

Целые числа образуют кольцо .

Множество целых чисел обозначается или . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$

Рациональное число

Подобно тому, как натуральные числа расширяются до целых чисел, чтобы получить аддитивное обратное и вычитание, целые числа расширяются до рациональных чисел, чтобы получить мультипликативное обратное и деление. То есть рациональные числа содержат целые числа, и к каждому целому числу единица прибавляет указанное число ( основную дробь ) как обратное мультипликативное число, так что . Кроме того, должно быть определено произведение любых двух рациональных чисел; как правило, получаются рациональные числа вида , называемые дробью , посредством чего целое число отождествляется с дробью . Для целых чисел дроби и отождествляются друг с другом; это отождествление также известно как расширение и сокращение . Это дает умножение и деление, совместимые с умножением целых чисел. ${\ Displaystyle г \ neq 0}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {z}}}$${\ displaystyle \ textstyle z \ cdot {\ frac {1} {z}} = 1}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {x} {y}} = x \ cdot {\ frac {1} {y}}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {z} {1}}}$${\ Displaystyle т \ neq 0}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {x} {y}}}$${\ Displaystyle \ textstyle {\ гидроразрыва {т \ cdot x} {т \ cdot y}}}$

Используя представление десятичной дроби , можно определить порядок, совместимый с порядком целых чисел, который также совместим со сложением и умножением.

Рациональные числа образуют ( упорядоченное ) тело . Построение рациональных чисел из целых чисел обобщается как формирование поля частных для образования кольца.

Множество рациональных чисел обозначается или . В (немецкой) школьной математике обозначение («набор (положительных) дробей») также встречается, когда положительные дроби вводятся перед отрицательными целыми числами. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbf {Q}}$${\ Displaystyle \ mathbb {B} (: = \ mathbb {Q} _ {0} ^ {+})}$

Алгебраические расширения

С помощью сложения и умножения целых или рациональных чисел можно определить так называемые полиномиальные функции : каждому целому или рациональному числу присваивается сумма степеней, умноженная на постоянные числа ( коэффициенты ). Примерно любое число, как определено значение . Для многих таких полиномиальных функций не существует рационального числа, так что значение полиномиальной функции в этой точке равно нулю ( нулевая точка ). Если теперь добавить к рациональным числам нули некоторых полиномиальных функций, при этом умножение и сложение останутся четко определенными, то получится алгебраическое расширение . Если расширить рациональные числа такими нулями для всех непостоянных многочленов, то получатся алгебраические числа . Если расширить целые числа нулями для всех непостоянных многочленов, коэффициенты которых являются целыми, а коэффициент - наивысшей степени , то получаются целые алгебраические числа . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ textstyle 12 \ cdot x ^ {0} +4 \ cdot x ^ {2} + \ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) \ cdot x ^ {3}}$${\ displaystyle \ textstyle 12 + 4 \ cdot x \ cdot x + \ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) \ cdot x \ cdot x \ cdot x}$${\ displaystyle 1}$

Алгебраические расширения изучаются в теории тел , особенно в теории Галуа .

Действительные числа

Если посмотреть на такие проблемы, как нахождение нулей полиномиальных функций над рациональными числами, можно обнаружить, что можно построить сколь угодно хорошие приближения в рациональных числах : например, для множества полиномиальных функций существует рациональное число для каждого заданного допуска, так что значение полиномиальной функции в этой точке отклоняется от нуля не более чем на допуск. Кроме того, приближенные решения могут быть выбраны так, чтобы они были «близки друг к другу», поскольку полиномиальные функции непрерывны («не имеют« скачков »). Такое поведение происходит не только с нулями полиномиальных функций, но и с множеством других математических задач, которые имеют определенную непрерывность, так что каждый переход, чтобы гарантировать существование решения, как только существуют произвольно хорошие приближения через рациональные числа, расположенные близко друг к другу. Такое решение называется действительным числом . Чтобы показать существование таких решений, достаточно потребовать, чтобы для каждого набора рациональных чисел, не содержащих числа, не являющиеся произвольно большими, было наименьшее число среди действительных чисел, которые больше или равны всем эти элементы набора. В качестве альтернативы действительные числа могут быть явно определены как последовательности рациональных чисел, которые « приближаются » друг к другу .

Множество действительных чисел неисчислимо . Следовательно, невозможно однозначно описать каждое действительное число с помощью языка.

Близость действительных чисел при таких аппроксимационных процессах называется полнотой . Это позволяет определять многочисленные члены анализа , такие как производная и интеграл , с использованием предельных значений . Предельные значения также позволяют определять множество важных функций , таких как тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс и т. Д.), Что невозможно с рациональными числами.

Действительные числа сохраняют решающие свойства сложения, умножения и порядка в рациональных числах и, таким образом, также образуют упорядоченное тело . Их нельзя расширить без нарушения этого свойства или аксиомы Архимеда , т.е. введения «бесконечно малых строго положительных чисел».

Идея перехода от рациональных чисел к действительным обобщается различными концепциями завершения .

Множество действительных чисел обозначается или . ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbf {R}}$

Сложные числа

Некоторые полиномиальные функции не имеют нулей в действительных числах. Например, функция принимает значение больше нуля для каждого действительного числа . Можно показать, что добавлением числа , называемого мнимой единицей , которое удовлетворяет уравнению , при сохранении основных свойств сложения и умножения, действительные числа расширяются до комплексных чисел, в которых все непостоянные полиномиальные функции являются одной. ноль. Таким образом, комплексные числа образуют алгебраический вывод действительных чисел. Процессы предельного значения в комплексных числах так же возможны, как и в реальных числах, но комплексные числа больше не упорядочиваются. Их можно понимать как плоскость (двумерное векторное пространство над действительными числами). Каждое комплексное число может быть четко «представлено» в виде , где и являются действительными числами и обозначают мнимую единицу. ${\ Displaystyle х \ mapsto х ^ {2} +1}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle i ^ {2} + 1 = 0}$${\ displaystyle a + b \ cdot i}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle i}$

Теория функций - это та часть анализа, которая имеет дело с аналитическими свойствами функций над комплексными числами.

Множество комплексных чисел обозначается или . ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

Порядковые и количественные числа

Порядковые и количественные числа являются понятиями теории множеств . В теории множеств мощность множества определяется как количественное число, мощность - это обобщение концепции «числа элементов» конечного множества на бесконечные множества. Следовательно, мощности конечных множеств - это натуральные числа, которые также входят в число количеств.

Порядковые числа обобщают понятие «позиции в ( упорядоченном ) множестве» на бесконечные множества. Тогда порядковые числа четко описывают положение элемента в такой упорядоченной системе. Порядковые номера сами по себе хорошо упорядочены, так что порядок упорядоченных объектов соответствует порядку присвоенных им «позиций» (то есть порядковых номеров). Для позиций в расположении конечного числа объектов можно использовать натуральные числа, соответствующие наименьшим порядковым номерам.

Кардинальные числа в настоящее время определяются как специальные порядковые числа, которые также упорядочивают их. В дополнение к порядку, сложение, умножение и возведение в степень также определены для кардинальных чисел и порядковых чисел, которые, ограниченные натуральными числами, согласуются с обычными терминами для натуральных чисел, см. Арифметика кардинальных чисел и трансфинитная арифметика .

И порядковые, и кардинальные числа образуют действительные классы , то есть они не являются наборами в смысле современной теории множеств.

Гиперреальные числа

Гиперреальные числа являются обобщением действительных чисел и являются предметом нестандартного анализа . Они позволяют определять термины из анализа, такие как непрерывность или происхождение, без использования предельных значений .

Гиперкомплексные числа

Комплексные числа можно понимать как двумерное векторное пространство над действительными числами (см. Гауссову плоскость чисел ), то есть как двумерную плоскость, в которой, помимо обычного сложения по координатам, выполняется умножение между двумя точками. на плоскости определяется. Существует множество подобных структур , которые объединены термином « гиперкомплексные числа» . Эти структуры обычно являются конечномерными векторными пространствами над действительными числами (вообразимыми как двумерное или многомерное пространство) с дополнительным умножением. Часто сами действительные числа могут быть встроены в эти структуры , в результате чего умножение, ограниченное действительными числами, соответствует обычному умножению действительных чисел.

Больше групп номеров

• p-адическое число , обобщение рациональных чисел с включением бесконечного числа «знаков после запятой», которое используется в теории чисел .
• Сюрреалистическое число , обобщение гиперреальных чисел и порядковых чисел с приложениями в теории игр .
• Кольца остаточных классов можно понимать как ограничение целых чисел на первое конечное число элементов с соответствующим образом определенной арифметикой. Их элементы иногда называют числами.

Представление чисел

В математике язык логики используется для описания определенных в нем математических объектов, таких как числа, а также может использоваться для описания определенных чисел, иногда с использованием формул. В дополнение к обычным логическим формализмам существуют систематические имена для определенных чисел, например, в форме специальных комбинаций символов (иногда для этой цели используются цифры ) или с использованием специально составленных слов из естественного языка, таких как цифры . Обозначения некоторых чисел используются вне математики для описания конкретных наблюдений, например, количество наблюдаемых объектов ( я вижу пять бананов ) или измеренные значения, определенные другим методом измерения ( высота дверной коробки два метра ). Кроме того, такие систематические представления чисел иногда позволяют выполнять простые систематические вычисления с конкретными числами, особенно с помощью вычислительных машин и компьютеров . Эти методы расчета для расчета определенных операций между конкретными числами зависят от представления выбранного.

В истории культуры и математики многочисленные системы счисления превратились в такие систематические представления чисел. Данные для представления чисел уходят корни в конце каменного века , в результате чего возникает трудности в различении номерных знаков от простых знаков подсчета, т.е. признать ли были осведомлены о численности людей в абстрактном значении тех или только инструмент , как использование в котором была физическая конструкция тикера, но не значение, имело отношение к выполнению своей задачи. Об этой проблеме см., Например, статью о кости Ишанго , находке из позднего палеолита , допускающей различные интерпретации.

Примерами таких представлений являются счетные списки ( унарная система ) и системы значений с разрядами, использующие последовательности цифр , поскольку они распространены сегодня для представления натуральных чисел, а также используются для представления чисел в компьютерах в форме двойной системы .

Если взглянуть на лингвистические представления чисел формально, то не каждому числу можно присвоить такое представление в формальном смысле, т.е. .h, в формальном математическом смысле существует больше чисел как возможных представлений в языке: поскольку лингвистические формулировки всегда конечны, из них может быть только счетное число различных, в то время как математика и бесчисленное множество учитывают диапазоны скоростей. Тем не менее, о представлениях бесчисленных диапазонов чисел можно говорить, если больше не ограничиваться лингвистическими формулировками в таких формальных представлениях, но по своей структуре они могут быть похожи на системы счисления, например, действительные числа могут быть определены как специальные формальные ряды, которые соответствуют к репрезентации структурно схожи по местным системам ценностей.

Примеры

Некоторые примеры того, как представлены числа:

• На немецком языке «Vier» обозначает число как число.
• Это число можно суммировать как счет |||| представлять.
• В индо-арабских цифрах он представлен как 4.
• В римских цифрах он представлен в виде IV.
• В качестве формулы это может быть z. B. представляют, что соответствует математическому определению , если одно и дополнение были определены ранее.${\ displaystyle 1 + 1 + 1 + 1}$
• Если понимать натуральные числа как алгебраическую структуру, обеспечивающую умножение и сложение, то единицу можно определить как единственное натуральное число , так что и , тогда символ обозначает любое натуральное число, которое удовлетворяет этому условию и, следовательно, является уникальным.${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle х \ cdot х = х}$${\ Displaystyle х + х \ neq x}$${\ displaystyle 1}$
• Если определить натуральные числа в теории множеств в варианте Джона фон Неймана , то четыре могут быть представлены как через обычное представление конечных множеств .${\ Displaystyle \ left \ {\ emptyset, \ left \ {\ emptyset \ right \}, \ left \ {\ emptyset, \ left \ {\ emptyset \ right \} \ right \}, \ left \ {\ emptyset, \ left \ {\ emptyset \ right \}, \ left \ {\ emptyset, \ left \ {\ emptyset \ right \} \ right \} \ right \} \ right \}}$
• Рациональные числа могут быть представлены в виде дробей, например B. .${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}}}$
• Решения квадратных уравнений над рациональными числами могут быть представлены в виде формул, состоящих из сложения, умножения и образования квадратного корня из рациональных чисел. Например, формула описывает решение уравнения для переменной .${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle x ^ {2} = 2}$${\ displaystyle x}$
• Комплексные числа часто представляют как сумму действительной части и мнимой части, умноженной, например, на мнимую единицу .${\ displaystyle \ textstyle - {\ frac {4} {3}} + {\ frac {9} {2}} \ cdot i}$
• В двойственной системе натуральное число девять представлено как, что соответствует представлению в виде формулы .${\ displaystyle 1001}$${\ Displaystyle 1 \ раз 2 \ раз 2 \ раз 2 + 0 \ раз 2 \ раз 2 + 0 \ раз 2 + 1}$
• Каждое действительное число может быть «представлено» в виде ряда с целым числом и коэффициентами , но такие представления, как правило, не могут быть описаны окончательно, поскольку существует бесчисленное множество возможных «назначений» коэффициентов. Если он всегда равен нулю для достаточно больших , они соответствуют части десятичной запятой в представлении в двойственной системе (например, для ).${\ displaystyle \ textstyle z + \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} a_ {i} \ cdot 2 ^ {- i}}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle a_ {i} \ in \ left \ {0,1 \ right \}}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle 0 {,} 101}$${\ displaystyle 0 {,} 625}$

Цифры как обозначение

Подобно тому, как числам присваиваются лингвистические выражения, символьные строки и т.п., и наоборот, числа могут присваиваться конкретным объектам, с одной стороны, для абстрактных соображений, с другой стороны, чтобы использовать представления чисел специально для систематического обозначения других объектов. например, для кодирования информации с помощью чисел. Такая процедура позволяет применять к этим обозначениям операции, определенные над числами. Типичным примером является нумерация , при которой каждому объекту определенного рассматриваемого ансамбля присваивается (в основном натуральный) номер: это позволяет именовать объекты по их номерам, а во-вторых, создает порядок с использованием натуральных чисел («меньший») ) порядок объектов; в случае натуральных чисел, например, это позволяет последовательно передавать все объекты. Следует отметить, что не каждое число является числом как математическим объектом, независимым от представления. Некоторые числа следует понимать как специальные последовательности символов, которые служат идентификаторами, даже если они состоят только из цифр (например, ISB , страховые или налоговые номера ).

Другой примером является интерпретацией цифровой информации в обработке данных : В двоичной последовательности присутствует данные могут быть естественным образом в качестве натурального числа, представленной в двоичной системе, интерпретируется (должны соблюдаться здесь крайние случаи , как ведущие нули). Среди прочего используются арифметические операции с использованием этого кодирования в качестве числа. используется в криптографии и сжатии данных .

Этот принцип также можно найти в чистой математике, где числа обычно присваиваются математическим объектам, которые не понимаются как числа, например, в форме чисел Гёделя, которые идентифицируют логические формулы или алгоритмы .

Другими примерами являются представление игровых ситуаций с помощью сюрреалистических чисел в теории игр , представление вращательного растяжения в двумерном евклидовом пространстве с помощью комплексных чисел и поворотов в трехмерном пространстве с помощью кватернионов .

Смотри тоже

• Список специальных номеров
• Группировка цифр
• Числовая символика

литература

• Альбрехт Бойтельшпахер : числа - история, законы, секреты . К. Х. Бек, Мюнхен, 2013 г., ISBN 978-3-406-64871-7 . 
• Юрген Братер: Любопытный мир чисел , Eichborn Verlag, Франкфурт-на-Майне 2005, ISBN 3-8218-4888-X .
• Тобиас Данциг: Число. Язык науки . Pi Press, New York 2005, ISBN 0-13-185627-8 (английский, оригинальное название: Number, язык науки; критический обзор, написанный для образованных нематематиков . Первое издание: Macmillan Co., New York 1930) . 
• Хайнц-Дитер Эббингаус и др.: Числа . 3. Издание. Springer , Берлин, 1992 г., ISBN 3-540-55654-0 . 
• Грэм Флегг (ред.): Числа сквозь века . Macmillan Education, Бейзингсток и др. 1989, ISBN 978-0-333-49131-7 . 
• Жорж Ифра: Всеобщая история чисел . Parkland, Кельн 1998, ISBN 3-88059-956-4 . 
• Хайнц Люнебург : О числах и размерах . Три с половиной тысячи лет теории и практики. Биркхойзер, Базель 2008, ISBN 978-3-7643-8776-1 . 
• Ута Мерцбах , Карл Бенджамин Бойер : История математики . Джон Вили и сыновья, 2011, ISBN 978-0-470-52548-7 . 
• Альберт Дж. Урбан (ред.): Числа - размеры, единицы и символы , area verlag gmbh, Erftstadt 2005, ISBN 3-89996-413-6 .
• Курт Фогель : догреческая математика I: предыстория и Египет . Шредель , Ганновер и Шенинг , Падерборн, 1958. 
• Курт Фогель: догреческая математика II: математика вавилонян . Шредель, Ганновер и Шенинг, Падерборн, 1959. 
• Ханс-Людвиг Вусинг : 6000 лет математике. Культурно-историческое путешествие во времени. С самого начала до Лейбница и Ньютона. Springer, Berlin et al. 2008, ISBN 978-3-540-77189-0 . 

веб ссылки

Викиучебники: Математика для школы${\ displaystyle {\ color {BlueViolet} {\ begin {smallmatrix} {\ mathbf {MATHE} \ mu \ alpha T \ mathbb {R} ix} \ end {smallmatrix}}}}$  - Наборы чисел

Викисловарь: числа  - объяснение значений, происхождение слов, синонимы, переводы

• История и социология глобальных чисел. Отчет о конференции H-Soz-Kult
• Номер . ( Памятка от 28 декабря 2007 г. в Интернет-архиве ) В: Meyers Konversationslexikon

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Джон Бигелоу, Сэм Бутчарт: Число . В: Дональд М. Борхерт (Ред.): Энциклопедия философии . 2005, ISBN 0-02-866072-2 . 
2. ↑ [1]
3. ↑ Мерцбах, Бойер, с. 198.
4. ↑ ^{а б} Владимир Орел: Справочник по германской этимологии . Brill, Leiden 2003, p. 400 f .; archive.org
5. ↑ Август Фик : Словарь индоевропейских языков . Третья часть: Словарь германской языковой единицы . (PDF; 2,8 МБ). Vandenhoeck & Ruprecht, Геттинген 1909 г.
6. ↑ ^{a b c} номер. В: Якоб Гримм , Вильгельм Гримм (Hrsg.): Немецкий словарь . Лента 31 : Z-Zmasche - (XV). С. Хирцель, Лейпциг, 1956, Sp. 36–42 ( woerterbuchnetz.de ). 
7. ↑ ^{a b c} Юлий Покорный : индоевропейский этимологический словарь . Francke, Bern 1959, Volume I, p. 193; archive.org , запись в базе данных
8. ^ Фридрих Клюге, Эльмар Зееболд: этимологический словарь немецкого языка . 24-е издание. de Gruyter, Берлин, 2002 г., ISBN 3-11-017472-3 .  , С. 1002.
9. ↑ номер . In: Duden , по состоянию на 11 июня 2012 г.
10. ↑ Flegg, p. 7 ff.
11. ↑ Эббингаус и др., Стр. 311
12. ↑ Vogel, I , p. 14
13. ↑ Майкл К. Франк, Дэниел Л. Эверетт, Эвелина Федоренко, Эдвард Гибсон: Число как когнитивная технология: данные из языка пираха и познания . В кн . : Познание . Лента 108 , нет. 3 . Эльзевир, 2008, стр. 819-824 , DOI : 10.1016 / j.cognition.2008.04.007 ( Stanford.edu [PDF; 328 кБ ; по состоянию на 23 декабря 2012 г.]). 
14. ^ Дэниел Л. Эверетт : Культурные ограничения на грамматику и познание в пирахе . Другой взгляд на конструктивные особенности человеческого языка. В: Современная антропология . Лента 46 , нет. 4 . Фонд Веннера-Грена антропологических исследований, 2005 г. ( pnglanguages.org [PDF; 961 кБ ; по состоянию на 23 декабря 2012 г.]). 
15. ↑ Flegg, p. 7 ff.
16. ↑ Vogel, I , p. 14
17. ↑ Флегг, стр. 56 и сл.
18. ↑ Flegg, p. 7 ff.
19. ↑ Vogel, I , p. 15
20. ↑ Vogel, I , p. 15
21. ↑ Vogel, I , p. 14
22. ↑ Vogel, I , p. 15
23. ↑ Vogel, I , p. 15
24. ↑ Flegg, p. 7 ff.
25. ↑ Вернер Хильгеманн, Дети Германа: dtv-Атлас всемирной истории . 37-е издание. Лента 1 . dtv , Мюнхен 2004, ISBN 978-3-423-03001-4 , стр. 13-е ff . 
26. ↑ Атлас dtv по всемирной истории . Лента 1 , стр. 17 . 
27. ↑ Атлас dtv по всемирной истории . Лента 1 , стр. 16 f . 
28. ^ Дитер Vieweger: Археология библейского мира . Vandenhoeck & Ruprecht , Геттинген 2003, ISBN 978-3-423-03001-4 , стр. 337 ff . 
29. ↑ Мерцбах, Бойер, с. 10
30. ^ Говард Ивс: Введение в историю математики . 3. Издание. Saunders College Pub., Филадельфия, 1990, ISBN 0-03-029558-0 , стр. 39 . 
31. ↑ Ева, с. 38.
32. ↑ Вуссинг, стр.121.
33. ↑ Вуссинг, с. 118.
34. ↑ Мерцбах, Бойер, с. 14.
35. ↑ Eves, стр. 40-41.
36. ↑ Мерцбах, Бойер, стр. 23-27.
37. ↑ Вуссинг, с. 140.
38. ↑ Мерцбах, Бойер, стр. 28-29.
39. ↑ Вуссинг, с. 142.
40. ↑ Мерцбах, Бойер, с. 38.
41. ↑ Мерцбах, Бойер, с. 44.
42. ↑ Мерцбах, Бойер, с. 45.
43. ↑ Вуссинг, с. 174.
44. ↑ Мерцбах, Бойер, с. 47.
45. ↑ Эббингаус, стр. 26-27.
46. ↑ Матвиевская, с. 253.
47. ↑ Вуссинг, с. 165.
48. ^ Дэвид Э. Джойс: Элементы - Книга 7, Определение 8.1. Проверено 22 декабря 2012 года . 
49. ↑ Мерцбах, Бойер, с. 70.
50. ↑ Мерцбах, Бойер, стр. 65-67.
51. ^ Моррис Клайн : Математическая мысль от древних до наших дней . Лента 1 . Oxford University Press, Нью-Йорк / Оксфорд 1972, ISBN 0-19-506135-7 , стр. 48-49 . 
52. ↑ Эббингаус, стр. 26-27.
53. ^ Брэд Роджерс: История реальных чисел и первый кризис западного знания. (PDF, 94 кБ) (больше не доступны в Интернете.) Архивировано из оригинала на 3 декабря 2011 года ; Проверено 22 декабря 2012 года . 
54. ↑ Вуссинг, с. 263.
55. ^ ^{A b c} Джон Дж. О'Коннор, Эдмунд Ф. Робертсон :  Евдокс Книдский. В: Архив истории математики MacTutor .
56. ^ Reviel Netz : Методы бесконечности. Палимпсест Проект Архимеда, доступ к 7 ноября 2012 года . 
57. ↑ Ричард Дедекинд: Что такое и какие числа? 2-е издание. Verlag Friedrich Vieweg and Son, Брауншвейг 1893, стр. 7–8.
58. ^ Jouko Väänänen: Логика второго порядка и основы математики . 2001, стр. 19 ( math.helsinki.fi [PDF; 194 кБ ; по состоянию на 2 мая 2013 г.]). 
59. ^ Стюарт Шапиро: Основы без фундаментализма . Случай для логики второго порядка. Oxford University Press, Oxford 1991, ISBN 0-19-853391-8 , стр. vii, 204 ff .