Полуплоскость

В евклидовой геометрии , A прямая делит на плоскость на две полуплоскости . Если добавить прямую к одной из полуплоскостей, то получится замкнутая полуплоскость , полуплоскость без прямой называется открытой полуплоскостью .

Верхняя полуплоскость

верхняя полуплоскость

Плоскость комплексных чисел (а также ) делится на две полуплоскости любой прямой линией. Если эта прямая совпадает с вещественными числами (или с осью х ), множество комплексных чисел с положительной мнимой частью называется верхней полуплоскости и называется в теории функций , как (что в других контекстах часто для кватернионов стенды). ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle \ mathbb {H} = \ {x + iy \ in \ mathbb {C} \ mid y> 0 \}}$.

Это область нескольких интересных функций, таких как Б. Дедекинда и играет важную роль в модульных формах и эллиптических кривых над комплексными числами . Множество голоморфных функций на верхней полуплоскости , которые ограничены подходящим образом , образуют пространство Харди . представляет собой неограниченную односвязную область, которая может быть биголоморфно отображена на единичный круг (см. также теорему Римана об отображении ). Аналогично можно рассматривать и нижнюю полуплоскость, поскольку она имеет те же свойства. ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

Обобщения

В общем, полуплоскость - это особое полупространство . В синтетической геометрии полуплоскости и полупространства определяются функцией деления , посредством чего могут использоваться более общие диапазоны координат вместо действительных чисел .

Важным обобщением является полупространство Зигеля .

Публикации

• Эберхард Фрайтаг, Рольф Бусам: Funktionentheorie 1 , 4-е издание, Springer, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3
• Макс Кохер , Алоис Криг : Эллиптические функции и модульные формы , 2-е издание, Springer, Берлин (2007) ISBN 978-3-540-49324-2