Единичная сфера
В математике, единичная сфера понимается сфера с радиусом один вокруг нулевой точки в векторном пространстве . В качестве основы используется обобщенное понятие расстояния, так что, в зависимости от контекста, единичная сфера больше не должна иметь никакого сходства с обычной сферой. Эта единичная сфера является краем единичной сферы, в двумерном вещественном векторном пространстве с евклидовой нормой это единичный круг .
общее определение
Пусть это будет нормированный векторное пространство . Тогда набор точек, расстояние от которых до нулевой точки меньше единицы, называется открытой единичной сферой в :
Обозначается соответствующим образом
замкнутый единичный шар в виде скважины
унитарная сфера в .
С помощью перевода и масштабирования любое количество сфер в комнате можно преобразовать в единичную сферу. Поэтому часто бывает достаточно доказать определенные утверждения только для единичной сферы, чтобы вывести справедливость для любых сфер.
Единичная сфера в конечномерных пространствах
В случае евклидова пространства замкнутая единичная сфера определяется относительно евклидовой нормы с помощью
В качестве альтернативы сферы единиц измерения могут быть определены относительно других стандартов , например, стандарт суммы (1 стандарт) или максимальный стандарт . Геометрическая форма единичной сферы зависит от выбранной нормы и фактически является сферической только с евклидовой нормой.
Объем и поверхность
Объем в n - мерном евклидовом, единичной сфере
Здесь гамма - функция , аналитическое продолжение в (смещенной) факториала на действительных чисел. Для прямых формула упрощается до . Поверхность
Применяются следующие рекурсии :
- для .
- для .
Следует отметить в этой связи , что объем единичной сферы, в зависимости от размерности пространства к сначала возрастает , а затем уменьшается снова - и даже идти против 0 - я Поверхность увеличивается от пространственного измерения до первого и стремится к 0.
Объем и поверхность единичной сферы | ||||
---|---|---|---|---|
измерение | объем | поверхность | ||
0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
2 | 3,141 | 6,283 | ||
3 | 4,189 | 12,57 | ||
4-й | 4,935 | 19,74 | ||
5 | 5,264 | 26,32 | ||
Шестой | 5,168 | 31.01 | ||
7-е | 4 725 | 33,07 | ||
8-е | 4,059 | 32,47 | ||
9 | 3 299 | 29,69 | ||
10 | 2,550 | 25,50 | ||
12-е | 1,335 | 16.02 | ||
20-е | 0,0258 | 0,516 | ||
25-е | 0,000958 | 0,0239 |
Единичная сфера относительно нормы суммы геометрически является кросс-многогранником , ее объем равен .
Единичная сфера относительно максимальной нормы представляет собой гиперкуб с длиной ребра 2, поэтому он имеет объем .
Замечания
- Единичная сфера образует край единичной сферы. Соответственно, в двумерном пространстве единичная сфера - это не круг , а круговой диск.
- В более общем смысле единичная сфера может быть определена в любом метрическом пространстве . Следует отметить , что точка не должны быть помечены как нулевой точки с самого начала , и поэтому можно только говорить о на единичной сфере метрического пространства в ограниченной степени . Более того, особенно в случае метрик, не индуцированных нормами, единичные сферы еще больше удаляются из поля зрения. Специально применимо в векторном пространстве с дискретной метрикой : , и
- При взгляде на окрестности единичный шар также называется 1-шаром или 1- шаром .
характеристики
- Замкнутый единичный шар является выпуклым . (Выпуклость следует из неравенства треугольника .)
- Он точечно-симметричен относительно начала координат 0 : .
- И наоборот, в конечномерном векторном пространстве каждое замкнутое выпуклое множество , которое является точечно-симметричным относительно начала координат и содержит начало внутри , определяет норму, которая имеет это множество как единичную сферу :, для (см. Функционал Минковского ).
- Замкнутый единичный шар является компактным тогда и только тогда , когда есть конечномерном .
- Замкнутый единичный шар является слабо компактным , если и только если это рефлексивно .
- Замкнутый единичный шар в топологическом сопряженном пространстве от всегда слабый - * - компактная ( теоремы Банаха-Алаогл ).
Приложения в естественных науках
Единичная сфера по-разному используется в науках о Земле , особенно для вычислений на земном шаре . Они выполняются с помощью так называемых сферических треугольников и формул сферической тригонометрии , если достаточно точности около 0,1%, например, в географии и картографии , вычислениях земного шара и навигации . Истинные расстояния получаются из сферических дуг путем умножения на радиус Земли .
Для большей точности - особенно в геодезии - вместо земного шара следует использовать земной эллипсоид . С помощью метода нивелирования расчет треугольника также возможен сферически.
Геологи используют единичную сферу, которую они называют слоистой сферой, для анализа направления слоев горных пород или трещин . В него вводятся нормальные векторы соответствующих плоскостей, а затем отображаются в азимутальной проекции с точным соответствием площади .
С тех пор также проводятся астрономические расчеты на единичной сфере вокруг наблюдателя. Это соответствует открытому взгляду на небесный свод и называется небесной сферой , на которой сферическая астрономия определила свои собственные системы координат для угловых измерений и местоположения звезд . Неважно, принимается ли сферический радиус равным 1 или ∞.
литература
- Дирк Вернер : Функциональный анализ . Издание 6-е, исправленное. Springer-Verlag, Берлин 2007, ISBN 978-3-540-72533-6 .
- Иван И. Мюллер : Сферическая астрономия в приложении к геодезии . Frederic Ungar Publ., Нью-Йорк, 1969.