Теория функций

График функции f (z) = (z ² -1) (z-2-i) ² / (z ² + 2 + 2i) в полярных координатах . Оттенок указывает угол, светлота - абсолютное значение комплексного числа.

Функциональная теория представляет собой ветвь математики . Он посвящен теории дифференцируемых комплекснозначных функций с комплексными переменными. Поскольку теория функций комплексной переменной, в частности, широко использует методы реального анализа , подобласть также называется комплексным анализом .

Огюстен-Луи Коши , Бернхард Риман и Карл Вейерштрасс - одни из основных основоположников теории функций .

Теория функций в комплексной переменной

Комплексные функции

Комплексная функция назначает комплексное число , дальнейшее комплексное число к. Поскольку любое комплексное число может быть записано двумя действительными числами в форме , общая форма сложной функции может быть передана через ${\ displaystyle x + iy}$

${\ Displaystyle х + iy \ mapsto f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y)}$

представлять. Где и - действительные функции, зависящие от двух вещественных переменных и . называется действительной частью и мнимая часть функции. В этом отношении комплексная функция - это не что иное, как отображение из в (т. Е. Отображение, которое присваивает два действительных числа двум действительным числам). Фактически, можно также построить теорию функций, используя методы реального анализа. Отличие от реального анализа становится яснее только тогда, когда мы рассматриваем комплексно-дифференцируемые функции и вводим в игру мультипликативную структуру поля комплексных чисел, которой нет в векторном пространстве . Графическое представление сложных функций немного сложнее, чем обычно, поскольку теперь необходимо представить четыре измерения. По этой причине приходится обходиться цветовыми тонами или насыщенностью. ${\ Displaystyle \, и (х, у)}$${\ Displaystyle \, v (х, у)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle \, и (х, у)}$${\ Displaystyle \, v (х, у)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Голоморфная функция

Концепция дифференцируемости в одномерном реальном анализе расширена за счет включения комплексной дифференцируемости в теорию функций . Аналогично реальному случаю определяется: функция комплексной переменной называется комплексно-дифференцируемой (в точке ), если предельное значение ${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle f '(a): = \ lim _ {w \ to 0} {\ frac {f (a + w) -f (a)} {w}}}$

существует. Должен быть определен в среде с . Для определения предельного значения необходимо использовать комплексное понятие расстояния . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$

Таким образом, для комплекснозначных функций комплексной переменной определены два различных понятия дифференцируемости: комплексная дифференцируемость и дифференцируемость двумерного реального анализа ( действительная дифференцируемость ). Комплексно-дифференцируемые функции также являются действительными дифференцируемыми, обратное неверно без дополнительных требований.

Функции, комплексно-дифференцируемые в окрестности точки, называются голоморфными или аналитическими . Они обладают рядом прекрасных свойств, которые оправдывают тот факт, что их собственная теория в основном занимается ими - теория функций. Например, функция, которая является комплексно-дифференцируемой один раз, может автоматически быть комплексно-дифференцируемой так часто, как требуется, что, конечно, не применяется в реальном случае.

Система дифференциальных уравнений Коши-Римана предлагает другой подход к теории функций.

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ partial _ {x} u (x, y) & = \ partial _ {y} v (x, y), \\\ partial _ {y} u (x, y) & = - \ partial _ {x} v (x, y). \ end {align}}}$

Функция является комплексно дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда она действительно дифференцируема там и удовлетворяет системе дифференциальных уравнений Коши-Римана. Таким образом, можно было понять теорию функций как раздел теории уравнений в частных производных . Однако в настоящее время теория слишком обширна и слишком разносторонне связана с другими подобластями анализа, чтобы ее можно было включить в контекст уравнений в частных производных.

Сложная дифференцируемость может быть интерпретирована геометрически как (локальная) аппроксимируемость через аффинные отображения истинной ориентации, точнее через конкатенацию вращений, растяжений и перемещений. Соответственно, справедливость дифференциальных уравнений Коши-Римана эквивалентна тому факту, что ассоциированная матрица Якоби является матрицей представления вращательного расширения. Таким образом, голоморфные отображения оказываются локально конформными (за исключением нулей вывода), то есть истинными по углу и ориентации.

Интегральная формула Коши

С траекторией интеграции , которая не вращается вокруг каких-либо сингулярностей, и для числа оборотов которой применяется, что ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle 1 = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint {\ frac {1} {wz}} \ mathrm {d} w,}$

Применяется интегральная формула Коши:

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint {\ frac {f (w)} {wz}} \ mathrm {d} w.}$

Это означает, что значение комплексно-дифференцируемой функции в области зависит только от значений функции на границе области.

Функции с особенностями

Поскольку множество голоморфных функций довольно мало, в теории функций также рассматриваются функции, которые голоморфны всюду, кроме изолированных точек . Эти изолированные точки называются изолированными особенностями . Если функция ограничена особенностью в окрестности, функция может быть продолжена голоморфно в особенности. Это утверждение называется теоремой Римана о выводимости . Является ли особенность функции не поднимаемой, но имеет функцию в устранимой особенности, то говорят о k-м полюсном порядке, где k минимально выбран. Если функция имеет изолированные полюсы и в противном случае голоморфна, функция называется мероморфной . Если особенность не является ни поднимаемой, ни полюсной, говорят о существенной особенности. Согласно теореме Пикара , функции с существенной особенностью характеризуются тем фактом, что существует не более одного значения исключения a, так что в любой малой окрестности особенности они принимают любое комплексное числовое значение, самое большее за исключением a. ${\ displaystyle z_ {0}}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle (г-я_ {0}) ^ {к} е (г)}$${\ displaystyle z_ {0}}$

Поскольку каждую голоморфную функцию можно разложить в степенной ряд , можно также разложить функции со устранимыми особенностями в степенной ряд. Мероморфные функции могут быть разложены в ряд Лорана, который имеет только конечное число членов с отрицательными показателями, а ряды Лорана функций с существенной особенностью имеют неограниченное разложение степеней с отрицательными показателями. Коэффициент из Лорана расширения называется остаточным . Согласно теореме невязки интегралы по мероморфным функциям и по функциям со значительными особенностями могут быть определены только с помощью этого значения. Эта теорема важна не только в теории функций, потому что с помощью этого утверждения можно также определять интегралы из реального анализа, которые, как и интеграл погрешности Гаусса, не имеют замкнутого представления первообразной. ${\ displaystyle a _ {- 1}}$${\ Displaystyle (г-я_ {0}) ^ {- 1}}$

Другие важные темы и результаты

Важными результатами являются также теорема об отображении Римана и основная теорема алгебры . Последнее говорит о том, что многочлен в области комплексных чисел может быть полностью разложен на линейные множители . Для полиномов в диапазоне действительных чисел это обычно невозможно (с действительными линейными множителями).

Другими важными направлениями исследований являются аналитическое продолжение голоморфных и мероморфных функций до пределов их области и за ее пределами.

Теория функций нескольких комплексных переменных

Также существуют комплексные функции нескольких комплексных переменных. По сравнению с реальным анализом, в комплексном анализе функций одной и нескольких переменных есть фундаментальные различия. В теории голоморфных функций многих переменных нет аналога интегральной теоремы Коши . Теорема тождества также применима только в ослабленной форме к голоморфным функциям многих переменных. Однако интегральная формула Коши может быть обобщена на несколько переменных очень аналогичным образом. В этой более общей форме ее еще называют формулой Бохнера-Мартинелли . Кроме того, мероморфные функции многих переменных не имеют изолированных особенностей , что следует из так называемой теоремы Гартогса, и, как следствие, также не имеют изолированных нулей . Даже теорема риманова отображения - высшая точка теории функций от одной переменной - не имеет эквивалента в более высоких измерениях . Даже два естественных обобщения одномерного кругового диска , единичная сфера и полицилиндр , не являются биголоморфно эквивалентными в нескольких измерениях . Большая часть теории функций многих переменных имеет дело с явлениями продолжения (теорема Римана о левитации, теорема Гартогса, теорема Бохнера о трубчатых областях, теория Картана-Таллена). Теория функций нескольких комплексных переменных используется, например, в квантовой теории поля .

Сложная геометрия

Сложная геометрия - это раздел дифференциальной геометрии, в котором используются методы теории функций. В других подобластях дифференциальной геометрии, таких как дифференциальная топология или риманова геометрия , гладкие многообразия исследуются с использованием методов реального анализа. Однако в сложной геометрии рассматриваются многообразия со сложной структурой . В отличие от гладких многообразий, на комплексных многообразиях можно определять голоморфные отображения с помощью оператора Дольбо . Затем эти многообразия исследуются методами теории функций и алгебраической геометрии . В предыдущем разделе было объяснено, что есть большие различия между теорией функций одной переменной и теорией функций нескольких переменных. Эти различия отражаются и в сложной геометрии. Теория римановых поверхностей является разделом сложной геометрии и имеет дело исключительно с поверхностями сложной структуры, то есть с одномерными комплексными многообразиями. Эта теория богаче теории n-мерных комплексных многообразий.

Методы теории функций в других областях математики

Классическое приложение теории функций - теория чисел . Если использовать там методы теории функций, то эту область называют аналитической теорией чисел . Важным результатом, например, является теорема о простых числах .

Действительные функции, которые можно разложить в степенной ряд, также являются действительными частями голоморфных функций. Это позволяет расширить эти функции до сложного уровня. Благодаря этому расширению часто можно найти связи и свойства функций, которые остаются скрытыми в реальном, например тождество Эйлера . Здесь о том, чтобы открыть многочисленные приложения в физике (например, в квантовой механике представления волновых функций , а также в электрическом двумерном тока - напряжение - диаграммы ). Это тождество также является основой для комплексной формы ряда Фурье и преобразования Фурье . Во многих случаях их можно рассчитать с помощью методов теории функций.

Для голоморфных функций действительная и мнимая части являются гармоническими функциями , т. Е. Удовлетворяют уравнению Лапласа . Это связывает теорию функций с уравнениями в частных производных , обе области регулярно влияют друг на друга.

Интеграл по путям голоморфной функции не зависит от пути. Исторически это был первый пример гомотопической инвариантности . Многие идеи алгебраической топологии возникли из этого аспекта теории функций , начиная с Бернхарда Римана.

Функциональные средства играют важную роль в теории комплексных банаховых алгебр , типичным примером которой является теорема Гельфанда-Мазура . Голоморфное функциональное исчисление позволяет применение голоморфных функций элементам алгебры Банаха голоморфное функциональное исчисление нескольких переменных также возможно.

Смотри тоже

Важные предложения

• Интегральная теорема Коши
• Набор удостоверений
• Теорема лояльности по площади
• Теорема Лиувилля
• Теорема Мореры
• Теорема Вейерштрассе о сходимости
• Теорема Римана об иллюстрации

Больше предложений

• Лемма Блэка
• Принцип отражения Шварца
• Лемма Шварца-Пика.

Целые функции

• Экспоненциальная функция
• Тригонометрические функции
• Гиперболические функции

Мероморфные функции

• Гамма-функция
• Эллиптические функции

литература

• Ларс Альфорс : Комплексный анализ . Макгроу-Хилл, 1953 год. 
• Генрих Бенке , Фридрих Зоммер: Теория аналитических функций комплексного переменного . 3. Издание. Springer, Берлин, 1976, ISBN 978-3-540-07768-8 . 
• Людвиг Бибербах : Учебник теории функций . 2 тома. Тюбнер, 1923 г. 
• Рольф Бусам, Эберхард Фрайтаг : Теория функций 1 . 4-е издание. Springer, Берлин, 2006 г., ISBN 3-540-31764-3 . 
• Генрих Дюреге: Элементы теории функций комплексной переменной величины . 1-5 Издание. Тойбнер ( archive.org - 1882–1906). 
• Вольфганг Фишер, Инго Либ: Теория функций . 8-е издание. Vieweg, Брауншвейг 2003, ISBN 3-528-77247-6 . 
• Йозеф Антон Гмайнер, Отто Штольц : Введение в теорию функций . Том 1. и 2. Teubner, 1904. 
• Клаус Йених : Теория функций . 6-е издание. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20392-3 . 
• Уильям Фогг Осгуд : Учебник теории функций . Объемы 1.2.3. Teubner, 1923 ( hti.umich.edu ). 
• Альфред Прингсхайм : Лекции по функциональной теории . Тойбнер, 1925 г. (смотровая площадка Вейерштрассе). 
• Райнхольд Реммерт , Георг Шумахер: теория функций 1 . 5-е издание. Springer, Берлин, 2002 г., ISBN 3-540-59075-7 . 
• Райнхольд Реммерт, Георг Шумахер: Теория функций 2 . 3. Издание. Springer, Берлин 2007, ISBN 3-540-40432-5 . 
• Фолькер Шейдеманн: Введение в комплексный анализ нескольких переменных . Биркхойзер, Базель 2005, ISBN 3-7643-7490-X . 
• Ян Стюарт , Дэвид Толл: Комплексный анализ . Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-24513-3 . 
• Карл Йоханнес Тома : Элементарная теория аналитических функций комплексного переменного . Неберт, Галле (Заале) 1898 г. ( resolver.library.cornell.edu ). 

веб ссылки