Уравнение Пуассона

Уравнение Пуассона , названное в честь французского математика и физика Симеона Дени Пуассона , представляет собой эллиптическое уравнение в частных производных второго порядка, которое используется как часть краевых задач во многих областях физики.

Математическая формулировка

Уравнение Пуассона является общим

${\ displaystyle - \ Delta u = f}$

Здесь обозначены

• ${\ displaystyle \ Delta}$оператор Лапласа
• ${\ displaystyle u}$ решение, которое вы ищете
• ${\ displaystyle f}$функция. Если уравнение становится уравнением Лапласа .${\ Displaystyle е \ экв 0}$

Чтобы решить уравнение Пуассона, необходимо предоставить дополнительную информацию, например Б. в виде граничного условия Дирихле :

${\ displaystyle {\ begin {case} - \ Delta u & = f & {\ text {in}} & \ Omega \\\ quad u & = g & {\ text {on}} & \ partial \ Omega \ end {case}}}$

с открытым и ограниченным. ${\ displaystyle \ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$

В этом случае мы строим решение, используя фундаментальное решение уравнения Лапласа: ${\ displaystyle \ Phi}$

${\ displaystyle \ Phi (x): = {\ begin {cases} - {\ dfrac {1} {2 \ pi}} \ ln | x | & n = 2 \\ {\ dfrac {1} {(n- 2) \ omega _ {n}}} \ cdot {\ dfrac {1} {| x | ^ {n-2}}} & n \ geq 3 \ end {cases}}}$

Он обозначает площадь единичной сферы в -мерном евклидовом пространстве . ${\ displaystyle \ omega _ {n} = {\ tfrac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}}}$${\ displaystyle n}$

Свертка дает решение уравнения Пуассона. ${\ displaystyle (\ Phi * f)}$

Функцию Грина можно использовать для выполнения граничного условия

${\ Displaystyle G (x, y): = \ Phi (yx) - \ phi ^ {x} (y)}$

${\ displaystyle \ phi ^ {x}}$ является функцией коррекции, которая

${\ displaystyle {\ begin {cases} \ Delta \ phi ^ {x} = 0 & {\ text {in}} \ \ Omega \\\ phi ^ {x} = \ Phi (yx) & {\ text {on }} \ \ partial \ Omega \ end {case}}}$

Выполняет. Обычно это зависит от и его легко найти только для простых областей. ${\ displaystyle \ Omega}$

Если известно , то решение краевой задачи сверху дается выражением ${\ Displaystyle G (х, у)}$

${\ displaystyle u (x) = - \ int _ {\ partial \ Omega} g (y) {\ frac {\ partial G (x, y)} {\ partial n}} \ mathrm {d} \ sigma (y ) + \ int _ {\ Omega} f (y) G (x, y) \ mathrm {d} y}$

где поверхность измерение обозначает. ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ partial \ Omega}$

Решение также можно найти с помощью платформенного метода или вариационного подхода .

Приложения в физике

Уравнению Пуассона, например, удовлетворяют электростатический потенциал и гравитационный потенциал , каждый из которых имеет символы . Функция пропорциональна плотности электрического заряда или плотности массы.${\ displaystyle \ Delta \ Phi (\ mathbf {r}) = f (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r}).}$

Если он известен всюду, то общим решением уравнения Пуассона, стремящимся к нулю на больших расстояниях, является интеграл${\ Displaystyle F (\ mathbf {r})}$

${\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = - {\ frac {1} {4 \, \ pi}} \ int \ mathrm {d} ^ {3} r '\, {\ frac {f (\ mathbf {r} ')} {| \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' |}}}$.

Проще говоря: каждый заряд в определенном месте на небольшой площади вносит дополнительный вклад в потенциал в этом месте своим электростатическим или гравитационным потенциалом: ${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} r '\, f (\ mathbf {r}')}$${\ displaystyle \ mathbf {r} '}$${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} r '}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

${\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} ^ {3} r '\, f (\ mathbf {r}')} {4 \, \ pi \, | \ mathbf {r} - \ mathbf {r } '|}}}$

Электростатика

Так как электростатическое поле консервативное поле , оно может быть выражено в терминах с градиентом в потенциале : ${\ displaystyle \ nabla \ Phi}$ ${\ displaystyle \ Phi (\ mathbf {r})}$

${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = - \ nabla \ Phi (\ mathbf {r}).}$

Применение расхождения приводит к

${\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = - \ Delta \ Phi (\ mathbf {r})}$

с оператором Лапласа . ${\ displaystyle \ Delta}$

Однако согласно первому уравнению Максвелла также применяется

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = {\ frac {\ rho (\ mathbf {r})} {\ varepsilon}}}$

С участием

• плотность заряда ${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r})}$
• диэлектрическая проницаемость .${\ displaystyle \ varepsilon = \ varepsilon _ {\ mathrm {r}} \ cdot \ varepsilon _ {0}}$

Отсюда следует уравнение Пуассона электрического поля

${\ Displaystyle \ Delta \ Phi (\ mathbf {r}) = - {\ гидроразрыва {\ rho (\ mathbf {r})} {\ varepsilon}}}$

Частный случай для каждого местоположения в рассматриваемой области называется уравнением электростатики Лапласа . ${\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r}) = 0}$

Электродинамика стационарных токов.

В качестве примера здесь рассматривается эмиттер кремниевого солнечного элемента , который в хорошем приближении можно описать как чисто двумерный. Излучатель расположен в плоскости xy, ось z направлена ​​в основание. Плотность бокового поверхностного тока в эмиттере зависит от z-компоненты (объемной) плотности тока базы, возникающей в эмиттере , что указывается уравнением неразрывности в виде ${\ Displaystyle \ mathbf {j} (х, у)}$${\ Displaystyle J_ {z} (х, y, z = 0)}$

${\ displaystyle \ nabla _ {2} \ cdot \ mathbf {j} (x, y) = - J_ {z} (x, y, z = 0)}$

можно описать (с помощью двумерного оператора Набла ). Поверхностная плотность тока зависит от закона Ома местного с боковым электрическим полем в эмиттере вместе: ; здесь - удельное поверхностное сопротивление эмиттера, которое считается однородным . Если вы запишете (как обсуждалось в разделе, посвященном электростатике) электрическое поле как градиент электрического потенциала, вы получите уравнение Пуассона для распределения потенциала в эмиттере в виде ${\ displaystyle \ nabla _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {j} (x, y) = R _ {\ Box} ^ {- 1} \ mathbf {E} (x, y)}$${\ displaystyle R _ {\ Box}}$${\ displaystyle \ mathbf {E} (x, y) = - \ nabla _ {2} \ Phi (x, y)}$

${\ displaystyle \ Delta _ {2} \ Phi (x, y) = R _ {\ Box} J_ {z} (x, y, z = 0).}$

Сила тяжести

Так же, как электростатическое поле

${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}} \ int \ rho _ {\ mathrm {el}} \ left (\ mathbf {r} '\ right) {\ frac {\ mathbf {r} - \ mathbf {r}'} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right | ^ {3}}} \; dx' \, dy '\, dz' = - \ nabla \ Phi _ {\ mathrm {el}} (\ mathbf {r})}$,

гравитационное поле  g также является консервативным полем:

${\ displaystyle \ mathbf {g} (\ mathbf {r}) = - G \ int \ rho _ {\ mathrm {m}} \ left (\ mathbf {r} '\ right) {\ frac {\ mathbf {r } - \ mathbf {r} '} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right | ^ {3}}} \; dx '\, dy' \, dz '= - \ nabla \ Phi _ {\ mathrm {m}} (\ mathbf {r})}$.

это

• G является гравитационным постоянным
• ${\ displaystyle \ rho _ {\ mathrm {m}} (\ mathbf {r} ')}$ массовая плотность.

Так как только заряды заменяются массами и на , аналогично первому уравнению Максвелла применяется ${\ displaystyle {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon}}}$${\ displaystyle -G}$

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {g} = -4 \ pi G \ rho _ {\ mathrm {m}} (\ mathbf {r})}$.

Это приводит к уравнению Пуассона для гравитации

${\ displaystyle \ nabla \ mathbf {g} = - \ nabla \ cdot (\ nabla \ Phi _ {\ mathrm {m}} (\ mathbf {r})) = - 4 \ pi \ cdot G \ cdot \ rho _ {\ mathrm {m}} (\ mathbf {r}) \ Leftrightarrow}$

${\ Displaystyle \ Delta \ Phi _ {\ mathrm {m}} (\ mathbf {r}) = 4 \ pi \ cdot G \ cdot \ rho _ {\ mathrm {m}} (\ mathbf {r})}$.

литература

• Ричард Курант , Дэвид Гильберт : методы математической физики. Том 1. Спрингер, Берлин и другие. 1924 (= Основные учения математических наук , 12). 4-е издание, там же, 1993, ISBN 3-540-56796-8 .
• Лоуренс К. Эванс : уравнения в частных производных. Американское математическое общество, Providence RI 1998, ISBN 0-8218-0772-2 (= аспирантура по математике 19).

Индивидуальные доказательства

1. ↑ Вольфганг Нолтинг: Базовый курс теоретической физики . [Онлайн искл. ] 8-й [доктор]. 3. Электродинамика. Спрингер, Берлин, ISBN 978-3-540-71252-7 .