Принцип Кавальери

Принцип Кавальери (также известный как теорема Кавальери или принцип Кавальери ) - это утверждение из геометрии , восходящее к итальянскому математику Бонавентура Кавальери .

Общее

Принцип Кавальери гласит:

Два тела имеют одинаковый объем, если все их пересекающиеся поверхности в плоскостях, параллельных базовой плоскости, на одинаковой высоте имеют одинаковую площадь.

Другая формулировка:

Если два тела также находятся между взаимно параллельными плоскостями , и они происходят из любой из этих плоскопараллельных секций, так что образуются равные большие площади сечения, тела имеют одинаковый объем.

{\ displaystyle E_ {1}}

{\ displaystyle E_ {2}}

{\ displaystyle E '}

Простую иллюстрацию идеи дает блок квадратных банкнот, которые скручены в виде винта: он имеет тот же объем, что и кубоид, полученный в результате обычной укладки. Для применения принципа Кавальери ноты скрученного ворса могут различаться по форме и размеру.

Классификация и история

В современном подходе к аналитической геометрии и теории меры принцип Кавальери является частным случаем теоремы Фубини . У самого Кавальери не было строгого доказательства этого принципа, но он использовал его как оправдание для своего метода indivisibilien , который он представил в 1635 году в Geometria indivisibilibus и в 1647 году в Exercitationes Geometricae . Благодаря этому он смог рассчитать объемы некоторых тел и выйти за рамки результатов Архимеда и Кеплера . Идея свести расчет объемов к площадям была важным шагом в развитии интегрального исчисления .

Из принципа Кавальери можно вывести, что объем «вытянутого по вертикали» тела (с постоянной площадью основания) пропорционален его высоте. В качестве примера: тело, высота которого таким образом увеличена вдвое, может быть построено с использованием двух идентичных начальных тел, сначала объединяя все эквивалентные поверхности среза и складывая их в порядке, соответствующем начальному телу (оба начальных тела виртуально выталкиваются. друг в друга).

Примеры применения

цилиндр

Участки цилиндра с плоскостями, перпендикулярными оси вращения, представляют собой круглые диски с площадью , если обозначен радиус основания. Согласно принципу Кавальери, объем цилиндра равен объему кубоида такой же высоты , площадь основания которого такая же, например, длина кромки и . Объем цилиндра соответственно . ${\ displaystyle \ pi r ^ {2}}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle \ pi r}$ ${\ displaystyle \ pi r ^ {2} \ cdot h}$

Полушарие

Вертикальный (вверху) и горизонтальный (внизу) сечения полусферы и эталонного тела

Пересечение полусферы радиуса с плоскостью, идущей параллельно основанию по высоте , согласно теореме Пифагора представляет собой круг радиуса ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle h}$

{\ displaystyle r '= {\ sqrt {r ^ {2} -h ^ {2}}}.}

Площадь реза соответственно

{\ displaystyle \ pi \ cdot (r ') ^ {2} = \ pi \ cdot (r ^ {2} -h ^ {2}).}

В этом примере эталонное тело представляет собой цилиндр с такой же площадью основания и высотой, что и полусфера, из которой был вырезан круглый конус, стоящий на его вершине. Зона реза по высоте представляет собой круглое кольцо с внешним радиусом и внутренним радиусом , поэтому площадь также ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle h}$

{\ displaystyle \ pi \ cdot r ^ {2} - \ pi \ cdot h ^ {2} = \ pi \ cdot (r ^ {2} -h ^ {2}).}

Таким образом, два корпуса соответствуют принципу Кавальери и поэтому имеют одинаковый объем. Объем эталонного тела - это разность объемов цилиндра и конуса, т.е.

{\ displaystyle \ pi \ cdot r ^ {2} \ cdot r - {\ frac {1} {3}} \ cdot \ pi \ cdot r ^ {2} \ cdot r = {\ frac {2} {3} } \ pi \ cdot r ^ {3}.}

Удвоение дает хорошо известную формулу сферического объема.

Отношение к интегральному исчислению

Разница между интегралами и интегралом от разности

Идея принципа Кавальери часто встречается в интегральном исчислении . Уравнение дает пример размеров, которые на единицу меньше, то есть длины пересечения прямых линий с двумя поверхностями.

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} (е (х) -g (x)) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x- \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, \ mathrm {d} x}

который, по сути, утверждает, что площадь между графиками функций и равна площади под графиком функции разности ; но эта последняя поверхность характеризуется как раз тем, что ее вертикальные участки имеют такую же длину, как и участки . ${\ displaystyle A_ {1}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ ${\ Displaystyle х \ mapsto f (x) -g (x)}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$

Однако в современном теоретическом подходе отношение между интегралом и площадью или объемом обычно устанавливается иначе; принцип Кавальери менее важен.

Отношение к теории меры

Теорема Кавальери в описанной выше элементарной форме является частным случаем следующей более общей теоремы, которая, в свою очередь, является частным случаем теоремы Фубини :

Будьте измеримыми . Тогда также и для почти всех или измеримых (сверх или ), и это применимо ${\ Displaystyle А \ подмножество \ mathbb {R} ^ {p} \ times \ mathbb {R} ^ {q}}$ ${\ displaystyle A_ {x} = \ {y \ in \ mathbb {R} ^ {q} \ mid (x, y) \ in A \}}$ ${\ displaystyle A_ {y} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {p} \ mid (x, y) \ in A \}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {p}}$

{\ displaystyle \ lambda ^ {p + q} (A) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {p}} \ lambda ^ {q} (A_ {x}) d ^ {p} x}

или ,

{\ displaystyle \ lambda ^ {p + q} (A) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {q}} \ lambda ^ {p} (A_ {y}) d ^ {q} y}

где обозначает по - мерную меру Лебега (объем). В частности: также измеримо и применимо почти ко всем , как и есть . То же касается и . ${\ displaystyle \ lambda ^ {k}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle B \ подмножество \ mathbb {R} ^ {p + q}}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {q} (A_ {x}) = \ lambda ^ {q} (B_ {x})}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ lambda ^ {p + q} (A) = \ lambda ^ {p + q} (B)}$ ${\ displaystyle A_ {y}}$ ${\ displaystyle B_ {y}}$